EML 2013Maths approfondies

Problème 1

Partie I. Étude d’une fonction \(f\) définie par une intégrale

1. Montrer que, pour tout \(x\in \mathbb{R}_+^\ast\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{-t}}{x+t}\,\mathrm{d}t\) converge.

   On note alors \(f: \mathbb{R}_+^\ast\to \mathbb{R}\) l’application définie par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = \int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{-t}}{x+t}\,\mathrm{d}t.\]

2. Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) \geqslant \int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-1}}{x+t}\,\mathrm{d}t.\] En déduire que : \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = {+\infty}.\]

3. Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ 0 < f(x) \leqslant \frac{1}{x}.\] En déduire : \[\lim_{x\to {+\infty}} f(x) = 0.\]

4. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) converge et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \left| f(x) - \frac{1}{x} \right| \leqslant \frac{1}{x^2} \int_0^{+\infty}t\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t.\] En déduire que : \(f(x) \;\underset{x\to 0}{\sim}\; \dfrac{1}{x}\).

Partie II. Une autre expression intégrale de \(f\)

A – Dérivabilité et expression de la dérivée de \(f\) sous forme d’intégrale

5. Soit \((x,h)\in \mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}^\ast\) tel que : \(h>-\dfrac{x}{2}\).

   1. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{-t}}{(x+t)^2} \,\mathrm{d}t\) converge.

   2. Établir : \[\forall t\in\mathbb{R}^+,\ \left| \frac{1}{h} \left( \frac{1}{x+h+t} - \frac{1}{x+t} \right) + \frac{1}{(x+t)^2} \right| \leqslant \frac{2\left| h \right|}{x^3}.\]

   3. En déduire : \[\left| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-t}}{(x+t)^2} \,\mathrm{d}t \right| \leqslant \frac{2\left| h \right|}{x^3}.\]

6. Prouver que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = - \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-t}}{(x+t)^2} \,\mathrm{d}t.\]

7. Montrer, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\) et tout \((\varepsilon,A)\in\left]0,1\right] \times \left[1,{+\infty}\right[\) : \[\int_\varepsilon^A \frac{\mathrm{e}^{-t}}{(x+t)^2} \,\mathrm{d}t= - \frac{\mathrm{e}^{-A}}{x+A} + \frac{\mathrm{e}^{-\varepsilon}}{x+\varepsilon} - \int_\varepsilon^A \frac{\mathrm{e}^{-t}}{x+t}\,\mathrm{d}t.\]

8. En déduire : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f'(x) = -\frac{1}{x} + f(x).\]

9. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathrm{C}^2\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f''(x) = \frac{1}{x^2}+f'(x).\]

B – Intervention d’une fonction auxiliaire \(g\)

On note \(g: \mathbb{R}_+^\ast\to \mathbb{R}\) l’application définie par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ g(x) = \mathrm{e}^{-x} f(x).\]

1. Démontrer que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ g'(x) = -\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}.\]

2. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\), l’intégrale \(\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\) converge et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ g(x) = \int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u.\] Montrer alors que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f(x) = \mathrm{e}^x \int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u.\]

3. Montrer que : \[\int_x^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}.\]

4. Quelle est la nature de la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} n^2 \int_n^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d}u\) ?

Partie III. Étude d’une densité

On note \(h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) l’application définie, pour tout \(t\in\mathbb{R}\), par : \[h(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{f(1)}\cdot \frac{\mathrm{e}^{-t}}{1+t} &\text{si } t\geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } t<0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}.\]

5. Montrer que \(h\) est une densité.

6. Soit \(X\) une variable aléatoire réelle admettant \(h\) pour densité. Montrer que \(X\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(X)\) à l’aide de \(f(1)\).

Problème 2

Dans tout le problème, \(n\) est un entier tel que \(n\geqslant 2\).

On note \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre \(n\) et \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices réelles à une colonne et \(n\) lignes, nommées « matrices colonnes » dans la suite du problème.

Si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), alors \(^t A\) désigne la matrice transposée de \(A\).

Si \(V \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), alors \(^t V\) désigne la matrice transposée de \(V\).

Si \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et si \((i,j) \in [\![1;n]\!]^2\), alors le coefficient de la ligne numéro \(i\) et de la colonne numéro \(j\) de \(A\) est notée \(a_{i,j}\), la matrice \(A\) est notée \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\).

Si \(V=\begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\v_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), alors la matrice colonne \(V\) est notée \(V=(v_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\).

Si \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), alors pour tout \(j \in [\![1;n]\!]\), on note \(C_j(A)\) la matrice colonne de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) constituée des coefficients de la colonne numéro \(j\) de \(A\). Ainsi : \(C_j(A)=(a_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant n}\).

Partie I. Un exemple

Soient \(U_0=\begin{pmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{pmatrix}\), \(V_0=\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\\-1 \end{pmatrix}\) et \(A_0=U_0{}^t\!\, V_0\).

1. Vérifier que \(0\) est valeur propre de \(A_0\) et déterminer son sous-espace propre associé.

2. 1. Calculer \(A_0U_0\).

   2. Montrer que \(A_0\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\).

   3. Déterminer une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) et une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) telles que \(A_0=PDP^{-1}\).

Partie II. Trace d’une matrice carrée

Pour toute matrice \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n} \in \mathcal{M}_(\mathbb{R})\), on appelle trace de \(A\) et on note \(\mathrm{Tr}(A)\) la somme des coefficients diagonaux de \(A\), c’est-à-dire \(\mathrm{Tr}(A)=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_{i,i}\).

3. Montrer que l’application \(\mathrm{Tr}\ : \ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}, \ A\longmapsto\mathrm{Tr}(A)\), est linéaire.

4. Montrer : \(\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,\ \mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)\).

5. Vérifier : \(\forall A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \mathrm{Tr}({}^t\!AA)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{j,i}^2\).

Partie III. Une caractérisation des matrices de rang 1

6. Soient \(U=(u_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) et \(V=(v_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) deux matrices colonnes non nulles de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

   1. Justifier que \(U\, {}^t\!\,V\) appartient à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et déterminer les coefficients de \(U\,{}^t\!\,V\) à l’aide des coefficients de \(U\) et de \(V\).

   2. Exprimer \(\mathrm{Tr}(U\,{}^t\!\, V)\) à l’aide des coefficients de \(U\) et de \(V\).

   3. Quel est le rang de \(U\,{}^t\!\, V\) ?

7. Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une matrice de rang \(1\).

   1. Montrer qu’il existe \(j_0\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que, pour tout \(j\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe \(\alpha_j \in\mathbb{R}\) vérifiant : \[C_j(A)=\alpha_j C_{j_0}(A).\]

   2. En déduire qu’il existe deux matrices colonnes non nulles \(U\) et \(V\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) telles que \(A=U \,{}^t\!\, V\).

8. Énoncer une caractérisation des matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de rang \(1\).

Partie IV. Une application en probabilités

On considère deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

On suppose de plus : \(X(\Omega)=Y(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).

On note, pour tout \((i,j) \in [\![1;n]\!]^2\),  \(m_{i,j}=\mathbb{P}((X=i)\cap(Y=j))\), puis :

\(M=(m_{i,j})_{i,j} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\),  \(U_X=(\mathbb{P}(X=i))_{1\leqslant i \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et \(U_Y=(\mathbb{P}(Y=i))_{1\leqslant i \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

9. On suppose, dans cette question, que les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

   Calculer \(U_X {{}^t\!\,U_Y}\). En déduire que la matrice \(M\) est de rang 1.

10. On suppose, dans cette question, que la matrice \(M\) est de rang 1.

    1. Montrer : \(C_1(M)+\dots+C_n(M)=U_X\).

    2. En déduire que, pour tout \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe \(\beta_j \in \mathbb{R}\) tel que \(C_j(M)=\beta_j U_X\).

    3. Montrer : \(\forall j \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\ P(Y=j)=\beta_j\).

    4. En déduire que les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

Partie V. Une caractérisation des matrices de rang 1 diagonalisables

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une matrice de rang \(1\). On note \(U\) et \(V\) deux matrices colonnes non nulles de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) telles que \(A=U \, {}^t\!\, V\) et on note \(a=\mathrm{Tr}(A)\).

11. Montrer que \(0\) est valeur propre de \(A\) et préciser la dimension du sous-espace propre associé.

12. Montrer que : \({}^t\!\, VU = (a)\) puis que : \(A^2= aA\).

13. Montrer que, si \(a=0\), alors \(A\) n’est pas diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

14. On suppose que : \(a\neq 0\). Calculer \(AU\). Déduire des questions précédentes que \(A\) est diagonalisable.

15. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et de rang \(1\) soit diagonalisable.

Partie VI. Construction d’un produit scalaire et d’un endomorphisme symétrique

16. Montrer que l’application : \((M,N)\mapsto\left \langle M, N \right \rangle=\mathrm{Tr}({}^t\!MN)\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

    On munit dorénavant \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) de ce produit scalaire.

    On considère une matrice colonne \(V=(v_i)_{1\leqslant i\leqslant n} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) telle que \(\displaystyle\sum_{j=1}^n v_j^2=1\). On note \(S=V{^tV}\).

17. Montrer que \(S\) est une matrice symétrique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et que \(S^2=S\).

18. 1. Montrer que l’application \(\Phi : M\longmapsto SM\) est un endomorphisme symétrique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

    2. Vérifier que \(\Phi^2=\Phi\). Que peut-on dire des valeurs propres de \(\Phi\) ?

    3. On note \(\mathrm{e}\) l’application identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Montrer que les sous-espaces vectoriels \(\text{Ker}(\Phi)\) et \(\text{Ker}(\Phi-\mathrm{e})\) sont supplémentaires orthogonaux dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).