EML 2009Maths appliquées

Exercice 1

On note \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) l’application définie, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), par : \[f( x) = \begin{cases} \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}-1} & \text{ si }x\neq 0 \\ \hfill 1 \hfill & \text{ si }x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

Partie I : Étude d’une fonction

1. 1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

   2. Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left] -\infty ,0\right[\) et sur \(\left] 0,+\infty \right[\)1 et calculer \(f^{\prime }( x)\) pour tout \(x\) appartenant à \(\left] -\infty ,0\right[ \cup \left] 0,+\infty \right[\).

   3. Montrer : \(f^{\prime }( x) \underset{% x\rightarrow 0}{\longrightarrow }-\dfrac{1}{2}\).

   4. Établir que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et pré ciser \(f^{\prime }\left( 0\right)\).

2. 1. Étudier les variations de l’application \(u:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), définie, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), par \[u( x) =\left( 1-x\right) \mathrm{e}^{x}-1\]

   2. Montrer : \(\forall x\in \mathbb{R},\ f^{\prime}( x) <0.\)

   3. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
      Dresser le tableau des variations de \(f\).

   4. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet une droite asymptote, lorsque la variable tend vers \(-\infty\).

   5. Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\).

Partie II : Étude d’une suite récurrente associée à la fonction \(f\)

On considère la suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\), dé finie par \(u_{0}=1\) et, pour tout \(n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=f( u_{n})\).

3. Montrer que \(f\) admet un point fixe et un seul, noté \(\alpha\), que l’on calculera.

4. 1. Établir : \(\displaystyle \forall x\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\ \mathrm{e}^{2x}-2x \, \mathrm{e}^{x}-1 \geqslant 0\).

   2. Montrer : \(\displaystyle \forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\ f^{\prime }( x) +\dfrac{1}{2}=\dfrac{% \mathrm{e}^{2x}-2x~\mathrm{e}^{x}-1}{2\left( \mathrm{e}^{x}-1\right) ^{2}}\).

   3. Montrer : \(\displaystyle \forall x\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\ -\dfrac{1}{2} \leqslant f^{\prime }( x) <0.\)

   4. Établir : \(\displaystyle \forall n\in \mathbb{N% },\ \left \vert u_{n+1}-\alpha \right \vert \leqslant \frac{1}{2}\left \vert u_{n}-\alpha \right \vert\).

5. En déduire : \(\forall n\in \mathbb{N},\mathbb{% \ }\left \vert u_{n}-\alpha \right \vert \leqslant \dfrac{1}{2^{n}}\left( 1-\alpha \right)\).

6. Conclure que la suite \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) converge vers \(\alpha\).

7. Écrire un programme Python calculant et affichant le plus petit entier naturel \(n\) pour lequel \(\left \vert u_{n}-\alpha \right \vert <10^{-9}\).

Partie III : Étude d’une fonction définie par une int égrale

On note \(G:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) l’application définie, pour tout \(x\in \mathbb{R},\) par : \[G( x) =\int_{x}^{2x}f( t) \,\mathrm{d}t\]

8. Montrer que \(G\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et que, pour tout \(x\in \mathbb{R}:\) \[G^{\prime }( x) = \begin{cases} \dfrac{x\left( 3-\mathrm{e}^{x}\right) }{\mathrm{e}^{2x}-1} & \text{si }x\neq 0 \\ \hfill 1 \hfill & \text{ si }x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

9. 1. Montrer : \(\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\ 0 \leqslant G( x) \leqslant x f\left( x\right)\).

      En déduire la limite de \(G\) en \(+\infty\).

   2. Montrer : \(\forall x\in \left] -\infty ,0\right] ,\ G( x) \leqslant xf( x) .\)

      En déduire la limite de \(G\) en \(-\infty\).

10. Dresser le tableau des variations de \(G\). On n’essaiera pas de calculer \(G( \ln (3))\).

Exercice 2

On considère les matrices carrées d’ordre trois : \(A=% \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4% \end{pmatrix}%\) et \(D=% \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4% \end{pmatrix}%\).

Partie I : Réduction de

1. Est-ce que \(A\) est inversible ?

2. Déterminer les valeurs propres de \(A\).
   Justifier, sans calcul, que \(A\) est diagonalisable.

3. Déterminer une matrice carrée \(P\) d’ordre trois, inversible, dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1, telle que \(% A=PDP^{-1}\) et calculer \(P^{-1}\).

Partie II : Résolution de l’équation

On se propose de résoudre l’équation \(\left( 1\right) :M^{2}=A\), d’inconnue \(M\), matrice carrée d’ordre trois.
Soit \(M\) une matrice carrée d’ordre trois. On note \(N=P^{-1}MP\) (la matrice \(P\) a été définie dans la question 3).

4. Montrer : \(M^{2}=A\Leftrightarrow N^{2}=D\).

5. Établir que, si \(N^{2}=D\), alors \(ND=DN\).

6. En déduire que, si \(N^{2}=D\), alors \(N\) est diagonale.

7. Déterminer toutes les matrices diagonales \(N\) telles que \(N^{2}=D\).

8. En déduire la solution \(B\) de l’équation \(\left( 1\right)\) dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.

Partie III : Intervention d’un polynôme

9. Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) de degré deux, et un seul, que l’on calculera, tel que : \[Q( 0) =0,\quad Q( 1) =1,\quad Q( 4) =2\]

10. En déduire : \(-\dfrac{1}{6} \, A^{2}+\dfrac{7}{6} \, A=B\) (la matrice \(B\) a été définie dans la question 8).

11. Montrer, pour toute matrice carrée \(F\) d’ordre trois : \[AF=FA\Leftrightarrow BF=FB\]

Exercice 3

Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches est \(p\) et la proportion de boules noires est \(q\).

Ainsi, on a : \(0<p<1,\) \(0<q<1\) et \(p+q=1\).

Partie I : Tirages avec arrêt dès qu’une boule noire a été obtenue

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on note \(T\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués jusqu’à l’obtention de la première boule noire et \(U\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

1. Reconnaître la loi de \(T\). Pour tout entier \(k \geqslant 1\), donner \(\mathbb{P}( T=k)\) et rappeler l’espérance et la variance de \(% T\).

2. En déduire que \(U\) admet une espérance et une variance. Dé terminer \(\mathbb{E}( U)\) et \(\mathbb{V}( U)\).

Partie II : Tirages avec arrêt dès qu’une boule blanche et une boule noire ont été obtenues

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués au moment où, pour la première fois, on a obtenu au moins une boule de chaque couleur et, pour tout \(n \in\mathbb{N}^\ast\), si \(X=n\), on note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues lors des \(n\) premiers tirages et \(Z\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues lors des \(n\) premiers tirages.

Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement \(% [ Y=1 ] \cup [ Z=1 ]\) est égale à \(1\).

Pour tout entier naturel non nul \(i\), on note :

• \(B_{i}\) l’événement « la \(i\)-ème boule tir ée est blanche »,

• \(N_{i}\) l’événement « la \(i\)-ème boule tir ée est noire ».

3. 1. Montrer, pour tout entier \(k \geqslant 2:\mathbb{P}( X=k) =qp^{k-1}+pq^{k-1}\).

   2. Vérifier : \(\displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty }\mathbb{P}( X=k) =1\).

   3. Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance et que : \(\mathbb{E}( X) =\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}-1\).

4. 1. Pour tout entier \(k \geqslant 2\), déterminer \(\mathbb{P}\! \left( \left[ X=k\right] \cap \left[ Y=1\right] \right)\).

      On distinguera les cas \(k=2\) et \(k \geqslant 3\).

   2. En déduire : \(\mathbb{P}( Y=1) =q\left( 1+p\right)\).

   3. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(Y\).

   On admet que l’espérance de \(Y\) existe et que : \(\mathbb{E}( Y) = \dfrac{1}{q}\left( 1-p+p^{2}\right)\).

5. Donner la loi de \(Z\) et son espérance.

6. Montrer que les variables aléatoires \(YZ\) et \(X-1\) sont é gales.

7. Montrer que le couple \(\left( Y,Z\right)\) admet une covariance et exprimer \(\rm{cov}\left( Y,Z\right)\) à l’aide de \(\mathbb{E}( X) , \mathbb{E}( Y)\) et \(\mathbb{E}( Z) .\)