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On note \({\mathcal M}_2(\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 2.
On note: \(A=\begin{pmatrix}0&2\\2&3\end{pmatrix}, \quad F=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}, \quad G=\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}, \quad H=\begin{pmatrix} 0&0\\0&1\end{pmatrix}\).
On note \({\mathcal {S}_2}\) l’ensemble des matrices carrées symétriques d’ordre 2.
Calculer \(AFA\), \(AGA\), \(AHA\).
Montrer que \({ \mathcal {S}_2}\) est un sous-espace vectoriel de \({\mathcal M}_2(\mathbb{R})\) et que \((F,G,H)\) est une base de \({ \mathcal {S}_2}\). Déterminer la dimension de \({\mathcal {S}_2}\).
On note \(u\) l’application qui, à chaque matrice \(S\) de \({\mathcal {S}_2}\), associe la matrice \(u(S)=ASA\).
Montrer: \(\forall S \in {\mathcal {S}_2}, \ u(S)\in {\mathcal {S}_2}\).
Montrer que \(u\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \({\mathcal {S}_2}\).
Donner la matrice de \(u\) dans la base \((F,G,H)\) de \({\mathcal {S}_2}\).
On note: \(I=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \quad M=\begin{pmatrix}0&0&4\\0&4&6\\4&12&9\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix} -4&0&0\\0&1&0\\0&0&16\end{pmatrix}\).
Vérifier que \(-4\), \(1\), \(16\) sont valeurs propres de \(M\) et déterminer, pour chacune de celles-ci, une base du sous-espace propre associé. Est-ce que \(M\) est diagonalisable?
Déterminer une matrice \(P\) carrée d’ordre 3, inversible, de première ligne égale à \(\begin{pmatrix} 4&4&1\end{pmatrix}\), telle que \(M=PDP^{-1}\).
Vérifier que \((D+4I)(D-I)(D-16I)\) est la matrice nulle.
En déduire: \(M^3=13M^2+52M-64I\).
Établir: \(u^3=13u^2+52u-64e\), où \(e\) désigne l’application identité de \({\mathcal {S}_2}\) et où \(u\) a été définie dans la partie I.
On note \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) l’application de classe \(\mathcal C^2\), définie, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), par: \[f(x)=x-\ln(1+x^2)\] et \(C\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
On donne la valeur approchée: \(\ln(2)\approx 0,69\).
Calculer, pour tout \(x\in \mathbb{R}, f'(x)\).
En déduire le sens de variation de \(f\).
Calculer, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(f''(x)\).
Déterminer la limite de \(f\) en \(-\infty\) et la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Déterminer la nature des branches infinies de \(C\).
Montrer que \(C\) admet deux points d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.
Tracer \(C\). On utilisera un repère orthonormé d’unité graphique 2 centimètres, et on précisera la tangente à \(C\) en l’origine et en chacun des points d’inflexion.
Calculer \(\displaystyle \int_0^1xf(x) \,\mathrm{d}x\).
À cet effet, on pourra utiliser le changement de variable défini par \(t=1+x^2\).
On considère la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) définie par \(u_0=1\) et \[\forall n\in \mathbb{N}, \ u_{n+1}=f(u_n)\]
Montrer que \((u_n)_{n\geqslant 0}\) est décroissante.
Établir que la suite \((u_n)_{n\geqslant 0}\) converge et déterminer sa limite.
Écrire un programme Python qui calcule
et affiche un entier \(n\) tel que
\(u_n\leqslant 10^{-3}\).
Établir: \(\displaystyle \forall x\in [0,1], \ f(x)\leqslant x-\dfrac{x^2}{2}\).
En déduire: \(\forall n\in \mathbb{N}, \ u_n^2\leqslant 2(u_n-u_{n+1})\).
Démontrer que la série \(\sum\limits_{n\geqslant 0}u_n^2\) converge.
On considère l’application \(F:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\), définie, pour tout \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), par: \[F(x,y)=f(x+y)-f(x)-f(y)\]
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et exprimer, pour tout \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), les dérivées partielles premières de \(F\) en \((x,y)\) à l’aide de \(f'\), \(x\) et \(y\).
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système \[\begin{cases} f'(x)=f'(y)\\f'(x+y)=f'(x) \end{cases}\]
En déduire les points critiques de \(F\).
Est-ce que \(F\) admet un minimum local?
Les deux parties sont indépendantes.
Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notés \(C_1, C_2, C_3\) arrivent en même temps. Les clients \(C_1\) et \(C_2\) se font servir tandis que le client \(C_3\) attend puis effectue son opération dés que l’un des deux guichets se libère.
On définit \(X_1, X_2, X_3\) les variables aléatoires égales à la durée d’opération des clients \(C_1, C_2, C_3\) respectivement. Ces durées sont mesurées en minutes et arrondies à l’unité supérieure ou égale. On suppose que les variables \(X_1, X_2, X_3\) suivent la loi géométrique de paramètre \(p\), \(p\in \left] 0 , 1 \right[\) et qu’elles sont indépendantes. On note \(q=1-p\).
On note \(A\) l’événement: « \(C_3\) termine en dernier son opération ». Ainsi l’événement \(A\) est égal à l’événement: \(\left[ \min(X_1,X_2)+X_3>\max(X_1,X_2) \right]\).
On se propose de calculer la probabilité de \(A\).
Rappeler la loi de \(X_1\) ainsi que son espérance \(\mathbb{E}(X_1)\) et sa variance \(\mathbb{V}(X_1)\).
On définit la variable aléatoire \(\Delta=|X_1-X_2|\).
Calculer la probabilité \(\mathbb{P}( \Delta=0)\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Justifier: \(\displaystyle \mathbb{P}( X_1-X_2=n)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\mathbb{P}( X_2=k) \, \mathbb{P}( X_1=n+k)\).
En déduire: \(\mathbb{P}( \Delta=n)=\dfrac{2pq^n}{1+q}\).
Montrer que \(\Delta\) admet une espérance \(\mathbb{E}(\Delta\)) et la calculer.
Montrer: \(\mathbb{E}((X_1-X_2)^2)=2 \, \mathbb{V}(X_1)\). En déduire que \(\Delta\) admet une variance \(\mathbb{V}(\Delta)\) et la calculer.
Montrer que l’événement \(A\) est égal à l’événement \([X_3>\Delta]\).
En déduire: \(\displaystyle \mathbb{P}(A)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \mathbb{P}(\Delta=k) \, \mathbb{P}(X_3>k)\).
Exprimer \(\mathbb{P}( A)\) à l’aide de \(p\) et \(q\).
Dans cette partie, \(X\) est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p\), \(p\in \left] 0 , 1 \right[\) et \(Y\) est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), \(\lambda\in \left] 0,+\infty \right[\). On note \(q=1-p\).
On suppose que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, c’est à dire: \[\forall k\in \mathbb{N}^*, \ \forall t\in \left[ 0, +\infty \right[, \ \mathbb{P}([ X=k ]\cap [ Y\leqslant t ])= \mathbb{P}(X=k)\ \,\mathbb{P}(Y\leqslant t)\]
Rappeler une densité de \(Y\) ainsi que son espérance et sa variance.
On définit la variable aléatoire \(Z=\dfrac{Y}{X}\).
Montrer: \(\forall t\in \left[ 0,+\infty \right[, \ \mathbb{P}( Z\geqslant t)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k) \, \mathbb{P}(Y\geqslant kt)\).
En déduire: \(\forall t\in \left[ 0,+\infty \right[, \ \mathbb{P}( Z\geqslant t)=\dfrac{p \,\mathrm{e}^{-\lambda t}}{1-q \,\mathrm{e}^{-\lambda t}}\).
Montrer que la variable aléatoire \(Z\) admet une densité et déterminer une densité de \(Z\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
