Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Dans tout l’exercice, \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) désigne un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires considérées seront supposées définies sur cet espace.
Dans toute cette partie, \(\lambda\) désigne un réel strictement positif.
Donner une densité, la fonction de répartition, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Justifier que les intégrales suivantes convergent et donner leurs valeurs : \[\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x, \quad \int_0^{+\infty} x \,\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x\]
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1[\). Quelle est la loi de la variable aléatoire \(V=\displaystyle - \frac{1}{\lambda} \,\ln(1-U)\)?
Écrire une fonction en Python qui,
étant donné un réel \(\lambda\)
strictement positif, simule la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
On considère une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1.
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on définit la variable aléatoire \(T_n= \max(X_1,...,X_n)\) qui, à tout \(\omega\) de \(\Omega\), associe le plus grand des réels \(X_1(\omega),...,X_n(\omega)\) et on note \(f_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_n(x)= \begin{cases} n \, \mathrm{e}^{-x}(1-\mathrm{e}^{-x})^{n-1} & \text{si } x\geqslant 0\\ \hfill 0 \hfill & \text{si } x<0 \end{cases}\]
Calculer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}_+^*\), la probabilité \(\mathbb{P}(T_n \leqslant x)\).
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(T_n\) est une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonction \(f_n\).
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(T_n\) admet une espérance.
Déterminer l’espérance \(\mathbb{E}(T_1)\) de \(T_1\) et l’espérance \(\mathbb{E}(T_2)\) de \(T_2\).
Vérifier : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(\forall x\in\mathbb{R}_+\), \(\displaystyle f_{n+1}(x)-f_n(x)=-\frac{1}{n+1} \, f'_{n+1}(x)\).
Montrer ensuite, à l’aide d’une intégration par parties : \[\forall n\in\mathbb{N}^*, \ \int_0^{+\infty}x \left[ f_{n+1}(x)-f_n(x) \right] \mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}\int_0^{+\infty}f_{n+1}(x)\,\mathrm{d}x\]
En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), une relation entre \(\mathbb{E}(T_{n+1})\) et \(\mathbb{E}(T_n)\), puis une expression de \(\mathbb{E}(T_n)\) sous forme d’une somme.
Dans toute cette partie, \(a\) désigne un réel strictement positif.
On définit la variable aléatoire \(N\) égale au plus petit entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) tel que \(X_n>a\) si un tel entier existe, et égale à 0 sinon.
Justifier l’égalité d’événements : \((N=0)=\displaystyle\bigcap_{k=1}^{+\infty} [X_k \leqslant a]\). En déduire la probabilité \(\mathbb{P}(N=0)\).
Montrer : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(\mathbb{P}(N=n)= \left( 1-\mathrm{e}^{-a} \right)^{n-1}\mathrm{e}^{-a}\).
Déterminer l’espérance \(\mathbb{E}(N)\) et la variance \(\mathbb{V}(N)\) de \(N\).
On s’intéresse maintenant à la variable aléatoire \(Z\), définie pour tout \(\omega\) de \(\Omega\) par : \[Z(\omega)=\begin{cases} X_{N(\omega)}(\omega) & \text{si } N(\omega)\neq 0\\ 0 & \text{si } N(\omega)=0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Justifier : \(\mathbb{P}(Z \leqslant a)=0\).
Soit \(x\in \left] a , +\infty \right[\)
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\), justifier l’égalité d’événements : \[( [ N=n ] \cap [ Z \leqslant x ])=\begin{cases} [ a<X_1 \leqslant x] & \text{si } n=1\\ [T_{n-1} \leqslant a] \cap [ a<X_n \leqslant x] & \text{si } n\geqslant 2 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\] En déduire la probabilité \(\mathbb{P}([ N=n ] \cap [Z \leqslant x ])\).
Montrer alors : \(\mathbb{P}(Z \leqslant x)=1-\mathrm{e}^{a-x}\).
Montrer que la variable aléatoire \(Z-a\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
En déduire l’existence et la valeur de \(\mathbb{E}(Z)\), ainsi que l’existence et la valeur de \(\mathbb{V}(Z)\).
Dans cet exercice on pourra utiliser l’encadrement suivant : \(2< \mathrm{e}<3\).
On considère l’application \(\varphi : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), \(x\mapsto \varphi(x)=x^2 \,\mathrm{e}^x-1\).
Dresser le tableau de variations de \(\varphi\), en précisant la limite de \(\varphi\) en \(-\infty\), sa valeur en 0 et sa limite en \(+\infty\).
Établir que l’équation \(\displaystyle \mathrm{e}^x=\frac{1}{x^2}\), d’inconnue \(x\in \left]0 , +\infty \right[\), admet une solution et une seule, notée \(\alpha\), et que \(\alpha\) appartient à l’intervalle \(\left] \dfrac{1}{2} , 1\right[\).
On considère l’application \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\longmapsto f(x)=x^3 \,\mathrm{e}^x\), et la suite réelle \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par : \[u_0=1 \quad \text{et} \quad \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=f(u_n)\]
Montrer : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(u_n\geqslant 1\).
Etablir que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante.
Quelle est la limite de \(u_n\) lorsque l’entier \(n\) tend vers l’infini?
Montrer que la série \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{f(n)}\) converge. On note \(S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{f(n)}\).
Montrer : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(\displaystyle \left|S-\sum_{k=1}^n \frac{1}{f(k)}\right| \leqslant \frac{1}{ \left( \mathrm{e}-1 \right) \mathrm{e}^n}\).
En déduire une fonction en Python qui
calcule une valeur approchée de \(S\) à
\(10^{-4}\) près.
On considère l’ouvert \(U= \left] 0,+\infty \right[ \times \mathbb{R}\) de \(\mathbb{R}^2\) et l’application de classe \(\mathcal{C}^2\) suivante : \[\forall (x,y) \in U,\ g(x,y)=\frac{1}{x}+ \mathrm{e}^x-y^2 \,\mathrm{e}^y\]
Représenter graphiquement l’ensemble \(U\).
Calculer, pour tout \((x,y)\) de \(U\), les dérivées partielles premières de \(g\) en \((x,y)\).
Montrer que \(g\) admet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont \((\alpha, 0)\) et \((\alpha, -2)\), où \(\alpha\) est le réel défini à la question 2.
Est-ce que \(g\) admet un extremum local en \((\alpha, 0)\)?
Est-ce que \(g\) admet un extremum local en \((\alpha, -2)\)?
Est-ce que \(g\) admet un extremum global sur \(U\)?
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension 3. On note \(0_{E}\) le vecteur nul de \(E\).
On note \(i\) l’application identité de \(E\), et \(\theta\) l’application constante nulle de \(E\) dans \(E\).
On considère un endomorphisme \(f\) de \(E\) tel que : \[f\neq \theta, \quad f^2+i\neq\theta, \quad f \circ (f^2+i)=\theta\] où \(f^2\) désigne \(f \circ f\).
Montrer que \(f\) n’est pas bijectif.
En déduire qu’il existe \(u\) appartenant à \(E\) tel que : \(u\neq 0_E\) et \(f(u)=0_E\).
Soit \(v_1\) appartenant à \(E\) tel que : \(v_1\neq 0_E\) et \(f(v_1)=0_E\).
Montrer que \(f^2+i\) n’est pas bijectif, puis en déduire qu’il existe \(v\) appartenant à \(E\) tel que :
\(v\neq 0_E\) et \(f^2(v)=-v\).
Soit \(v_2\) appartenant à \(E\) tel que : \(v_2\neq 0_E\) et \(f^2(v_2)=-v_2\). On note \(v_3=f(v_2)\).
Montrer : \(f(v_3)=-v_2\).
Montrer que la famille \(\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)\) est une base de \(E\).
Déterminer la matrice \(C\) de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}\).
On considère les matrices suivantes : \[A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}\quad \text{et} \quad B= \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}\]
et le sous-espace vectoriel \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) engendré par \((A,B,C)\), c’est-à-dire : \[\mathcal{F}=\{ aA+bB+cC ,\ (a,b,c)\in\mathbb{R}^3\}\]
Déterminer la dimension de \(\mathcal{F}\).
Montrer : \(\{M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) ,\ CM=MC\}=\mathcal{F}\)
Pour tout \((a,b,c)\in\mathbb{R}^3\), calculer la matrice \((aA+bB+cC)^2\).
En déduire une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que : \(M^2=\begin{pmatrix} 4&0&0\\0&5&-12\\0&12&5 \end{pmatrix}\).
On note \(g=f^2-i\).
Montrer que \(g\) est bijectif et exprimer \(g^{-1}\) à l’aide de \(f\) et de \(i\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
