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Rappeler une densité, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre égal à 1.
On considère une suite de variables aléatoires réelles \(\displaystyle (X_k)_{k\in \mathbb{N}^*}\) mutuellement indépendantes, qui suivent la loi exponentielle de paramètre égal à 1.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), on note \(S_n\) la variable aléatoire définie par \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n X_k\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(S_n\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), rappeler une densité de \(S_n\).
Soit une variable aléatoire \(U\) suivant la loi uniforme sur l’intervalle \([0,1]\). Montrer que la variable aléatoire \(\displaystyle Y = -\ln (1-U)\) suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.
Écrire un programme Python simulant la
variable aléatoire \(S_n\), l’entier
\(n\) étant entré par
l’utilisateur.
Pour tout \(t\in \left] 0,+\infty \right[\), on note \(N_t\) la variable aléatoire égale à 0 si l’événement \([ S_1>t ]\) est réalisé, et, sinon, au plus grand entier \(n\in \mathbb{N}^*\) tel que l’événement \([S_n\leqslant t ]\) est réalisé.
Ainsi, pour tout \(t\in \left] 0,+\infty \right[\), pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), l’événement \([ N_t=n ]\) est égal à l’événement \(\displaystyle [S_n\leqslant t] \cap [ S_{n+1}>t ]\).
Écrire un programme Python simulant la
variable aléatoire \(N_t\), le réel
\(t\) étant entré par
l’utilisateur.
On considère, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), les applications \[\begin{array}{ll} f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, & \displaystyle x \mapsto \frac{x^n \, \mathrm{e}^{-x}}{n!}, \\ & \\ L_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, & \displaystyle x \mapsto \mathrm{e}^x \, f_n^{(n)}(x), \\ \end{array}\] où \(\displaystyle f_n^{(n)}\) désigne la dérivée \(n\)-ième de \(f_n\).
Calculer, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(L_0(x)\), \(L_1(x)\), \(L_2(x)\).
Montrer : \[\forall n\in\mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ L_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom nk x^k\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(L_n\) est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient du terme de plus haut degré.
Montrer : \[\forall n \in\mathbb{N}, \ \forall x\in \mathbb{R}, \ f'_{n+1}(x) = f_n(x) - f_{n+1}(x)\]
En déduire : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ L'_{n+1}(x) = L'_n(x) - L_n(x)\]
Montrer : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ f_{n+1}(x) = \frac{x}{n+1} \, f_n(x)\]
En déduire : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ \left( n+1 \right) L_{n+1}(x) = xL'_n(x)+ \left( n+1-x \right) L_n(x)\]
Établir : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ xL''_n(x) - \left( x-1 \right) L'_n(x)+nL_n(x)=0\]
On note \(E\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des applications polynomiales de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Soit \(N\in\mathbb{N}\) fixé. On note \(E_N\) le sous-espace vectoriel de \(E\) formé des applications polynômiales de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) de degré inférieur ou égal à \(N\).
Montrer que, pour tout \(A\in E\), l’intégrale \(\displaystyle \int _{0}^{+\infty} A(x) \, \mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\) converge.
On considère l’application \[\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle: E\times E \to \mathbb{R}, \ (P,Q) \mapsto \left \langle P, Q \right \rangle = \int_0^{+\infty} P(x) \, Q(x)\, \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\]
Montrer que \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) est un produit scalaire sur \(E\).
On considère, pour tout \(P\in E\), l’application \(\displaystyle T(P) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ T(P)(x) = xP''(x)- \left( x-1 \right) P'(x)\]
Vérifier que \(T\) est un endomorphisme du \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\).
Montrer que, pour tout \(P\in E\), l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) : \(\displaystyle x \mapsto T(P)(x) \, \mathrm{e}^{-x}\) est la dérivée de l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) : \(\displaystyle x \mapsto xP'(x) \, \mathrm{e}^{-x}\).
En déduire, pour tout \((P,Q) \in E \times E\) : \[\left \langle T(P), Q \right \rangle = -\int_0^{+\infty} xP'(x) \, Q'(x) \, \mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\]
Établir : \(\displaystyle \forall P,Q)\in E \times E, \ \left \langle T(P), Q \right \rangle = \left \langle P, T(Q) \right \rangle\).
En utilisant le résultat de la question 13, calculer, pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(T(L_n)\).
En déduire que la famille \((L_0,\cdots, L_N)\) est orthogonale.
Montrer : \[\forall P\in E_N, \ T(P) \in E_N\] On note \(T_N\) l’endomorphisme induit par \(T\) sur \(E_N\), c’est-à-dire l’endomorphisme \(T_N\) de \(E_N\) défini par : \[\forall P \in E_N, \ T_N(P)=T(P)\]
Montrer que \((L_0,\cdots,L_N)\) est une base de \(E_N\).
Donner la matrice de \(T_N\) dans la base \((L_0,\cdots,L_N)\) de \(E_N\).
Est-ce que \(T_N\) est diagonalisable ? Est-ce que \(T_N\) est bijectif ?
On considère, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), l’application \[g_n : \left[ 0,+\infty \right[ \to \mathbb{R}, \ x \mapsto \frac{x^n \, \mathrm{e}^{-x}}{n!}\]
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(g_n\) admet un maximum, noté \(M_n\), et calculer \(M_n\).
On note, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\) : \(\mu_n = \sqrt{n} \, M_n\) et \(\displaystyle a_n = \ln (\mu_{n+1}) - \ln (\mu _n)\).
Former le développement limité de \(a_n\), à l’ordre 2 lorsque l’entier \(n\) tend vers l’infini.
En déduire la nature de la série \(\displaystyle \sum _{n\geqslant 1} a_n\).
Établir que la suite \(\displaystyle (\mu_n)_{n\geqslant 1}\) converge et que sa limite est strictement positive.
Quelle est la nature de la série \(\displaystyle \sum _{n\geqslant 1}M_n\) ?
On considère les applications \begin{align*} &f : \left] 0,+\infty \right[\to \mathbb{R}, \ x \mapsto x \, \mathrm{e}^{-x}, \\ &F : \left] 0,+\infty \right[^2 \to \mathbb{R}, \ (x,y) \mapsto f(x)+f(y)-f(x+y) \end{align*}
Montrer que \(F\) est de classe \({\cal C}^2\) sur l’ouvert \(\displaystyle ]0,+\infty[^2\) et exprimer, pour tout \(\displaystyle (x,y)\in ]0,+\infty[^2\), les dérivées partielles premières \(\displaystyle \partial_1 F(x,y)\) et \(\displaystyle \partial_2 F(x,y)\) en fonction de \(f'(x)\), \(f'(y)\) et \(f'(x+y)\).
Établir que, pour tout \(a\in \left] 0,+\infty \right[\), l’équation \(f'(x)=f'(a)\), d’inconnue \(x\in \left] 0,+\infty \right[\), admet au plus une solution distincte de \(a\).
En déduire que, pour tout \(\displaystyle (x,y)\in \left] 0,+\infty \right[^2\), \((x,y)\) est un point critique de \(F\) si et seulement si : \[x=y \ \mbox{ et } \ f'(x) = f'(2x)\]
Montrer que \(F\) admet un point critique et un seul, noté \((\alpha,\alpha)\), et montrer que \(1<\alpha < 2\).
Montrer : \(f''(\alpha)<0\) et \(f''(2\alpha)>0\).
Montrer que \(F\) admet un extremum local, et un seul. Déterminer la nature de cet extremum.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
