EML 2007Maths approfondies

Premier problème

On considère l’application \[f:\left[0 ,+\infty\right[\rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x} & \text { si } x>0 \\ \hfill 1\hfill & \text { si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

Partie I. Étude de l’application \(f\)

1. Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ,+\infty[\).

2. On considère l’application

   \[A:\left[0 ,+\infty\right[ \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto A(x)=\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)\]

   1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(] 0 ,+\infty[\) et que, pour tout \(x \in \left] 0 ,+\infty\right[, \ f^{\prime}(x)=\frac{A(x)}{x^{2}}\).

   2. Montrer que \(f^{\prime}\) admet \(-\dfrac{1}{2}\) comme limite en 0 à droite.

   3. Démontrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left[0 ,+\infty\right[\) et préciser \(f^{\prime}(0)\).

   4. Dresser le tableau de variation de \(A\).

      En déduire que \(f\) est strictement décroissante sur \([0 ,+\infty[\).

   5. Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

3. On considère l’application \[B:\left[0 ,+\infty\right[ \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto B(x)=-\frac{3 x^{2}+2 x}{(1+x)^{2}}+2 \ln (1+x)\]

   1. Montrer que \(f\) est deux fois dérivable sur \(] 0 ,+\infty[\), et que, pour tout \(x \in \left] 0 ,+\infty\right[\), \(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{B(x)}{x^{3}}\).

   2. Dresser le tableau de variation de \(B\).

      En déduire que \(f\) est convexe sur \(] 0 ,+\infty[\).

4. Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\).

Partie II. Un développement en série

5. Montrer, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(t \in[0 , 1]\) :

   \[\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{N}(-1)^{k} t^{k}+\frac{(-1)^{N+1} t^{N+1}}{1+t}\]

6. En déduire, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in[0 , 1]\) :

   \[\ln (1+x)=\sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^{k} x^{k+1}}{k+1}+J_{N}(x)\]

   où on a noté \(\displaystyle J_{N}(x)=\int_{0}^{x} \frac{(-1)^{N+1} t^{N+1}}{1+t} \,\mathrm{d}t\).

7. Établir, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in[0 , 1]\) : \(\displaystyle \left|J_{N}(x)\right| \leqslant \frac{x^{N+2}}{N+2}\).

8. En déduire que, pour tout \(x \in[0 , 1]\), la série \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n}\) converge et que :

   \[\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{n}}{n}\]

Partie III. Égalité d’une intégrale et d’une somme de série

9. Montrer, en utilisant le résultat de la question 7, pour tout \(N \in \mathbb{N}\) et tout \(x \in[0 , 1]\) :

   \[\left|f(x)-\sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^{k} x^{k}}{k+1}\right| \leqslant \frac{x^{N+1}}{N+2}\]

10. Montrer que la série \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\) converge et que : \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \,\mathrm{d}x=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\).

11. Montrer, pour tout \(N \in \mathbb{N}^{*}\) :

    \[\sum_{n=1}^{2 N+1} \frac{1}{n^{2}}=\sum_{p=0}^{N} \frac{1}{(2 p+1)^{2}}+\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{4 p^{2}} \quad \text{et} \quad \sum_{n=1}^{2 N+1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\sum_{p=0}^{N} \frac{1}{(2 p+1)^{2}}-\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{4 p^{2}}\]

12. On admet que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\). Montrer : \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\, \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{12}\).

Partie IV. Recherche d’extremum pour une fonction réelle de deux variables réelles

On note \[F: \left] 0 ,+\infty\right[ \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t\]

et \[G: \left] 0 ,+\infty\right[ ^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto G(x, y)=F(x y)-F(x)-F(y)\]

13. Montrer que \(G\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\left] 0 ,+\infty\right[^{2}\).

    Exprimer, pour tout \((x, y) \in\left] 0 ,+\infty\right[^{2}\), les dérivées partielles premières et secondes de \(G\) en \((x, y)\) en fonction de \(x, y, f(x), f(y), f(x y), f^{\prime}(x), f^{\prime}(y), f^{\prime}(x y)\).

14. Établir que \(G\) admet \((1,1)\) comme unique point critique.

15. Est-ce que \(G\) admet un extremum local ?

Deuxième problème

On note \(n\) un nombre entier fixé supérieur ou égal \(2, E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[x]\) constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) et \(\mathcal{B}=(1,X,\dots,X^n)\) la base canonique de \(E\).

Partie I. Étude d’un endomorphisme de \(E\)

1. Montrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(E\), le polynôme \(\left(\left(X^{2}-1\right) P\right)^{\prime \prime}\) est élément de \(E\), où \(\left(\left(X^{2}-1\right) P\right)^{\prime \prime}\) désigne le polynôme dérivée seconde de \(\left(X^{2}-1\right) P\).

   On note \(\phi: E \rightarrow E\) l’application qui, à tout polynôme \(P\) de \(E\), associe \(\phi(P)=\left(\left(X^{2}-1\right) P\right)^{\prime \prime}\).

2. Vérifier : \(\phi(1)=2, \phi(X)=6 X\).

3. Montrer que \(\phi\) est un endomorphisme de \(E\).

4. Calculer \(\phi(X^{k})\) pour tout \(k \in\{0, \ldots, n\}\) et écrire la matrice \(A\) de \(\phi\) dans la base \(\mathcal{B}\).

5. 1. Montrer que \(\phi\) admet \(n+1\) valeurs propres deux à deux distinctes que l’on notera \(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\) avec \(\lambda_{0}<\lambda_{1}<\cdots<\lambda_{n}\).

   2. Est-ce que \(\phi\) est bijectif ?

   3. Montrer que \(\phi\) est diagonalisable et déterminer, pour tout \(k \in\{0, \ldots, n\}\), la dimension du sous-espace propre de \(\phi\) associé à \(\lambda_{k}\).

6. Soient \(k \in\{0, \ldots, n\}\) et \(P\) un vecteur propre de \(\phi\) associé à la valeur propre \(\lambda_{k}\).

   1. Montrer que le degré du polynôme \(P\) est égal à \(k\).

   2. Montrer que le polynôme \(Q\) défini par \(Q(X)=P(-X)\) est un vecteur propre de \(\phi\) associé à \(\lambda_{k}\).

7. En déduire qu’il existe une unique base \(\left(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\right)\) de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(\phi\) telle que, pour tout \(k \in\{0, \ldots, n\}, P_{k}\) est un polynôme de degré \(k\), de coefficient dominant égal à 1 et vérifiant \(P_{k}(-X)=(-1)^{k} P_{k}(X)\).

   Que peut-on en déduire sur la parité de \(P_{k}\) ?

8. Calculer \(P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}\).

Partie II. Un produit scalaire sur \(E\)

9. Montrer que l’application : \((P, Q) \mapsto \left( P\,\vert \, Q \right) = \displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right) P(x) Q(x) \, \mathrm{d} x\) est un produit scalaire sur \(E\).

   On munit dorénavant \(E\) de ce produit scalaire noté \(\left( \cdot \,\vert \, \cdot \right)\).

10. 1. À l’aide d’intégrations par parties, établir que \(\phi\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).

    2. Montrer que la base \(\left(P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n}\right)\) de \(E\) obtenue à la question 7 est orthogonale.

11. Soit \(j \in\{1, \ldots, n\}\).

    1. Montrer que pour tout polynôme \(S\) de degré inférieur ou égal à \(j-1\), on a : \(\left( S\,\vert \, P_j \right) =0\).

    2. En considérant \(\left( 1\,\vert \, P_j \right)\), montrer que \(P_{j}\) ne garde pas un signe constant sur l’intervalle \(]-1 , 1[\).

    3. En déduire que \(P_{j}\) admet au moins, dans l’intervalle \(]-1 , 1[\), une racine d’ordre de multiplicité impair.

12. On note \(\left\{x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}\) l’ensemble des racines d’ordre de multiplicité impair de \(P_{j}\) appartenant à l’intervalle \(]-1 , 1 [\ \) et \(S_{m}=\left(X-x_{1}\right)\left(X-x_{2}\right) \cdots\left(X-x_{m}\right)\).

    1. Justifier : \(m \leqslant j\).

    2. Montrer que le polynôme \(S_{m} P_{j}\) (produit des polynômes \(S_{m}\) et \(P_{j}\)) garde un signe constant sur l’intervalle \(] -1 , 1[\).

    3. En considérant \(\left( S_m\,\vert \, P_j \right)\), montrer que \(m=j\).

    4. En déduire que \(P_{j}\) admet \(j\) racines simples réelles toutes situées dans l’intervalle \(] -1 , 1 [\).