EML 2006 Maths 1Maths approfondies

Problème 1

Préliminaires

1. 1. Justifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(\displaystyle t^n \,\mathrm{e}^{-t^2} \underset{t \to {+\infty}}= \circ\! \left( \frac{1}{t^2} \right)\).

   2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), l’intégrale \(\displaystyle I_n= \int_{-\infty}^{+\infty}t^n\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) converge.

2. En déduire que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[x]\), l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) converge.

   On admet dans tout le problème : \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t= \sqrt{\pi}\).

   On note, dans tout le problème, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(\displaystyle I_n= \int_{-\infty}^{+\infty}t^n\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\).

3. 1. À l’aide d’une intégration par parties, établir : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_{n+2}=\frac{n+1}{2}\,I_n\]

   2. Prouver que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ I_{2p+1}=0\]

   3. Prouver que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}\,p!}\,\sqrt{\pi}\]

Partie I. Recherche d’extremums locaux d’une fonction de deux variables

On note \(F\) l’application de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ F(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}(t-x)^2(t-y)^2\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\]

4. Montrer que : \[\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ F(x,y)=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(x^2+4xy+y^2)+x^2y^2\]

5. Calculer les dérivées partielles d’ordre \(1\) de \(F\) et en déduire les trois points critiques de \(F\).

6. Déterminer les extremums locaux de \(F\).

Partie II. Calcul d’intégrales dépendant d’un paramètre

7. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\sin(xt)\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t\,\cos(xt)\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) convergent.

   On note \(S: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) et \(C : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) les applications définies, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), par : \[S(x)=\int_0^{+\infty}\sin(xt)\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\quad \text{et} \quad \displaystyle C(x)=\int_0^{+\infty}t\,\cos(xt)\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\]

8. Établir, pour tout \(a\in\mathbb{R}\) et pour tout \(\lambda\in\mathbb{R}\) : \[\left| \sin(a+\lambda)-\sin a-\lambda\,\cos a \right| \leqslant \frac{\lambda^2}{2}\]

9. 1. Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \lim_{h\to 0} \left[\frac{S(x+h)-S(x)}{h}-C(x)\right]=0.\]

      On pourra utiliser l’inégalité de Taylor-Lagrange.

   2. En déduire que \(S\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(S'(x) = C(x)\).

10. 1. À l’aide d’une intégration par parties, établir : \[\forall x\in\mathbb{R},\ C(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2}\,S(x).\]

    2. Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ 2\,\mathrm{e}^{\frac{x^2}{4}}\,S(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\frac{t^2}{4}}\,\mathrm{d}t.\]

    3. En déduire que, pour tout réel \(x\) : \[S(x)=\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{4}}\,\int_0^x \mathrm{e}^{\frac{t^2}{4}}\,\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad C(x)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{4}}\,\int_0^x \mathrm{e}^{\frac{t^2}{4}}\,\mathrm{d}t\]

Partie III. Obtention d’un développement limité

11. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), l’intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2t^2}\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) converge.

    On note alors \(g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) l’application définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2t^2}\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\]

12. 1. Montrer que : \[\forall u\in\mathbb{R}^+,\ 0\leqslant (1-u+u^2)-\frac{1}{1+u}\leqslant u^3\]

    2. En déduire que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ 0\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}(1-x^2t^2+x^4t^4)\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t-g(x)\leqslant \frac{15\sqrt{\pi}}{8}\,x^6\]

13. Montrer que \(g\) admet un développement limité à l’ordre \(5\) en \(0\) et former ce développement limité.

Partie IV. Nature d’une série

14. Montrer que, pour tout \(p\in\mathbb{N}\), l’intégrale \(\displaystyle u_p=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t^{2p}}{t^2+(2p)!}\,\mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t\) converge.

15. Montrer que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ 0\leqslant u_p \leqslant \frac{I_{2p}}{(2p)!}.\]

16. En déduire que la série de terme général \(u_p\) est convergente.

Problème 2

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On note \(\mathrm{I}_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On considère un \(n\)-uplet \((a_0,a_1,\dots,a_n)\) de nombres réels et le polynôme \(P\) défini par : \[P(X)=X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\]

On note \(C\) la matrice définie par : \[C= \begin{pmatrix} 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & \ddots & (0) & & \vdots & -a_1 \\ 0& \ddots & \ddots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & (0) & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0& \cdots & \cdots & 0 & 1& -a_{n-1} \end{pmatrix}\]

On dit que \(C\) est la matrice compagnon du polynôme \(P\).

On note \(\mathcal{B}_0=(e_1,e_2,\dots,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\). On note \(\mathrm{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^n\) et on appelle \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) tel que \(C\) soit la matrice associée à \(f\) relativement à la base \(\mathcal{B}_0\).

On note \(f^0=\mathrm{Id}\) et, pour tout entier naturel \(k\), \(f^{k+1}= f^k \circ f\).

1. 1. Exprimer, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(f(e_i)\) en fonction de \(e_{i+1}\).

   2. En déduire : \[\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right],\ f^j(e_1)= e_{j+1} \quad\text{et}\quad f^n (e_1) = -(a_0e_1+a_1e_2 + \cdots + a_{n-1}e_n)\]

2. Soit \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) défini par : \[g = f^n + a_{n-1}f^{n-1} + \cdots + a_1f + a_0 \, \mathrm{Id}\]

   1. Vérifier que : \(g(e_1)=0\).

   2. Montrer que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ g(e_i)=0\]

   3. Montrer que \(P\) est un polynôme annulateur de \(f\).

      Application 1 : déterminer une matrice \(A\in \mathcal{M}_5(\mathbb{R})\) telle que : \(A^5=A^3+2A^2+\mathrm{I}_5\).

   4. Établir que toutes les valeurs propres de \(C\) sont des racines du polynôme \(P\).

3. 1. Soit \(Q= \alpha_0 + \alpha_1X + \cdots + \alpha_{n-1}X^{n-1}\) un polynôme non nul et de degré inférieur ou égal à \(n-1\). On note \(Q(f)\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) défini par : \(Q(f) = \alpha_0\, \mathrm{Id} + \alpha_1 f + \cdots + \alpha_{n-1} f^{n-1}\).

      Calculer \(Q(f)(e_1)\).

   2. En déduire qu’il n’existe pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à \(n-1\) et annulateur de \(f\).

   3. Soit \(\lambda\) une racine du polynôme \(P\). Il existe donc un polynôme \(R\) tel que : \(P= \left( X- \lambda \right) R\).

      Vérifier que : \[(f- \lambda \,\mathrm{Id}) \circ R(f) = 0\]

   4. Conclure que toutes les racines de \(P\) sont des valeurs propres de \(C\).

4. 1. Montrer que, pour tout nombre réel \(x\), la matrice \(C-x\, \mathrm{I}_n\) est de rang supérieur ou égal à \(n-1\).

      En déduire que les sous-espaces propres de \(C\) sont tous de dimension \(1\).

   2. En déduire que \(C\) est diagonalisable si et seulement si \(P\) admet \(n\) racines deux à deux distinctes.

5. 1. Montrer que la matrice \(A_1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) est diagonalisable.

   2. Montrer que la matrice \(A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4\\ 1 & 0 & 0 & -8\\ 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) n’est pas diagonalisable.

6. On note \(B= {}^t\!\, C\) la matrice transposée de \(C\).

   1. Montrer que, pour tout nombre réel \(t\), la matrice \(B-t \, \mathrm{I}_n\) est inversible si et seulement si la matrice \(C- t\, \mathrm{I}_n\) est inversible.

   2. En déduire que les matrices \(B\) et \(C\) ont les mêmes valeurs propres.

   3. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(B\). Déterminer une base du sous-espace propre de \(B\) associé à \(\lambda\).

   4. On suppose que le polynôme \(P\) admet \(n\) racines deux à deux distinctes \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\). Montrer que \(B\) est diagonalisable et en déduire que la matrice \[V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & & \cdots & 1\\ \lambda_1 & \lambda_2 & & \cdots & \lambda_n \\ \lambda_1^2 & \lambda_2^2 & & \cdots & \lambda_n^2 \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ \lambda_1^{n-1} & \lambda_2^{n-1} & & \cdots & \lambda_n^{n-1} \\ \end{pmatrix}\] est inversible.

7. Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\) admettant \(n\) valeurs propres \(\mu_1,\dots,\mu_n\) deux à deux distinctes.

   L’endomorphisme \(u\) est donc diagonalisable et on note \(\mathcal{E}=(e_1,\dots,e_n)\) une base de \(E\) constituée de vecteurs propres de \(u\) respectivement associés à \(\mu_1,\dots,\mu_n\).

   1. Soit \(a=\varepsilon_1+ \varepsilon_2 + \cdots + \varepsilon_n\). Montrer que la famille \(\mathcal{B}_a= (a,u(a),\dots,u^{n-1}(a))\) est une base de \(E\).

   2. Montrer qu’il existe un polynôme \(P_1 (X) = X^n + b_{n-1}X^{n-1} + \cdots + b_1X + b_0\) tel que la matrice associée à \(u\) dans la base \(\mathcal{B}_a\) soit la matrice compagnon du polynôme \(P_1\).