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On considère l’application \(\displaystyle \varphi: \left]0,+\infty \right[\to \mathbb{R}\), \(x\mapsto \mathrm{e}^x-x \, \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\). On admet \(2< \mathrm{e}<3\).
Montrer que \(\varphi\) est de classe \(\mathcal C^3\) sur \(]0,+\infty[\), calculer, pour tout \(x\) de \(]0,{+\infty}[\), \(\varphi'(x)\) et \(\varphi''(x)\) et montrer : \[\forall x\in ]0,{+\infty}[, \varphi'''(x)=\mathrm{e}^x+\dfrac{3x+1}{x^5} \, \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}\]
Étudier le sens de variation de \(\varphi''\) et calculer \(\varphi''(1)\).
En déduire le sens de variation de \(\varphi'\), et montrer : \(\forall x\in ]0,{+\infty}[, \ \varphi'(x)\geqslant \mathrm{e}\).
Déterminer la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers 0 par valeurs strictement positives.
Déterminer la limite de \(\dfrac{\varphi(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), et la limite de \(\varphi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
On admet : \(15<\varphi(3)<16\). Montrer : \(\forall x\in[3,+\infty[, \ \varphi(x)\geqslant \mathrm{e}x\).
On note \(\mathcal{C}\) la courbe représentative de \(\varphi\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) admet un unique point d’inflexion, déterminer les coordonnées de celui-ci et l’équation de la tangente en ce point.
Dresser le tableau de variations de \(\varphi\), avec les limites en 0 et en \(+\infty\), et la valeur en 1.
Tracer l’allure de \(\mathcal{C}\) et faire apparaître la tangente au point d’inflexion.
On précisera la nature de la branche infinie au voisinage de 0 et la nature de la branche infinie au voisinage de \(+\infty\).
On note \(U=\mathbb{R}\times \left]0,{+\infty}\right[\) et on considère l’application: \(f:U\rightarrow \mathbb{R}, (x,y)\mapsto xy-\mathrm{e}^x\ln y\).
Représenter graphiquement l’ensemble \(U\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^2\) sur l’ouvert \(U\) et calculer, pour tout \((x,y)\) de \(U\), les dérivées partielles premières et les dérivées partielles secondes de \(f\) au point \((x,y)\).
Établir que, pour tout \((x,y)\) de \(U\), \((x,y)\) est un point critique de \(f\) si et seulement si : \[x>0 \quad \text{et} \quad \displaystyle y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \text{ et } \varphi(x)=0\]
En déduire que \(f\) admet un point critique et un seul, et qu’il s’agit de \((1,\mathrm{e})\).
Est-ce que \(f\) admet un extremum local en \((1,e)\)?
Est-ce que \(f\) admet un extremum local sur \(U\)?
On considère la suite réelle \((u_n)_{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(u_0=3\) et : \(\forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=\varphi(u_n)\).
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_n\) existe et \(u_n\geqslant 3 \, \mathrm{e}^n\).
(On pourra utiliser les résultats de la partie I).
Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante et que \(u_n\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Écrire un programme Python qui affiche
et calcule le plus petit entier \(n\)
tel que \(u_n\geqslant 10^3\).
Quelle est la nature de la série de terme général \(\dfrac{1}{u_n}\)?
On considère l’espace \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) des matrices d’ordre 2 à coefficients réels. On définit : \[A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}, T=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\] \[\mathcal{E} =\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}, \ (a,b,c)\in \mathbb{R}^3\right\}\]
Montrer que \(\mathcal{E}\) est un espace vectoriel et que \((A,B,C)\) est une base de \(\mathcal{E}\).
Établir que \(\mathcal{E}\) est stable par multiplication, c’est à dire : \[\forall (M,N)\in \mathcal{E} ^2, MN\in \mathcal{E}\]
Montrer que, pour toute matrice \(M\) de \(\mathcal{E}\), si \(M\) est inversible alors \(M^{-1}\in \mathcal{E}\).
Pour toute matrice de \(\mathcal{E}\), on note \(f(M)=TMT\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{E}\).
Vérifier que \(T\) est inversible et démontrer que \(f\) est un automorphisme de \(\mathcal{E}\).
Est-ce que \(T\) est diagonalisable?
On note \(F\) la matrice de \(f\) dans la base \((A,B,C)\) de \(\mathcal{E}\).
Calculer \(f(A), f(B), f(C)\) en fonction de \((A,B,C)\) et en déduire \(F\).
Montrer que \(f\) admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci, puis déterminer une base et la dimension du sous-espace propre pour \(f\) associé à cette valeur propre.
Est-ce que \(f\) est diagonalisable?
Soit \(\lambda\) un réel différent de 1. Résoudre l’équation \(f(M)=\lambda M\), d’inconnue \(M\in \mathcal{E}\).
On note \(I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) et \(H=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\).
Calculer \(H^2\), puis pour tout \(a\) de \(\mathbb{R}\) et tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \((I+aH)^n\).
Calculer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(F^n\).
Trouver une matrice \(G\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(G^3=F\). Existe-t-il un endomorphisme \(g\) de \(\mathcal{E}\) tel que \(g\circ g\circ g=f\)?
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, on considère une urne contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\), dans laquelle on effectue une succession de \((n+1)\) tirages d’une boule avec remise et l’on note \(X_n\) la variable aléatoire égale au numéro du tirage où, pour la première fois, on a obtenu un numéro supérieur ou égal au numéro précédent.
Ainsi, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, la variables \(X_n\) prend ses valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\). Par exemple, si \(n=5\) et si les tirages amènent successivement les numéros 5,3,2,2,6,3, alors \(X_5=4\). Pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(N_k\) la variable aléatoire égale au numéro obtenu au \(k\)-ième tirage.
On suppose dans cette partie uniquement que \(n=3\). L’urne contient donc les boules numérotées 1, 2, 3.
Exprimer l’événement \((X_3=4)\) à l’aide d’événements faisant intervenir les variables \(N_1, N_2, N_3\). En déduire \(\mathrm{P}(X_3=4)\).
Montrer que \(\mathbb{P}(X_3=2)=\dfrac{2}{3}\), et en déduire \(\mathbb{P}(X_3=3)\).
Calculer l’espérance de \(X_3\).
Dans toute cette partie, \(n\) est un entier fixé supérieur ou égal à 2.
Pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n+1} \right]\kern-0.15em\right]\), reconnaître la loi de \(N_k\) et rappeler son espérance et sa variance.
Calculer \(\mathbb{P}(X_n=n+1)\).
Montrer, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(\mathbb{P}_{(N_1=i)}(X_n=2)=\dfrac{n-i+1}{n}\).
En déduire une expression simple de \(\mathbb{P}(X_n=2)\).
Soit \(k\in \left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Justifier l’égalité d’événements suivante : \((X_n>k)=(N_1>N_2>\ldots>N_k)\). En déduire que \(\displaystyle \mathbb{P}(X_n>k)=\dfrac{1}{n^k}\binom{n}{k}\).
Vérifier que cette dernière égalité reste valable pour \(k=0\) et pour \(k=1\).
Exprimer, pour tout \(k\in \left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X_n=k)\) à l’aide de \(\mathbb{P}(X_n>k-1)\) et de \(\mathbb{P}(X_n>k)\).
En déduire : \(\mathbb{E}(X_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^n \mathbb{P}(X_n>k)\). Calculer ensuite \(\mathbb{E}(X_n)\).
Montrer : \(\displaystyle \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,n+1} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(X_n=k)=\dfrac{k-1}{n^k}\binom{n+1}{k}\).
On s’intéresse dans cette partie à la suite de variables aléatoires \((X_n)_{n\geqslant 2}\).
Soit \(k\) un entier fixé supérieur ou égal à 2. Montrer : \(\underset{n\to +\infty}{\lim} \mathbb{P}(X_n=k)=\dfrac{k-1}{k!}\).
Montrer que la série \(\displaystyle \sum_{k\geqslant 2}\dfrac{k-1}{k!}\) converge et calculer sa somme.
On admet qu’il existe une variable aléatoire \(Z\) à valeurs dans \([\![2,+\infty[\![\) telle que : \[\forall k\in [\![2,+\infty[\![, \mathbb{P}(Z=k)=\dfrac{k-1}{k!}\]
Montrer que \(Z\) admet une espérance et la calculer. Comparer \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\underset{n\to +\infty}{\lim} \mathbb{E}(X_n)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
