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On considère l’application \[f: \left] 0 , +\infty \right[ \to \mathbb{R},\ x\mapsto f (x) =\left[ x+\ln (x) \right] \mathrm{e}^{x-1}\]
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\left] 0, +\infty \right[\). On note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.
Pour tout \(x\in \left] 0, +\infty \right[ ,\) calculer \(f^{\prime}(x)\).
Établir : \[\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\ \ln(x) +\frac{1}{x}>0\]
En déduire : \[\forall x\in \left] 0, +\infty \right[ ,\ x+\ln(x) +1+\frac{1}{x}>0\]
En déduire le sens de variation de \(f\).
Dresser le tableau de variation de \(f\), comprenant la limite de \(f\) en \(0\) et la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Calculer \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1) .\)
Préciser la nature des branches infinies de la courbe représentative \(C\) de \(f\) dans un repère du plan.
Tracer l’allure de \(C\). On précisera la tangente au point d’abscisse \(1.\)
Il n’est demandé ni l’étude de la convexité, ni la recherche d’éventuels points d’inflexion.
On considère la suite réelle \(( u_{n}) _{n\in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=2\) et, pour tout \(n\in \mathbb{N},\) \(u_{n+1}=f( u_{n}) .\)
Montrer que, pour tout \(n\in \mathbb{N},\) \(u_{n}\) existe et \(u_{n}\geqslant 2\).
Établir, par récurrence : \(\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n}\geqslant \mathrm{e}^{n}\).
Quelle est la limite de \(u_{n}\) lorsque l’entier \(n\) tend vers l’infini ?
Écrire un programme en langage Python
qui calcule et affiche le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_{n}\geqslant 10^{20}.\)
On considère l’application \[F:\left] 0, +\infty \right[ \to \mathbb{R},\ x\mapsto F( x) =\int_{1}^{x}f( t) \,\mathrm{d}t\]
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\left] 0, +\infty \right[\) et exprimer \(F^{\prime}( x)\), pour tout \(x\in \left] 0, +\infty \right[\), à l’aide de \(f( x)\).
On considère l’application de classe \(\mathcal C^{2}\) \[G:\left] 0, +\infty \right[ ^{2} \to \mathbb{R},\ ( x,y) \longmapsto G( x,y) =F( x) +F( y) -2\,\mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}\]
Exprimer les dérivées partielles premières \(\partial_1 G ( x,y)\) et \(\partial_2 G( x,y) ,\) pour tout \(( x,y) \in \left] 0, +\infty \right[ ^{2}\) à l’aide de \(f( x)\), \(f( y)\) et \(\mathrm{e}^{ \frac{x+y}{2}}.\)
Montrer que \(f\) est bijective.
Établir que, pour tout \(( x,y) \in \left] 0, +\infty \right[ ^{2},\ ( x,y)\) est un point critique de \(G\) si et seulement si : \[x=y \quad \text{et} \quad x+\ln(x) = \mathrm{e}\]
Montrer que l’équation \(x+\ln(x) =\mathrm{e}\), d’inconnue \(x\in \left] 0, +\infty \right[\) admet une solution et une seule, que l’on notera \(\alpha\), et montrer que : \(1<\alpha<\mathrm{e}.\)
Montrer que \(G\) admet un extremum local. Préciser sa nature.
On considère les matrices carrées d’ordre 3 suivantes : \[I=% \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ A=% \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\]
Sans calcul, justifier que \(A\) est diagonalisable et non inversible. Déterminer le rang de \(A\).
Montrer que \(0\), \(1\) et \(4\) sont les trois valeurs propres de \(A\) et déterminer les sous-espaces propres associés.
En déduire une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal{M}_{3}( \mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, et une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal{M}_{3}( \mathbb{R})\), dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à \(1\), telles que : \(A=PDP^{-1}.\)
Calculer \(P^{-1}\).
Montrer qu’il existe une matrice diagonale \(\Delta\) de \(\mathcal{M}% _{3}( \mathbb{R})\), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, telle que \(\Delta^{2}=D\), et déterminer \(\Delta\).
On note \(R=P\Delta P^{-1}\). Montrer \(R^{2}=A\) et calculer \(R\).
On munit \(\mathbb{R}^{3}\) de sa base canonique \(\mathcal{B}=( e_{1},e_{2},e_{3})\) et on considère les endomorphismes \(f\) et \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont les matrices dans \(\mathcal{B}\) sont respectivement \(A\) et \(R\).
On note \(\mathcal{C}=( u_{1},u_{2},u_{3})\) la base de \(\mathbb{R}^{3}\) telle que \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{C}\).
Déterminer les matrices de \(f\) et \(g\) dans la base \(\mathcal{C}\).
Déterminer une base et la dimension de \(\mathrm{Ker}( f)\).
Déterminer une base et la dimension de \(\operatorname{Im}( f)\).
Déterminer une base et la dimension de \(\mathrm{Ker}( g) .\)
Déterminer une base et la dimension de \(\operatorname{Im}( g)\).
Trouver au moins un automorphisme (i.e. un endomorphisme bijectif) \(h\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tel que \(g=f\circ h\).
On déterminera \(h\) par sa matrice \(H\) dans la base \(\mathcal{C}\), puis on exprimera la matrice de \(h\) dans la base \(\mathcal{B}\) à l’aide de \(H\) et de \(P\).
Les deux parties sont indépendantes. Soit \(p\in \left] 0, 1\right[ .\) On note \(q=1-p.\)
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère \(n\) joueurs qui visent une cible. Chaque joueur effectue deux tirs. À chaque tir, chaque joueur a la probabilité \(p\) d’atteindre la cible. Les tirs sont indépendants les uns des autres.
On définit la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premier tir et la variable aléatoire \(Z\) égale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois à l’issue des deux tirs.
Déterminer la loi de \(X\). Rappeler son espérance et sa variance.
Montrer que \(Z\) suit une loi binomiale. Donner son espérance et sa variance.
On note \(Y=Z-X\).
Que représente la variable aléatoire \(Y\) ? Déterminer la loi de \(Y\).
Les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Calculer la covariance du couple \(( X,Y)\).
Dans cette partie, on note \(U\) une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p.\)
Rappeler la loi de \(U\), son espérance et sa variance.
On considère une variable aléatoire \(T\) telle que : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\ \forall t\in \left[ 0, +\infty \right[ ,\ \mathbb{P}_{[ U=n ] }( T>t) = \mathrm{e}^{-nt}.\)
Montrer : \(\forall t\in \left[ 0, +\infty \right[ ,\ \mathbb{P}( T>t) =\dfrac{p\,\mathrm{e}^{-t}}{1-q\,\mathrm{e}^{-t}}.\)
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire \(T\).
En déduire que \(T\) est une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité.
On note \(Z=UT.\)
Montrer : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\ \forall z\in \left[ 0, +\infty \right[ ,\ \mathbb{P}_{[ U=n ] }( Z>z) = \mathrm{e}^{-z}.\)
En déduire que la variable aléatoire \(Z\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Montrer : \(\forall n\in \mathbb{N}^{\ast},\ \forall z\in \left[ 0, +\infty \right[ ,\ \mathbb{P}( U=n,\ Z>z) =\mathbb{P}( U=n) \, \mathbb{P}( Z>z) .\)
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
