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On note \((a,b)\) un couple de réels strictement positifs.
Montrer que l’intégrale impropre \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-bx}}{x}\,\mathrm{d}x\) converge.
Établir, pour tout \((\varepsilon,X)\) appartenant à \(\left] 0,{+\infty}\right[^2\) tel que \(\varepsilon \leqslant X\) : \[\int_{\varepsilon}^X\dfrac{\mathrm{e}^{-ax}}{x}\,\mathrm{d}x=\int_{a\varepsilon}^{aX}\dfrac{\mathrm{e}^{-y}}{y}\,\mathrm{d}y \quad \text{et} \quad \int_{\varepsilon}^X\dfrac{\mathrm{e}^{-bx}}{x}\,\mathrm{d}x=\int_{b\varepsilon }^{bX}\dfrac{\mathrm{e}^{-y}}{y}\,\mathrm{d}y\]
À cet effet, on pourra utiliser des changements de variable.
En déduire, pour tout \((\varepsilon,X)\) appartenant à \(\left] 0,{+\infty}\right[^2\) tel que \(\varepsilon \leqslant X\) : \[\int_{\varepsilon}^X\dfrac{\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-bx}}{x}\,\mathrm{d}x=\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\dfrac{\mathrm{e}^{-y}}{y}\,\mathrm{d}y-\int_{aX}^{bX}\dfrac{\mathrm{e}^{-y}}{y}\,\mathrm{d}y\]
Montrer que l’application \(h:\left[ 0,{+\infty}\right[\rightarrow\mathbb{R}\) définie par : \[h(y)=\begin{cases}\dfrac{1-\mathrm{e}^{-y}}{y}&\text{ si }y\neq0\\ \hfill 1 \hfill &\text{ si }y=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\] est continue sur \(\left[ 0,{+\infty}\right[\).
En déduire : \[\int_{a\varepsilon}^{b\varepsilon}\dfrac{\mathrm{e}^{-y}}{y}\,\mathrm{d}y\underset{\varepsilon\to0}\longrightarrow\ln \! \left( \dfrac{b}{a} \right)\]
Établir, pour tout \(X\) de \(\left] 0,{+\infty}\right[\) : \[\int_0^X\dfrac{\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-bx}}{x}\,\mathrm{d}x=\ln \! \left( \dfrac{b}{a} \right) -\int_{aX}^{bX}\dfrac{\mathrm{e}^{-y}}{y}\,\mathrm{d}y\]
En déduire : \[\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{-ax}-\mathrm{e}^{-bx}}{x}\,\mathrm{d}x=\ln \! \left( \dfrac{b}{a} \right)\]
On note \(E\) l’ensemble des applications \(f:\left[ 0,{+\infty}\right[\to\mathbb{R}\), bornées, de classe \(\mathcal C^1\), telles que \(f(0)=0\).
Démontrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de \(\left[ 0,{+\infty}\right[\) dans \(\mathbb{R}\).
On considère les applications \(f_1,f_2,f_3,f_4\) définies, pour tout \(x\in\left[ 0,{+\infty}\right[\), par : \[f_1(x)=\sin(x),\ f_2(x)=\cos(x),\ f_3(x)=\mathrm{e}^x-1,\ f_4(x)=1-\mathrm{e}^{-x}\] Pour chacune de ces applications, indiquer, en le justifiant, si elle est ou non un élément de \(E\).
Montrer, pour tout \(f\in E\) : \(\dfrac{f(x)}{x}\underset{x\to0}\longrightarrow f'(0)\).
Montrer que, pour tout \((f,g)\in E^2\), l’intégrale impropre \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{f(x)g(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x\) converge.
On note \(\left( \cdot \,\vert \, \cdot \right): E^2 \rightarrow \mathbb{R},\) l’application définie par : \[\left( f \,\vert \, g \right) =\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{f(x)g(x)}{x^2}\,\mathrm{d}x\]
Établir que \(\left( \cdot \,\vert \, \cdot \right)\) est un produit scalaire sur \(E\).
Démontrer, pour tout \((f,g)\in
E^2\) : \(\displaystyle \left( f
\,\vert \, g \right) =\displaystyle
\int_0^{+\infty}\dfrac{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}{x}\,\mathrm{d}x\).
À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par
parties sur un segment.
On note, pour tout \(\alpha\in\left] 0,{+\infty}\right[\), \(u_\alpha : \left[ 0,{+\infty}\right[\rightarrow\mathbb{R}\) l’application définie par : \[\forall x\in \left[ 0, {+\infty}\right[,\ u_\alpha(x)=1-\mathrm{e}^{-\alpha x}\]
Vérifier : \(\forall\alpha\in\left] 0,{+\infty}\right[\), \(u_\alpha \in E\).
Calculer, pour tout \((\alpha,\beta)\in\left] 0,{+\infty}\right[^2\), le produit scalaire \(\left( u_\alpha \,\vert \, u_\beta \right)\).
À cet effet, on pourra utiliser les résultats des questions 8 et 3d.
Établir pour tout \((\alpha,\beta)\in\left] 0,{+\infty}\right[^2\) : \(\left( u_\alpha \,\vert \, u_\beta \right)>0\).
On note \(c\) un réel strictement positif.
On considère l’application \(v: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) définie, pour tout réel \(x\), par : \[v(x)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{ si }x\leqslant 0\\ \dfrac{\mathrm{e}^{-c^2x}-\mathrm{e}^{-4c^2x}}{x\ln (4)}&\text{ si }x>0\end{cases}\]
Montrer que \(v\) est une densité d’une variable aléatoire réelle.
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle, à valeurs positives ou nulles, admettant \(v\) comme densité.
Montrer que \(X\) admet une espérance et calculer \(\mathbb{E}(X)\) en fonction de \(c\).
On note \(Y\) la variable aléatoire réelle définie par : \(Y=\sqrt{X}\).
Montrer que \(Y\) est une variable aléatoire réelle à densité et calculer une densité de \(Y\).
Montrer que la variable aléatoire réelle \(Y\) admet une espérance et une variance, et déterminer \(\mathbb{E}(Y)\) et \(\mathbb{V}(Y)\) en fonction de \(c\).
Notations et définitions
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\).
La matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) est notée \(\mathrm{I}_n\) et la matrice nulle de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) est notée \(\mathrm{O}_n\).
Soit \(M\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\). On dit que \(M\) est nilpotente s’il existe un entier naturel non nul \(p\) tel que \(M^p=\mathrm{O}_n\).
Soient \(M\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et \(\lambda\) une valeur propre de \(M\). On note \(\text{SEP}(M,\lambda)\) le sous-espace propre de \(M\) associé à \(\lambda\).
On dit qu’une matrice \(S\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) est symétrique positive lorsqu’elle est symétrique et vérifie : \[\forall X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R}),\ \,^t\!XSX \geqslant 0\]
Soient \(A,R\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) lorsqu’elle vérifie \(R^2=A\).
Le but de ce problème est d’étudier la notion de racine carrée d’une matrices dans quelques cas particuliers.
Soit \(\theta\in\mathbb{R}\) et \(R_\theta=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin (\theta) \\\sin(\theta) &-\cos(\theta)\end{pmatrix}\).
Calculer \((R_\theta)^2\) et en déduire que la matrice \(\mathrm{I}_2\) admet une infinité de racines carrées.
Montrer que la matrice \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) n’admet pas de racine carrée.
Donner le développement limité à l’ordre \(3\), au voisinage de \(0\), de \(t\longmapsto\sqrt{1+t}\).
On note \(\sqrt{1+t}=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+\underset{t\to0}{\text{o}}(t^3)\) ce développement limité.
Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) de \(\mathbb{R}[x]\) tel que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ 1+x= \left( a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \right)^2+ x^4 \,Q(x)\]
Soit \(N\in\mathcal M_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(N^4=\mathrm{O}_n\). Déduire de la question précédente une racine carrée de \(\mathrm{I}_n+N\).
Soit \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbb{R}^n\) vérifiant \(f\circ g=g\circ f\). On suppose deux plus que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles deux à deux distinctes.
Montrer que chaque sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).
En déduire que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).
Justifier que \(f\) est diagonalisable.
Montrer que, pour tout base \(\mathcal B\) de \(\mathbb{R}^n\) constituée de vecteurs propres de \(f\), la matrice associée à \(g\) relativement à la base \(\mathcal B\) est diagonale. En déduire que \(g\) est diagonalisable.
Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) admettant \(n\) valeurs propres réelles strictement positives et deux à deux distinctes.
Justifier l’existence d’une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) telle que la matrice \(D=P^{-1}AP\) soit diagonale.
Donner un exemple de racine carrée de \(A\). (On l’exprimera à l’aide de \(P\) et des éléments diagonaux de \(D\).)
Soit \(R\) une racine carrée de \(A\). Vérifier que \(AR=RA\).
En déduire que la matrice \(P^{-1}RP\) est diagonale.
Établir que \(A\) admet exactement \(2^n\) racines carrées.
Soit \(S\) une matrice de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) symétrique positive.
Montrer que toutes les valeurs propres de \(S\) sont positives ou nulles.
Justifier l’existence d’une matrice orthogonale \(P\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) telle que la matrice \(D=P^{-1}SP\) soit diagonale.
Déterminer une racine carrée de \(S\) qui soit symétrique positive (on l’exprimera à l’aide de \(P\) et des éléments diagonaux de \(D\)).
On veut montrer que \(S\) admet une unique racine carrée symétrique positive.
Soit \(R\) une matrice symétrique positive telle que \(R^2=S\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(R\). Montrer que \(\lambda^2\) est valeur propre de \(S\) et que les sous-espaces propres associés vérifient : \(\text{SEP}(R,\lambda)\subset\text{SEP}(S,\lambda^2)\).
On note \(p\) le nombre de valeurs propres deux à deux distinctes de \(R\) et \(\lambda_1,\ldots,\lambda_p\) les \(p\) valeurs propres deux à deux distinctes de \(R\).
Justifier que : \(\displaystyle \bigoplus_{i=1}^p\text{SEP}(R,\lambda_i)\subset\bigoplus_{i=1}^p\text{SEP}(S,\lambda_i^2)\).
En déduire que : \(\displaystyle n=\displaystyle \sum_{i=1}^p\dim\left(\text{SEP}(R,\lambda_i)\right) \leqslant \sum_{i=1}^p\dim\left(\text{SEP}(S,\lambda_i^2)\right) \leqslant n\).
Montrer que \(\lambda_1^2,\ldots,\lambda_p^2\) sont les seules valeurs propres de \(S\) et que \[\forall i\in\{1,\ldots,p\},\ \text{SEP}(R,\lambda_i)=\text{SEP}(S,\lambda_i^2).\]
Montrer que la matrice \(P^{-1}RP\) est diagonale.
En déduire que \(S\) admet une unique racine carrée symétrique positive.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
