EML 2010Maths approfondies

Problème 1

Définitions et notations

• \(p\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(3\).

• On note \(\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices-lignes à \(p\) colonnes à coefficients réels, \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre \(p\) à coefficients réels, \(I_p\) la matrice diagonale de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à \(1\).

• On note, pour toute matrice carrée \(A\) d’ordre \(p\) et pour tout \((i,j)\in\{1,\dots,p\}^2\), \((A)_{i,j}\) le coefficient de \(A\) situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\).

• On note, pour toute matrice-ligne \(L\) de \(\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\) et pour tout \(j\in\{1,\dots,p\}\), \((L)_j\) le coefficient de \(L\) situé à la colonne \(j\).

• On dit qu’une suite \((A_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) et on note \(A_n \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow A\) si et seulement si : \(\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ (A_n)_{i,j} \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow (A)_{i,j}\).

• On dit qu’une suite \((L_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices de \(\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(L\) de \(\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\) et on note \(L_n \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow L\) si et seulement si : \(\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ (L_n)_{j} \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow (L)_{j}\).

• On admet que, si la suite \((A_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) converge vers matrice \(A\) et si la suite \((B_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(B\), alors la suite \((A_nB_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices converge vers la matrice \(AB\).

• On admet que, si la suite \((A_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) converge vers matrice \(A\) et si \(L\) est une matrice-ligne de \(\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\), alors la suite \((LA_n)_{n\geqslant 1}\) de matrices converge vers la matrice \(LA\).

• On appelle matrice stochastique toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) telle que : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ (A)_{i,j}\geqslant 0 \quad\text{et}\quad\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ \sum_{j=1}^p (A)_{i,j}=1\] et on note \(\mathcal{ST}_p\) l’ensemble des matrices stochastiques de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\).

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Partie I. Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

1. 1. On note \(V\) la matrice-colonne à \(p\) lignes dont tous les coefficients sont égaux à \(1\).

      Montrer, pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\), que : \[A\in\mathcal{ST}_p \Leftrightarrow \begin{cases} \forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ (A)_{i,j}\geqslant 0\\ AV=V\rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]

   2. En déduire que toutes les matrices de \(\mathcal{ST}_p\) ont une valeur propre commune.

2. Démontrer que : \(\forall (A,B)\in(\mathcal{ST}_p)^2,\ AB\in\mathcal{ST}_p\).

3. On note : \[A_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2\\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1/2 & 1/2 & 0\\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]

   1. Justifier, sans calcul, que \(A_1\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Donner la dimension du sous-espace propre pour \(A_1\) associé à la valeur propre \(1\).

   2. En utilisant éventuellement les matrices \(A_2\) et \(A_3\) :

      1. Montrer qu’il existe dans \(\mathcal{ST}_3\) au moins un élément non diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\).

      2. Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse : « pour tout élément \(A\) de \(\mathcal{ST}_3\), le sous-espace propre pour \(A\) associé à la valeur propre \(1\) est de dimension \(1\) ».

4. Soient \(A\in\mathcal{ST}_3\) et \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) dans \(\mathbb{R}\).

   On note \(X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_p \end{pmatrix}\) un vecteur propre pour \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\). On note \(i\) un élément de \(\{1,\dots,p\}\) tel que : \(\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ \left| x_k \right|\leqslant \left| x_i \right|\).

   1. Montrer que : \(\left| \lambda x_i \right| \leqslant \left| x_i \right|\).

   2. En déduire que : \(\left| \lambda \right| \leqslant 1\).

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Partie II. Suites de moyennes de puissances de matrices stochastiques

Soit \(A\in\mathcal{ST}_p\). On note : \(A^0=I_p\).

5. 1. Établir : \(\forall n \in \mathbb{N},\ A^n\in\mathcal{ST}_p\).

   2. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} A^k \in\mathcal{ST}_p\]

   Dans la suite de cette partie II, on suppose qu’il existe \(r\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(P\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) inversible, \(D\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) diagonale dont tous les coefficients diagonaux \((D)_{i,i}\) sont égaux à \(1\) si \(i\leqslant r\) et distincts de \(1\) si \(i\geqslant r+1\), tels que : \(A=PDP^{-1}\).

   On note alors : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ M_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} D^k \quad\text{et}\quad B_n=PM_nP^{-1}\]

   On note enfin \(\Delta\) la matrice de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) diagonale dont tous les coefficients diagonaux \((\Delta)_{i,i}\) sont égaux à \(1\) si \(i\leqslant r\) et nuls sinon, et on note : \(B=P\Delta P^{-1}\).

6. Démontrer, pour tout réel \(x\) fixé tel que \(\left| x \right|\leqslant 1\), que : \[\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} x^k \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow \begin{cases} 1&\text{si } x=1\\ 0 &\text{si } x\neq 0\end{cases}\]

7. Montrer que : \(M_n \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow \Delta\) et en déduire que : \(B_n \underset {n\to {+\infty}}\longrightarrow B\).

8. 1. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(B_n\) appartient à \(\mathcal{ST}_p\).

   2. En déduire que \(B\) appartient à \(\mathcal{ST}_p\).

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Partie III. Aspect probabiliste

On dispose d’un objet noté \(T\) et de trois urnes numérotées \(1\), \(2\) et \(3\). À chaque instant \(n\) (\(n\in\mathbb{N}\)), \(T\) est dans l’une des trois urnes et une seule. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(X_n\) la variable aléatoire égale au numéro de l’urne dans laquelle se trouve l’objet à l’instant \(n\) et \(L_n\) la matrice suivant de \(\mathcal{M}_{1,p}(\mathbb{R})\) : \[L_n=\begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_n=1) & \mathbb{P}(X_n=2) & \mathbb{P}(X_n=3) \end{pmatrix}.\]

On suppose connues la loi de \(X_0\) et la matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \[\forall (i,j)\in\{1,2,3\}^2,\ (A)_{i,j}=\mathbb{P}_{[X_0=i]}(X_1=j)\]

On suppose enfin que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall (i,j)\in\{1,2,3\}^2,\ \mathbb{P}_{[X_n=i]}(X_{n+1}=j)=\mathbb{P}_{[X_0=i]}(X_1=j)\]

9. Montrer que \(A\) appartient à \(\mathcal{ST}_3\).

10. Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ L_{n+1}=L_nA\) puis que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ L_n=L_0A^n\).

    On suppose dorénavant que \(A=A_1\) définie dans la partie I.3 et on note : \[D_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0\\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}\]

11. Déterminer une matrice \(P_1\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), inversible et à coefficients diagonaux tous égaux à \(1\), telle que \(A_1=P_1D_1P_1^{-1}\) et calculer \(P_1^{-1}\).

12. Déterminer la limite de la suite \((D_1^n)_{n\geqslant 1}\) puis la limite de la suite \((A_1^n)_{n\geqslant 1}\).

13. Déterminer la limite de la suite \((L_n)_{n\geqslant 1}\). Expliquer ce résultat par des arguments probabilistes.

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Problème 2

Dans tout le problème, \(J\) désigne l’intervalle \(]-1,{+\infty}[\).

Le but du problème est l’étude de l’application \(f\) définie, pour tout \(x\) de \(J\), par : \[f(x)=\int_0^1 \frac{t^x}{1+t}\,\mathrm{d}t\]

Préliminaires

1. Justifier la convergence des séries numériques suivantes : \[\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{n^2},\quad \sum_{k\geqslant 0} \frac{1}{(2k+1)^2} \quad\text{et}\quad\sum_{n\geqslant 1} \frac{(-1)^n}{n^2}\]

2. En admettant que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\), montrer que : \[\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} =\frac{\pi^2}{8}\]

3. En déduire que : \[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} =-\frac{\pi^2}{12}\]

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Partie I. Éléments d’étude de \(f\)

4. Justifier, pour tout \(x\in J\), la convergence de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{t^x}{1+t}\,\mathrm{d}t\).

5. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).

6. Montrer que : \[\forall x\in J,\ 0\leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{x+1}\] et en déduire que : \[\lim_{x\to {+\infty}} f(x)=0\]

7. 1. Montrer que : \[\forall (x,y)\in J^2,\ \forall t\in \left ]0,1 \right],\ (x\leqslant y \Rightarrow t^x \geqslant t^y)\]

   2. En déduire que \(f\) est décroissante sur \(J\).

8. Montrer que : \[\forall x\in J,\ f(x)+f(x+1)=\frac{1}{x+1}\]

9. Déduire des résultats précédents que : \[f(x) \;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\frac{1}{2x}\]

10. Soit \(x\in J\).

    1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ f(x)=(-1)^{n+1}f(n+1+x)+\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1+x}\]

    2. En déduire que la série numérique \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0} \frac{(-1)^k}{k+1+x}\) converge et que : \[f(x)= \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k+1+x}\]

11. 1. Montrer que : \[\forall (x,y)\in J^2,\ \forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \left| \frac{1}{k+1+x}-\frac{1}{k+1+y} \right| \leqslant \frac{\left| x-y \right|}{k^2}\] puis que : \[\forall (x,y)\in J^2,\ \left| f(x)-f(y) \right| \leqslant \left| x-y \right| \left(\frac{1}{(x+1)(y+1)}+\frac{\pi^2}{6}\right)\]

    2. En déduire que \(f\) est continue sur \(J\).

12. Montrer que : \[f(x) \;\underset{x\to -1}{\sim}\; \frac{1}{x+1}\]

    En déduire la limite de \(f\) en \(-1\).

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Partie II. Dérivabilité de \(f\)

On note, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(g_k\) l’application de classe \(\mathcal{C}^2\) de \(J\) dans \(\mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(J\), par : \[g_k(x)=\frac{(-1)^k}{k+1+x}\]

13. Montrer que : \[\forall (x,y)\in J^2,\ \forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \left| g_k(x)-g_k(y)-(x-y)g_k'(x) \right| \leqslant \frac{\left| x-y \right|^2}{k^3}\]

14. 1. Justifier la convergence des séries \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 1} \frac{1}{k^3}\) et \(\displaystyle\sum_{k\geqslant 0} g_k'(x)\), pour tout \(x\in J\).

    2. En déduire que \(f\) est dérivable sur \(J\) et que : \[\forall x\in J,\ f'(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{(k+1+x)^2}\]

    3. Déterminer \(f'(0)\).

15. Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\). On donne la valeur approchée : \(\ln(2) \simeq 0,69\).