EML 2013Maths appliquées

Exercice 1

Partie I- Calcul d’une intégrale dépendant d’un paramètre

On considère l’application \(g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\in[0,1]\), par : \[g(t)=\begin{cases} -t\ln(t)&\text{si } 0<t \leqslant 1\\ 0&\text{si }t=0 \end{cases}\]

1. Montrer que \(g\) est continue sur \([0,1]\).

2. A l’aide d’une intégration par parties, calculer, pour tout \(x\in \left] 0 , 1 \right[\), l’intégrale \(\displaystyle \int_x^1g(t)\,\mathrm{d}t\).

3. En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1g(t)\,\mathrm{d}t\) converge et que : \[\displaystyle \int_0^1g(t)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{4}.\]

Partie II- Exemple de densité

On considère l’application \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\in \mathbb{R}\) par : \[f(t)=\begin{cases} -t\ln (t) +t^{1/3}&\text{si } 0<t<1\\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \end{cases}\]

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(]-\infty,1[\) et sur \(]1,+\infty[\).

   Est-ce que \(f\) est continue en 1?

2. Établir que l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t\) converge et que \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm{d}t=1\).

3. Montrer que \(f\) est une densité.

4. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(]0,1[\) et calculer \(f'(t)\) et \(f''(t)\) pour tout \(t\in \left] 0,1 \right[\).

   2. En déduire que l’équation \(f'(t)=0\) d’inconnue \(t\in \left] 0,1 \right[\), admet au moins une solution et une seule, notée \(\alpha\), et montrer : \(\frac{1}{\hbox{e}}<\alpha<1\).

   3. Écrire un programme Python qui calcule et affiche une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près, mettant en œuvre l’algorithme de dichotomie.

Partie III- Calcul d’une fonction de répartition

On admet qu’il existe une variable aléatoire \(X\) ayant \(f\) pour densité (l’application \(f\) a été définie au début de la partie II) et on note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).

1. Calculer, pour tout \(x\in \left] 0,1 \right[\), l’intégrale \(\displaystyle \int_x^1f(t)\,\mathrm{d}t\). (On pourra utiliser le résultat obtenu à la question I.2.)

2. Calculer \(F(x)\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\).

3. Tracer l’allure de la courbe représentative de \(F\).

Partie III- Étude d’extremum local pour une fonction de deux variables réelles

On note \(D\) l’ensemble des couples \((x,y)\) appartenant à \(]0,+\infty[^2\) tels que : \(x+y<1\) et \(2x<1\) .

On considère l’application \(G : D\rightarrow \mathbb{R}\), de classe \(C^2\) sur l’ouvert \(D\), définie, pour tout \((x,y)\in D\), par :\[G(x,y)=f(x+y)-\dfrac{1}{2} \, f(2x)\]

1. Représenter l’ensemble \(D\).

2. Calculer, pour tout \((x,y)\in D\), les dérivées partielles premières de \(G\) en \((x,y)\), en fonction de \(x,y,f'\).

3. Soit \((x,y)\in D\). Montrer que \((x,y)\) est un point critique de \(G\) si et seulement si :\[f'(2x)=0 \quad \text{et} \quad f'(x+y)=0\]

4. En déduire que \(G\) admet un point critique et un seul, et qu’il s’agit de \(\left(\dfrac{\alpha}{2},\dfrac{\alpha}{2}\right)\), le réel \(\alpha\) ayant été défini en II 4.b.

5. Est-ce que \(G\) admet un extremum local?

Exercice 2

On note \(A=\begin{pmatrix} 0&0&0&2\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\2&0&0&0\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\).

1. Est-ce que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\)?

2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et, pour chaque valeur propre de \(A\), déterminer une base du sous-espace propre associé.

3. En déduire une matrice \(D\in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\), à coefficients diagonaux rangés dans l’ordre croissant, et une matrice inversible \(P\in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\), à coefficients diagonaux tous égaux à 1, telles que \(A=PDP^{-1}\), et calculer \(P^{-1}\).

   On appelle commutant de \(A\), et on note \(C_A\), l’ensemble des matrices \(M\) de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) telles que \[AM=MA.\] On appelle commutant de \(D\), et on note \(C_D\), l’ensemble des matrices \(N\) de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) telles que \[DN=ND.\]

4. Montrer que \(C_A\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\).

5. Soit \(M\in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\). On note \(N=P^{-1}MP\). Montrer : \[M\in C_A \Leftrightarrow N\in C_D\]

6. Déterminer \(C_D\), en utilisant les coefficients des matrices.

7. En déduire : \[C_A=\left\{\begin{pmatrix}a&0&0&b\\0&c&d&0\\0&d&c&0\\b&0&0&a\end{pmatrix},\ (a,b,c,d)\in \mathbb{R}^4\right\}.\]

8. Déterminer une base de \(C_A\) et la dimension de \(C_A\).

Exercice 3

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2.

On considère une urne \(\mathcal{U}\) contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\) et indiscernables au toucher.

On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise de la boule dans l’urne \(\mathcal{U}\).

Partie I

Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 1. Pour tout \(i\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(X_i\) la variable aléatoire égale au nombre d’obtentions de la boule numéro \(i\) au cours des \(k\) premiers tirages.

1. Soit \(i\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Donner la loi de \(X_i\). Rappeler l’espérance et la variance de \(X_i\).

2. Les variables aléatoires \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) sont-elles indépendantes?

3. Soit \((i,j)\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i\neq j\).

   1. Déterminer la loi de la variable \(X_i+X_j\). Rappeler la variance de \(X_i+X_j\).

   2. En déduire la covariance du couple \((X_i,X_j)\).

Partie II

Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1, on note \(Z_k\) la variable aléatoire égale au nombre de numéros distincts obtenus au cours des \(k\) premiers tirages et on note \(\mathbb{E}(Z_k)\) l’espérance de \(Z_k\).

1. Déterminer la loi de la variable \(Z_1\) et la loi de la variable \(Z_2\).

   En déduire \(\mathbb{E}(Z_1)\) et \(\mathbb{E}(Z_2)\).

2. Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 1.

   1. Déterminer \(\mathbb{P}(Z_k=1)\) et déterminer \(\mathbb{P}(Z_k=k)\).

   2. Montrer, pour tout \(\ell\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(\mathbb{P}(Z_{k+1}=\ell)=\dfrac{\ell}{n} \, \mathbb{P}(Z_k=\ell)+\dfrac{n-\ell+1}{n} \, \mathbb{P}(Z_k=\ell-1)\).

   3. En déduire : \(\mathbb{E}(Z_{k+1})=\dfrac{n-1}{n} \, \mathbb{E}(Z_k)+1\).

3. 1. Montrer que la suite \((v_k)_{k\geqslant 1}\) de terme général \(v_k=\mathbb{E}(Z_k)-n\) est une suite géométrique.

   2. En déduire, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1 : \(\mathbb{E}(Z_k)=n\left(1-\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^k\right)\).

Partie III

On suppose maintenant que \(n=4\); ainsi l’urne \(\mathcal{U}\) contient 4 boules numérotées de 1 à 4.

Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à 4. On se propose de déterminer la loi de \(Z_k\).

1. Rappeler la valeur de \(\mathbb{P}(Z_k=1)\). Déterminer \(\mathbb{P}(Z_k\geq 5)\).

2. Montrer : \(\mathbb{P}(Z_k=2)=6 \, \dfrac{2^k-2}{4^k}\).

3. On note, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), \(A_i\) l’événement : « la boule numéro \(i\) n’a pas été obtenue au cours des \(k\) premiers tirages ».

   1. Montrer : \(\mathbb{P}(Z_k\leqslant 3)=4 \, \mathbb{P}(A_1)-6 \, \mathbb{P}(A_1\cap A_2)+4 \, \mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap A_3)\).

   2. Calculer, \(\mathbb{P}(A_1)\), \(\mathbb{P}(A_1\cap A_2)\) et \(\mathbb{P}(A_1\cap A_2\cap A_3)\).

   3. En déduire : \(\mathbb{P}(Z_k\leqslant 3)\), puis \(\mathbb{P}(Z_k=3)\) et \(\mathbb{P}(Z_k=4)\).