Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Dans tout le problème, \(n\) est un entier tel que \(n\geqslant 2\).
On confond polynôme de \(\mathbb{R}[x]\) et fonction polynomiale sur \(\mathbb{R}\) ou sur \([0,+\infty[\) ou sur \(]0,+\infty[\).
On note \(\mathbb{R}_{n-1} [x]\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[x]\) formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à \(n-1\).
Soit \(a_1, \ldots, a_n\) des réels deux à deux distincts. On note : \[\varphi : \mathbb{R}_{n-1} [x] \rightarrow \mathbb{R}^n, \quad P \mapsto \varphi(P) = (P(a_1), \ldots, P(a_n))\]
Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme.
En déduire que, pour tout \((b_1,\ldots, b_n) \in\mathbb{R}^n\), il existe \(P \in \mathbb{R}_{n-1}[x]\) unique tel que : \[\forall i\in \{ 1, \ldots , n \}, \ P(a_i) = b_i\]
Exemple. Déterminer le polynôme \(P_0\) de \(\mathbb{R}_3[x]\) tel que : \[P_0(0) = 1,\quad P_0(1) = 3,\quad P_0(2) = 11,\quad P_0(3) = 31\]
On considère l’ensemble \(E\) des polynômes \(P\) de \(\mathbb{R}[x]\) tels que : \[\forall x \in \left] 0, +\infty \right[, \ P(x) >0 \quad \text{et} \quad P'(x) >0\]
Donner un exemple d’élément de \(E\).
Montrer que \(E\) est stable par multiplication par un réel strictement positif, par addition et par multiplication, c’est-à-dire que, pour tout \(\alpha \in \left] 0 , +\infty \right[\) et tous \(P,Q \in E\), on a : \[\alpha P \in E, \quad P + Q \in E, \quad PQ \in E\]
Est-ce que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[x]\) ?
Soit \(P\in E\). On note \(\displaystyle P_1 : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, \ x\mapsto \int_0^x P(t) \,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(P_1 \in E\).
Soit \(P \in E\). Montrer que : \(\forall x \in [0 , +\infty [, \ P(x) \geqslant P(0).\)
Pour tout \(P\in E\), on note \(\widetilde{P} : \left[ 0 , +\infty \right[ \rightarrow [P(0) , +\infty [, \ x \mapsto \widetilde{P} (x) = P(x).\)
Montrer que l’application \(\widetilde{P}\) est bijective.
Si, de plus, \(P\) est de degré au moins \(2\), est-ce que l’application réciproque \(\widetilde{P}^{-1}\) de \(\widetilde{P}\) est une application polynomiale ?
On note \({\cal S}_n^+\) l’ensemble des matrices symétriques \(A\in {\cal M}_n ( \mathbb{R})\) telles que : \[\forall\ U \in {\cal M} _{n,1} (\mathbb{R}),\ {}^t\!\, U AU \geqslant 0\]
Soit \(A\) une matrice symétrique de \({\cal M}_n (\mathbb{R})\).
La matrice \(A\) est-elle diagonalisable dans \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) ? Justifier.
Montrer que si \(A\) est dans \({\cal S}_n^+\), alors toutes les valeurs propres de \(A\) sont dans \([0 , +\infty[\).
Réciproquement, montrer que si toutes les valeurs propres de \(A\) sont dans \([0 , + \infty[\), alors \(A\) est dans \({\cal S}_n^+\).
Soit \(P\in E\) de degré \(n-1\) (l’ensemble \(E\) a été défini dans la partie II), et soit \(A \in {\cal S}_n^+\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes, notées \(\lambda_1, \ldots , \lambda_n\), appartenant toutes à \([P(0) , +\infty[\).
On note \(D\) la matrice diagonale de \({\cal M}_n (\mathbb{R})\) dont les termes diagonaux sont successivement \(\lambda_1, \ldots , \lambda_n\), et \(Q\) une matrice inversible de \({\cal M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A = QDQ^{-1}\).
On se propose de résoudre l’équation \(P(S) =A\), d’inconnue \(S \in {\cal S}_n^+\).
On suppose que l’équation \(P(S) =A\) a une solution dans \({\cal S}_n^+\).
Soit \(S\) appartenant à \({\cal S}_n^+\) telle que \(P(S) = A\). On note \(\Delta = Q^{-1} S Q\).
Montrer que \(SA=AS\) et en déduire que \(\Delta D = D \Delta\).
Démontrer que \(\Delta\) est diagonale et que les éléments diagonaux de \(\Delta\) sont tous positifs ou nuls.
Établir que l’équation \(P(S) = A\), d’inconnue \(S \in {\cal S}_n^+\), admet une solution et une seule, et que celle-ci est \(Q\Delta Q^{-1}\), où \(\Delta\) est une matrice diagonale que l’on exprimera à l’aide de \(\widetilde{P}^{-1} (\lambda_1), \ldots, \widetilde{P}^{-1} (\lambda_n)\), où \(\widetilde{P}\) a été définie dans la partie II.
Exemple. On suppose ici \(n=4\). Le polynôme \(P\) est défini par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x) = x^3+x+1\] et \(A = \begin{pmatrix} 2&-1&0&0\\-1&2&0&0\\0&0&21&10\\0&0&10&21 \end{pmatrix}\).
Vérifier que \(P\in E\).
Déterminer les valeurs propres de \(A\) et montrer que : \(A\in {\cal S}_4^+\).
Déterminer une matrice diagonale \(D\) et une matrice orthogonale \(Q\) telles que \(A = QDQ^{-1}\).
Résoudre l’équation \(P(S) = A\), d’inconnue \(S\in {\cal S}_4^+\).
Pour tout entier naturel \(n\), on définit \(\displaystyle W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos t)^n \,\mathrm{d}t\).
Calculer \(W_0\) et \(W_1\).
Montrer que la suite \((W_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est décroissante.
Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\) : \(W_n>0\).
Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\) : \[\left( n+2 \right) W_{n+2}= \left( n+1 \right) W_{n}\]
En déduire, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\) : \[\left( n+1 \right) W_{n+1}W_n=W_1W_0\]
Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\) : \[W_n \geqslant W_{n+1} \geqslant \dfrac{n+1}{n+2} \, W_n\]
En déduire : \[W_{n+1}\underset{n\to+\infty}{\sim}W_n \quad \text{puis : }\quad W_{n}\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\]
Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\) : \(W_{2n}=\dfrac{(2n)! \, \pi}{2^{2n+1} \left( n! \right)^2}\).
On note, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 1\) : \[A_n=\dfrac{1}{n!} \,n^n \,\mathrm{e}^{-n}\sqrt{n}\]
et, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\) : \[a_n=-1- \left( n-\frac{1}{2} \right) \ln \! \left( 1-\frac{1}{n} \right)\]
Montrer que la série \(\sum\limits_{n \geqslant 2} a_n\) converge.
Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\) : \(a_n=\ln(A_n)-\ln(A_{n-1})\).
En déduire que la suite \((A_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge et que sa limite \(\ell\) est strictement positive.
Justifier : \[n!\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{1}{\ell} \,n^n \,\mathrm{e}^{-n}\sqrt{n}\]
En utilisant l’expression de \(W_{2n}\) à l’aide de factorielles, en déduire la valeur de \(\ell\) et l’équivalent suivant : \[n!\underset{n\to+\infty}{\sim}n^n \,\mathrm{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\]
Soit un réel \(a\) strictement positif et la fonction \(f_a: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(x\), par : \[f_a(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill \text{ si } x \leqslant 0\\ \dfrac{x}{a^2} \,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2a^2}} \text{ si } x> 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f_a\) est une densité.
On considère une variable aléatoire \(X\) admettant \(f_a\) comme densité.
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance \(\mathbb{E}(X)\) et calculer \(\mathbb{E}(X)\).
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une variance \(\mathbb{V}(X)\) et calculer \(\mathbb{V}(X)\).
On considère une variable aléatoire \(V\) suivant une loi uniforme sur l’intervalle \(]0,1]\).
Montrer que la variable aléatoire \(Z=a\sqrt{-2\ln(V)}\) suit la même loi que la variable aléatoire \(X\).
En déduire un programme en langage
Python simulant la variable aléatoire \(X\), le réel \(a\) strictement positif étant entré par
l’utilisateur.
Pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\), on considère une urne \(U_n\) contenant \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\). On effectue, dans \(U_n\), des tirages d’une boule avec remise. On suppose que tous les tirages dans \(U_n\) sont équiprobables. On s’arrête dès que l’on obtient une boule déjà obtenue.
On note \(T_n\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
Justifier que : \(\mathbb{P}(T_n>n+1)=0\).
Déterminer, pour tout entier \(k\) tel que \(k \leqslant n\), la valeur de \(\mathbb{P}(T_n>k)\).
On considère la variable aléatoire \(Y_n=\dfrac{T_n}{\sqrt{n}}\).
On se propose d’étudier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires \((Y_n)_{n \geqslant 2}\).
Soit \(y\in[0,+\infty[\). On note \(k_n\) l’entier naturel égal à la partie entière de \(y\sqrt{n}\).
On a donc : \(k_n \leqslant y\sqrt{n} < 1+k_n\).
Justifier que : \(\mathbb{P}(Y_n>y)=\mathbb{P}(T_n>k_n)\).
En utilisant la question 9b, montrer que : \[\mathbb{P}(Y_n>y) \underset{n\to+\infty}{\sim}\mathrm{e}^{-k_n} \left( 1-\dfrac{k_n}{n} \right)^{k_n-n}\]
Déterminer le développement limité d’ordre 2 de \(t\mapsto -t+ \left( t-1 \right) \ln(1-t)\) en \(0\).
En déduire que : \[\lim_{n\to +\infty} \left( -k_n+(k_n-n)\ln \! \left( 1-\frac{k_n}{n}\right) \right) =-\dfrac{y^2}{2}\]
Montrer que la suite de variables aléatoires \((Y_n)_{n \geqslant 2}\) converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on précisera une densité.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
