EML 2008Maths approfondies

On confond polynôme et application polynomiale de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On note \(E\) l’ensemble des applications \(u : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continues sur \(\mathbb{R}\) et telles que l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\left(u(x)\right)^2\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) converge.

On note \(F\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des applications polynômiales de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

On note, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(F_n\) le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel des applications polynômiales de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de degré inférieur ou égal à \(n\).

Préliminaire. Valeur de l’intégrale de Gauss

En considérant une variable aléatoire suivant une loi normale, justifier que : \[\forall m\in\mathbb{R},\ \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-(x-m)^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}.\]

Partie I. Un produit scalaire sur \(E\)

1. Établir, pour tout \((\alpha,\beta)\in(\mathbb{R}^+)^2\) : \[\alpha\beta\leqslant \frac{\alpha^2+\beta^2}{2}.\]

2. En déduire que, pour tout \((u,v)\in E^2\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}u(x) \,v(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\) converge.

   On note \(\left( \cdot\,\vert \, \cdot \right)\) l’application de \(E^2\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall (u,v)\in E^2,\ \left( u\,\vert \, v \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}u(x)\, v(x)\,\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x.\]

3. 1. Démontrer que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.

   2. Montrer que l’application \(\left( \cdot\,\vert \, \cdot \right)\) est un produit scalaire sur \(E\).

4. Prouver que \(F\) est inclus dans \(E\).

   On note encore \(\left( \cdot\,\vert \, \cdot \right)\) la restriction à \(F\) ou à \(F_n\), pour \(n\in\mathbb{N}\), du produit scalaire \(\left( \cdot\,\vert \, \cdot \right)\) sur \(E\). On admet que cette restriction est encore un produit scalaire sur \(F\) ou sur \(F_n\).

   On note \(\left\| \cdot \right\|\) la norme euclidienne sur \(E\) associée au produit scalaire \(\left( \cdot\,\vert \, \cdot \right)\), définie, pour tout \(u\in E\), par : \[\forall u\in E,\ \left\| u \right\|=\sqrt{\left( u\,\vert \, u \right)}.\]

Partie II. Polynômes d’Hermite

On note \(w\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathrm C^\infty\), définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}.\]

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on note \(H_n\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ H_n(x)=(-1)^n\,\mathrm{e}^{x^2}\,w^{(n)}(x),\]

où \(w^{(n)}\) désigne la dérivée \(n^{\grave{e}me}\) de \(w\). En particulier, on a donc : \[\forall x\in\mathbb{R},\ H_0(x) = 1.\]

5. Calculer, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(H_1 (x)\), \(H_2(x)\), et \(H_3(x)\).

6. 1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R},\ H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) - H_n'(x).\]

   2. En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(H_n\) est un polynôme de degré \(n\).

   3. Calculer \(H_4\).

7. Déterminer, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), le coefficient du terme de plus haut degré de \(H_n\).

8. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R},\ H_n(-x)=(-1)^n H_n(x).\]

   Qu’en déduit-on, en terme de parité, pour l’application \(H_n\) ?

Partie III. Lien entre le produit scalaire et les polynômes d’Hermite

9. 1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall P\in F,\ \left( P'\,\vert \, H_{n-1} \right) = \left( P\,\vert \, H_n \right),\] où \(\left( \cdot\,\vert \, \cdot \right)\) est le produit scalaire sur \(F\) défini en I.4. À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.

   2. En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall P\in F_{n-1},\ \left( P\,\vert \, H_n \right)=0.\]

   3. En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la famille \((H_0,\dots,H_n)\) est orthogonale dans \(F\).

10. Établir que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la famille \((H_0,\dots,H_n)\) est une base de \(F_n\).

11. Soit \(n\in \mathbb{N}\).

    1. Montrer que : \(\left\| H_n \right\|^2=(H_n^{(n)}\,\vert \, H_0)\), où \(\left\| \cdot \right\|\) est définie en I.4.

    2. En déduire la valeur de \(\left\| H_n \right\|\).

Partie IV. Un endomorphisme symétrique

On note \(f\), \(g\), \(h\) les applications définies de \(F\) dans \(F\) par : \[\forall P\in F,\ f(P)=-P''+ 2 X P'+ P,\quad g(P) = 2 X P- P',\quad h(P) = P'.\]

12. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(F\). On admet que \(g\) et \(h\) sont aussi des endomorphismes de \(F\) et on note \(\operatorname{Id}_F\) l’application identique de \(F\).

13. 1. Établir : \[g \circ h = f - \operatorname{Id}_F \quad\text{et}\quad h\circ g = f + \operatorname{Id}_F.\]

    2. En déduire que : \(f\circ g - g\circ f = 2g\).

14. Montrer que, pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) et tout \(P\in F\) : \[f(P)=\lambda P \Rightarrow f\left(g(P)\right)=(\lambda + 2)\,g(P).\]

15. 1. Calculer \(f(H_0)\).

    2. Calculer, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(g(H_k)\), et en déduire que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ f(H_k)=(2k+1)H_k.\]

16. Établir : \[\forall (P,Q)\in F^2,\ \left( P'\,\vert \, Q' \right)=\left( f(P)\,\vert \, Q \right)-\left( P\,\vert \, Q \right).\]

    À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un intervalle fermé borné.

17. Soit \(n\in\mathbb{N}\).

    1. Montrer que : \[\forall P\in F_n,\ f(P)\in F_n.\]

       On note alors \(f_n\) l’endomorphisme de \(F_n\) défini par : \[\forall P \in F_n,\ f_n(P) = f(P).\]

    2. Montrer que \(f_n\) est un endomorphisme symétrique de \(F_n\).

18. Donner une base orthonormale de \(F_n\) constituée de vecteurs propres de \(f_n\).

Partie V : Intervention d’exponentielles

On note, pour tout \(a \in \mathbb{R}\), \(\varphi_{a}\) l’application de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), par : \(\varphi_{a}(x)=\mathrm{e}^{a x}\).

19. Vérifier, pour tout \(a \in \mathbb{R}\) : \(\varphi_{a} \in E\).

20. Montrer, pour tout \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\) : \(\left(\varphi_{a} \mid \varphi_{b}\right)=\mathrm{e}^{\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}}\).

21. Déterminer la nature de la série \(\sum\limits_{n \geqslant 1}\left\|\varphi_{\sqrt{\ln n}}\right\|^{-2}\).

22. Montrer que la série \(\sum\limits_{n \geqslant 0}\left\|\varphi_{\sqrt{n}}\right\|^{-2}\) converge et calculer sa somme.

Partie VI : Une limite de probabilité conditionnelle

Soit la fonction \(\Phi\) définie sur \(] 0 ,+\infty[\) par : \[\forall x \in \left] 0 ,+\infty\right[, \ \Phi(x)=\int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \, \mathrm{d} t\]

23. Montrer que \(\Phi\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(] 0 ,+\infty\left[\right.\) et déterminer sa dérivée \(\Phi^{\prime}\).

24. Soient \(G\) et \(K\) les fonctions définies sur \(] 0 ;+\infty[\) par : \[\forall x \in \left] 0 ,+\infty\right[, \ G(x)=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{3}}\right) \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{2} \quad \text{et} \quad K(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{2 x}\]

    1. Déterminer les limites des fonctions \(\Phi, G\) et \(K\) en \(+\infty\).

    2. Déterminer les sens de variation des fonctions \(G-\Phi\) et \(\Phi-K\).

    3. En déduire : \(\displaystyle \forall x \in \left] 0 ,+\infty \right[, \ G(x) \leqslant \Phi(x) \leqslant K(x)\).

    4. Montrer : \(\displaystyle \Phi(x) \underset{x \rightarrow+\infty}{\sim} \frac{\mathrm{e}^{-x^{2}}}{2 x}\).

25. Soit \(X\) une variable aléatoire normale d’espérance égale à 0 et d’écart-type égal à \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

    1. Pour tout réel \(x\) strictement positif, exprimer la probabilité \(\mathbb{P}(X \leqslant x)\) à l’aide de la fonction \(\Phi\).

    2. Soit \(c\) un réel strictement positif.

       Pour tout réel \(x\), on considère la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[X>x]}(X \leqslant x+c)\). Montrer : \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \mathbb{P}_{[X>x]}(X \leqslant x+c)=1\]