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On considère les matrices carrées d’ordre 2 suivantes : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(B\). Est-ce que \(B\) est diagonalisable?
Déterminer une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, et une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1, telles que \(B=P D P^{-1}\).
Vérifier que \(D^2=5 D-4 I\) et exprimer \(B^2\) comme combinaison linéaire de \(B\) et \(I\).
Montrer que \(B\) est inversible et exprimer \(B^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(B\) et \(I\).
On considère l’application \(h: \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), \(M \mapsto h(M)=A M B\).
Vérifier que \(h\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Montrer que \(h\) est bijectif et exprimer \(h^{-1}\) sous une forme analogue à celle donnée pour \(h\).
On se propose dans cette question de déterminer une matrice diagonale représentative de \(h\).
Soient \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
On note \(N=M P\), où \(P\) est la matrice définie dans la question 2.
Montrer : \(h(M)=\lambda M \Longleftrightarrow A N D=\lambda N\), où \(D\) est la matrice définie dans la question 2.
Déterminer les quatre valeurs \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\) de \(\lambda\) pour lesquels il existe une matrice \(N\) de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) non nulle telle que \(A N D=\lambda N\). À cet effet, on pourra noter \(N=\begin{pmatrix}x & y \\ z & t\end{pmatrix}\).
Pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), préciser une matrice \(N_i\) non nulle possédant un coefficient égal à \(1\) et vérifiant \(A N_i D=\lambda_i N_i\). On note alors, pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), \(M_i= N_iP^{-1}\).
Vérifier que \((M_1,M_2,M_3,M_4)\) est une base de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) puis en déduire qu’il existe une matrice diagonale représentant \(h\).
On note \(e\) l’endomorphisme identité de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et on note 0 l’endomorphisme nul de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Montrer: \((h-e) \circ(h+e) \circ(h-4 e) \circ(h+4 e)=0\).
On considère l’application \(f: \left[ 0 , +\infty \right[ \to \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t \in[0 ,+\infty[\), par : \[f(t)= \begin{cases} t \ln( t) & \text { si } t \neq 0 \\ 0 & \text { si } t=0 \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est continue sur \([0,{+\infty}[\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(] 0 ,+\infty [\) et calculer \(f^{\prime}(t)\) pour tout \(t \in \left ] 0 , +\infty \right[\).
Dresser le tableau des variations de \(f\). On précisera la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Montrer que \(f\) est convexe sur \(] 0 , +\infty[\).
On note \(\Gamma\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal \((O , \vec{i}, \vec{j})\).
Montrer que \(\Gamma\) admet une demi-tangente en \(O\) et préciser celle-ci. Déterminer les points d’intersection de \(\Gamma\) et de l’axe des abscisses.
Préciser la nature de la branche infinie de \(\Gamma\).
Tracer l’allure de \(\Gamma\). On admet : \(0,36 \leqslant \mathrm{e}^{-1}<0,37\).
On considère l’application \(F: \left] 0 , +\infty\right[^2 \to \mathbb{R}\), de classe \(\mathcal C^2\), définie, pour tout \((x, y) \in\left] 0 , +\infty\right[^2\), par : \[F(x, y)=\frac{\ln (x)}{y}+\frac{\ln (y)}{x}\]
Calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout \((x, y)\) de \(\left] 0 , +\infty\right[^2\).
Montrer que \((\mathrm{e}, \mathrm{e})\) est un point critique de \(F\).
Calculer les dérivées partielles secondes de \(F\) en tout \((x, y)\) de \(\left] 0 , +\infty\right[^2\).
Est-ce que \(F\) admet un extrémum local en \((\mathrm{e}, \mathrm{e})\) ?
Soit \(a \in \mathbb{R}_{+}^*\).
Montrer que, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 0\), l’intégrale \(\displaystyle I_n=\int_0^{+\infty} x^n \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2 a^2}}\,\mathrm{d}x\) est convergente.
Rappeler une densité d’une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance nulle et de variance \(a^2\).
En déduire: \(\displaystyle I_0=a \sqrt{\frac{\pi}{2}}\).
Calculer la dérivée de l’application \(\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \(\varphi(x)=\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2 a^2}}\).
En déduire : \(I_1=a^2\).
Montrer, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\) et pour tout \(t \in[0,{+\infty}[\) : \[\int_0^t x^n \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2 a^2}}\,\mathrm{d}x=-a^2 \, t^{n-1} \, \mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2 a^2}}+ \left( n-1 \right) a^2 \int_0^t x^{n-2} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2 a^2}}\,\mathrm{d}x\]
En déduire, pour tout entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\) : \(I_n= \left( n-1 \right) a^2 I_{n-2}\).
Calculer \(I_2\) et \(I_3\).
On considère l’application \(g_a: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \[g_a(x)= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x \leqslant 0 \\ \displaystyle \frac{x}{a^2} \, \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2 a^2}} & \text { si } x>0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Montrer que \(g_a\) est une densité. On considère une variable aléatoire \(X\) admettant \(g_a\) comme densité.
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(X\).
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance \(\mathbb{E}(X)\) et que \(\mathbb{E}(X)=a \sqrt{\frac{\pi}{2}}\).
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une variance \(\mathbb{V}(X)\) et calculer \(\mathbb{V}(X)\).
On considère une variable aléatoire \(U\) suivant la loi uniforme sur l’intervalle \(]0,1]\). Montrer que la variable aléatoire \(Z=a \sqrt{-2 \ln (U)}\) suit la même loi que la variable aléatoire \(X\).
En déduire un programme en langage
Python simulant la variable aléatoire \(X\), le réel \(a\) strictement positif étant entré par
l’utilisateur.
Soit un entier \(n\) tel que \(n \geqslant 2\).
On considère \(n\) variables aléatoires indépendantes \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) suivant toutes la même loi que la variable aléatoire \(X\).
On considère la variable aléatoire \(\displaystyle A_n=\frac{\sqrt{2}}{n \sqrt{\pi}}\left(X_1+X_2+\cdots+X_n\right)\).
Montrer que la variable aléatoire \(A_n\) est un estimateur de \(a\) et calculer son espérance.
Déterminer la variance de l’estimateur \(A_n\).
On définit la variable aléatoire \(M_n=\operatorname{min}\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\). On a ainsi : \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \left[M_n>t\right]=\left[X_1>t\right] \cap\left[X_2>t\right] \cap \cdots \cap\left[X_n>t\right]\]
Montrer, pour tout \(t \in\left[0 ,+\infty\right[\) : \(\mathbb{P}\!\left(M_n>t\right)=\mathrm{e}^{-\frac{n t^2}{2 a^2}}\).
En déduire la fonction de répartition de \(M_n\).
Montrer que \(M_n\) est une variable aléatoire à densité, admettant \(g_b\) comme densité avec \(b=\frac{a}{\sqrt{n}}\).
Montrer que la variable aléatoire \(M_n\) admet une espérance \(\mathbb{E}(M_n)\) et une variance \(\mathbb{V}(M_n )\). Calculer \(\mathbb{E}( M_n )\) et \(\mathbb{V}(M_n)\).
En déduire un estimateur \(B_n\) de \(a\), de la forme \(\lambda_n M_n\) avec \(\lambda_n \in \mathbb{R}\), et dont l’espérance est égale à \(a\).
Déterminer la variance de l’estimateur \(B_n\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
