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On considère la matrice carrée d’ordre trois suivante : \[A= \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{pmatrix}\]
Montrer, sans calcul, que \(A\) est diagonalisable.
Déterminer une matrice diagonale \(D\) et une matrice inversible et symétrique \(P\), de première ligne \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) et de deuxième ligne \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\), telles que \(A=P D P^{-1}\).
Calculer \(P^{-1}\).
Déterminer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la matrice \(A^{n}\) par ses éléments.
Soient \(u_{0}, v_{0}, w_{0}\) trois nombres réels positifs ou nuls tels que \(u_{0}+v_{0}+w_{0}=1\).
On note \(X_{0} \begin{pmatrix} u_{0} \\ v_{0} \\ w_{0} \end{pmatrix}\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(X_{n}= \begin{pmatrix} u_{n} \\ v_{n} \\ w_{n} \end{pmatrix}\) la matrice colonne définie par la relation de récurrence : \(X_{n}=A X_{n-1}\).
Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(X_{n}=A^{n} X_{0}\).
En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :
\[\begin{cases} \displaystyle u_{n}=\frac{1}{3}+\left(u_{0}-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \\ \displaystyle v_{n}=\frac{1}{3}+\left(v_{0}-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \displaystyle w_{n}=\frac{1}{3}+\left(w_{0}-\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Déterminer les limites respectives \(u, v, w\) de \(u_{n}, v_{n}, w_{n}\) lorsque le nombre entier \(n\) tend vers l’infini.
On note, pour tout \(n \in \mathbb{N}: \quad d_{n}=\sqrt{\left(u_{n}-u\right)^{2}+\left(v_{n}-v\right)^{2}+\left(w_{n}-w\right)^{2}}\).
Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \(\displaystyle d_{n} \leqslant \frac{1}{2^{n-1}}\).
Déterminer un entier naturel \(n\) tel que : \(d_{n} \leqslant 10^{-2}\).
On donne: \(0,69<\ln (2) <0,70\). On considère l’application : \[g : \left] 0 ,+\infty\right[\to \mathbb{R}, \quad x \mapsto g(x)=x^{2}+\ln (x)\]
Montrer que \(g\) est continue et strictement croissante sur \(] 0 ,+\infty[\) et déterminer les limites de \(g\) en 0 et en \(+\infty\).
Montrer que l’équation \(g(x)=0\), d’inconnue \(x \in \left] 0 ,+\infty \right[\), admet une solution et une seule. On note \(\alpha\) l’unique solution de cette équation.
Montrer : \(\frac{1}{2}<\alpha<1\).
On note \(I=\left[\frac{1}{2} , 1\right]\) et on considère l’application :
\[f: I \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f(x)=x-\frac{1}{4} \, x^{2}-\frac{1}{4} \ln (x)\]
Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Montrer : \(\frac{1}{2}<f \! \left(\frac{1}{2}\right)<f(1)<1\).
En déduire : \(\forall x \in I\), \(f(x) \in I\).
On considère la suite réelle \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1}=f(u_{n})\).
Calculer \(u_{1}\).
Montrer : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_{n} \in I\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et que sa limite est le réel \(\alpha\).
On considère l’application :
\[F: \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto F(x, y)=x \, \mathrm{e}^{y}+y \ln (x)\]
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\) et calculer les dérivées partielles premières de \(F\) en tout point \((x, y)\) de \(\mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}\).
Montrer que \(F\) admet un point critique et un seul que l’on exprimera à l’aide du nombre réel \(\alpha\).
Est-ce que \(F\) admet un extremum local ?
On considère l’application \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie pour tout nombre réel \(x\) par :
\[\begin{cases}f(x)=\mathrm{e}^{-x} & \text { si } x>0 \\ f(x)=0 & \text { si } x \leqslant 0\end{cases}\]
Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.
On considère une variable aléatoire \(X\) admettant \(f\) pour densité.
On définit la variable aléatoire discrète \(Y\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) de la façon suivante :
l’événement \((Y=0)\) est égal l’événement \((X<1)\),
pour tout nombre entier strictement positif \(n\), l’événement \((Y=n)\) est égal à l’événement \((n \leqslant X<n+1 )\).
Montrer, pour tout entier naturel \(n\) : \(\displaystyle \mathbb{P}(Y=n)=\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}}\right) \mathrm{e}^{-n}\).
Montrer que la variable aléatoire \(Y+1\) suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l’espérance et la variance de \(Y\).
Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu’il simule la variable aléatoire \(Y\).
Soit \(U\) une variable de Bernoulli telle que \(\displaystyle \mathbb{P}(U=1)=\mathbb{P}(U=0)=\frac{1}{2}\).
On suppose que les variables aléatoires \(U\) et \(Y\) sont indépendantes.
Soit la variable aléatoire \(T= \left( 2 U-1 \right) Y\), produit des variables aléatoires \(2 U-1\) et \(Y\).
Ainsi, \(T\) est une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\mathbb{Z}\), l’ensemble des entiers relatifs.
Montrer que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance \(\mathbb{E}(T)\) et calculer \(\mathbb{E}(T)\).
Vérifier que \(T^{2}=Y^{2}\).
En déduire que la variable aléatoire \(T\) admet une variance \(\mathbb{V}(T)\) et calculer \(\mathbb{V}(T)\).
Pour tout nombre entier relatif \(n\), calculer la probabilité \(\mathbb{P}(T=n)\).
Soit la variable aléatoire \(D=X-Y\). On note \(F_{D}\) la fonction de répartition de \(D\).
Justifier : \(\forall t \in \left]-\infty , 0\right[, \ F_{D}(t)=0\) et \(: \forall t \in\left[1 ,+\infty\right[, \ F_{D}(t)=1\).
Soit \(t \in[0 , 1[\). Exprimer l’événement \((D \leqslant t)\) à l’aide des événements \((n \leqslant X \leqslant n+t)\), \(n \in \mathbb{N}\).
Pour tout nombre réel \(t \in[0 , 1[\) et pour tout nombre entier naturel \(n\), calculer la probabilité \(\mathbb{P}(n \leqslant X \leqslant n+t)\).
Montrer : \(\displaystyle \forall t \in\left[0 , 1\right[, \ F_{D}(t)=\frac{1-\mathrm{e}^{-t}}{1-\mathrm{e}^{-1}}\).
Montrer que \(D\) est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de \(D\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
