EML 2008Maths appliquées

Exercice 1

On admet l’encadrement suivant : \(2,7< \mathrm{e}<2,8\).

Partie I : Étude d’une fonction

On considère l’application \(f:\left[ 0,+\infty \right[ \to \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\in \left[ 0,+\infty \right[\) par : \[f(t) = \begin{cases} t\ln (t) -t & \text{si }t\neq 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si }t=0% \end{cases}\]

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\left[ 0,+\infty \right[\).

2. Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left] 0,+\infty \right[\) et calculer \(f^{\prime }(t)\) pour tout \(t\in \left] 0,+\infty % \right[\).

3. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

4. Dresser le tableau des variations de \(f\).

5. Montrer que \(f\) est convexe sur \(\left] 0,+\infty \right[\).

6. On note \(\Gamma\) la courbe représentative de \(f\) dans un repè re orthonormal \(\left( O, \vec{i}, \vec{j}\right)\).

   1. Montrer que \(\Gamma\) admet une demi-tangente en \(O\).

   2. Déterminer les points d’intersection de \(\Gamma\) avec l’axe des abscisses.

   3. Préciser la nature de la branche infinie de \(\Gamma\).

   4. Tracer \(\Gamma\).

Partie II : Étude d’une fonction définie par une int égrale

On considère l’application \(G:\left] 1 , +\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\in \left] 1 , +\infty \right[\), par : \[G(x) =\frac{1}{2}\int_{x-1}^{x+1}f(t) \,\mathrm{d}t\]

7. Montrer que \(G\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\left] 1 , +\infty \right[\) et que, pour tout \(x\in \left] 1 , +\infty \right[\) : \[G^{\prime }( x) =\frac{1}{2}\left [ f(x+1) -f(x-1) \right]\] et : \[G^{\prime \prime } (x) =\frac{1}{2}\left[ \ln(x+1) -\ln (x-1) \right]\]

   À cet effet, on pourra faire intervenir une primitive \(F\) de \(f\) sans chercher à calculer \(F\).

8. 1. Montrer que \(G^{\prime }\) est strictement croissante sur \(\left] 1,+\infty \right[ .\)

   2. Vérifier : \(G^{\prime }( 2) >0\).

   3. Établir que l’équation \(G^{\prime }(x) =0\), d’inconnue \(x\in \left] 1 , +\infty \right[\), admet une solution et une seule, notée \(\alpha\), et que \(\alpha <2\).

Partie III : Étude d’une fonction de deux variables ré elles

On considère l’application \(\Phi :\left] 1 , +\infty \right[ ^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(\left( x,y\right) \in % \left] 1 , +\infty \right[ ^{2}\), par: \[\Phi \left( x,y\right) =\left[ y-f(x+1) \right] ^{2}+\left[ y-f(x-1) \right] ^{2}\] où l’application \(f\) est définie dans la partie I.

9. Justifier que \(\Phi\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\left] 1 , +\infty % \right[ ^{2}\) et calculer les dérivées partielles premières de \(% \Phi\) en tout \(\left( x,y\right)\) de \(\left] 1 , +\infty \right[ ^{2}\).

10. Vérifier que \(( \alpha ,f(\alpha +1) )\) est un point critique de \(\Phi\) où \(\alpha\) est défini en II.8c.

11. Est-ce que \(\Phi\) admet un extremum local en \(( \alpha ,f( \alpha +1) )\) ?

Exercice 2

On considère les matrices carrées d’ordre trois suivantes : \[A=% \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ -2 & -2 & -1% \end{pmatrix}% ,\quad B=% \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 0% \end{pmatrix}% ,\quad D=% \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1% \end{pmatrix}%\]

Partie I : Réduction simultanée de \(A\) et \(B\)

1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(A\).

2. En déduire une matrice carrée \(P\) d’ordre trois, inversible, de deuxième ligne \(\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\), telle que \(A=PDP^{-1}\), et calculer \(P^{-1}\).

3. Calculer la matrice \(C=P^{-1}BP\) et vérifier que \(C\) est diagonale.

Partie II : Étude d’un endomorphisme d’un espace de matrices

On note \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre trois, et on considère l’application \(f:E\rightarrow E\) qui, à toute matrice \(M\) carrée d’ordre trois, associe \(f( M) =AM-MB.\)

4. Donner la dimension de \(E\).

5. Vérifier que \(f\) est un endomorphisme de \(E\).

6. Soit \(M\in E\). On note \(N=P^{-1}M~P\), où \(P\) est définie en I.2.

   1. Montrer : \(M\in \mathrm{Ker}( f) \Leftrightarrow DN=NC.\)

   2. Déterminer les matrices \(N\) carrées d’ordre trois telles que : \(DN=NC.\)

   3. Montrer que l’ensemble des matrices \(N\) carrées d’ordre trois telles que \(DN=NC\) est un espace vectoriel, et en déterminer une base et la dimension.

7. 1. En déduire la dimension de \(\mathrm{Ker}\left( f\right)\), puis la dimension de \(\mathrm{Im}( f)\).

   2. Donner au moins un élément non nul de \(\mathrm{Ker}(f)\) et donner au moins un élément non nul de \(\mathrm{Im}(f).\)

Exercice 3

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I : Étude d’une variable aléatoire

1. Soit \(h\) la fonction définie sur l’intervalle \(\left[ 0,1\right]\) par : \[\forall x\in \left[ 0, 1\right] ,\ h(x) =\frac{x}{2-x}\]

   1. Montrer que \(h\) est une bijection de \(\left[ 0,1\right]\) sur \(\left[ 0,1\right]\) et, pour tout \(y\in \left[ 0,1\right]\), exprimer \(h^{-1}( y) .\)

   2. Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) vérifiant : \(% \forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ h(x) =\alpha +\dfrac{\beta }{2-x}\).

   3. Calculer \(\displaystyle \int_{0}^{1}h(x) \,\mathrm{d}x\).

2. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle \(\left[ 0,1\right]\).

   1. Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire \(X\).

   2. Pour tout réel \(y\) de \(\left[ 0,1\right]\) déterminer la probabilité de l’événement \(\left[ \dfrac{X}{2-X}\leqslant y\right]\).

   3. Montrer que la variable aléatoire \(Y=\dfrac{X}{2-X}\) admet une densité et déterminer une densité de \(Y.\)

   4. Montrer que \(Y\) admet une espérance \(\mathbb{E}(Y)\) et dé terminer \(\mathbb{E}(Y)\).

Partie II : Étude d’un temps d’attente

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2. Une réunion est pr évue entre \(n\) invités que l’on note \(I_{1},\ I_{2},\dots ,I_{n}\).

Chaque invité arrivera entre l’instant \(0\) et l’instant \(1\).

Pour tout entier \(k\) tel que \(1\leqslant k\leqslant n\), on modélise l’instant d’arrivée de l’invité \(I_{k}\) par une variable aléatoire \(T_{k}\) de loi uniforme sur l’intervalle \(\left[ 0,1\right]\). On suppose de plus que, pour tout réel \(t\), les \(n\) événements \([T_1 \leqslant t], [T_2 \leqslant t],\dots, [T_n \leqslant t]\) sont indépendants.

3. Soit un réel \(t\) appartenant à \(\left[ 0,1\right]\). Pour tout entier \(k\) tel que \(1\leqslant k\leqslant n\), on note \(B_{k}\) la variable alé atoire de Bernoulli prenant la valeur \(1\) si l’événement \(\left[ T_{k}\leqslant t\right]\) est réalisé et la valeur \(0\) sinon.

   On note \(S_{t}=B_{1}+B_{2}+\cdots +B_{n}.\)

   1. Que modélise la variable aléatoire \(S_{t}\) ?

   2. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(S_{t}\).

4. Soit \(R_{1}\) la variable aléatoire égale à l’instant de la première arrivée.

   1. Soit un réel \(t\) appartenant à \(\left[ 0,1\right]\). Comparer l’événement \(\left[ R_{1}>t\right]\) et l’événement \(\left[ S_{t}=0\right]\).

   2. Montrer que la variable aléatoire \(R_{1}\) admet une densité et en déterminer une.

5. Soit \(R_{2}\) la variable aléatoire égale à l’instant de la deuxième arrivée.

   Montrer que la variable aléatoire \(R_{2}\) admet une densité et en déterminer une.