EML 2006 Maths 1Maths appliquées

Exercice 1

On considère les trois matrices de \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}% \right)\) suivantes : \[A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad D= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]

On note \(E\) l’ensemble des matrices carrées \(M\) d’ordre \(2\) telles que : \(AM=MD\).

1. 1. Quelles sont les valeurs propres de \(A\) ?

   2. Déterminer une matrice inversible \(P\) telle que \(A=PD P^{-1}\)

2. 1. Vérifier que \(E\) est un sous espace vectoriel de \(\mathcal{M}% _{2}\left( \mathbb{R}\right)\).

   2. Soit \(M=\begin{pmatrix} x & y\\ z & t \end{pmatrix}\) une matrice de \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\).

      Montrer que \(M\) appartient à \(E\) si et seulement si \(z=0\) et \(y=t\).

   3. Établir que \(\left( U,A\right)\) est une base de \(E\).

   4. Calculer le produit \(UA.\) La matrice \(UA\) appartient-elle à \(E\) ?

3. On note \(f\) l’application définie sur \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right)\) par : \[\forall M \in \mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}\right) ,\ f(M) = AM - MD\]

   1. Vérifier que \(f\) est linéaire. Retrouver ainsi le résultat de la question 2a.

   2. Déterminer le noyau de \(f\) et donner sa dimension.

   3. Quelle est la dimension de l’image de \(f\) ?

   4. Déterminer les matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{2}\left( \mathbb{R}% \right)\) telles que \(f (M ) =M\).

Exercice 2

On note \(F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) l’application définie pour tout \(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\) par : \[F \! \left( x,y\right) =\left( x-1\right) \left( y-2\right) \left( x+y-6\right)\]

1. 1. Montrer que \(\left( 4,2\right)\) et \(\left( 2,3\right)\) sont des points critiques de \(F.\)

   2. Est-ce que \(F\) présente un extremum local au point \(\left( 4,2\right)\) ?

   3. Est-ce que \(F\) présente un extremum local au point \(\left( 2,3\right)\) ?

2. On note \(\varphi :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) l’application dé finie, pour tout \(x\in \mathbb{R},\) par : \[\varphi \left( x\right) =x\left( x-2\right) \left( 2x-5\right)\]

   1. Montrer que : \[\forall x\in \left[ 4,+\infty \right[ ,\ \left( x-2\right) \left( 2x-5\right) \geqslant 4\]

   2. En déduire : \[\forall x\in \left[ 4,+\infty \right[ ,\ \varphi \left( x\right) \geqslant 4x \quad \text{et} \quad \varphi \left( x\right) \in \left[ 4,+\infty \right[\]

3. On considère la suite réelle \(\left( u_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}\) d éfinie par \(u_{0}=4\) et : \[\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+1}=F \! \left( 1+u_{n},u_{n}\right)\]

   1. Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_{n}\) à l’aide de la fonction \(% \varphi .\)

   2. Montrer que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n}\geqslant 4^{n+1}\] Quelle est la nature de la série de terme général \(\dfrac{1}{u_{n}}\) ?

   3. Écrire un script Python qui calcule et affiche le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(u_{n}\geqslant 10^{10}\).

4. On note \(g:\left[ 4,+\infty \right[ \to \mathbb{R}\) l’application définie, pour tout \(x\in \left[ 4,+\infty \right[ ,\) par : \[g\left( x\right) =\dfrac{10}{\varphi \left( x\right) }\]

   1. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_{4}^{+\infty }g(x)\,\mathrm{d}x\) converge.

   2. Trouver trois réels \(a,b,\) et \(c\) tels que \[\forall x\in \left[ 4,+\infty \right[ ,\ g(x) =\dfrac{a}{x}+% \dfrac{b}{x-2}+\dfrac{c}{2x-5}\]

   3. Calculer \(\displaystyle \int_{4}^{+\infty }g(x) \,\mathrm{d}x\).

Exercice 3

Partie A

1. Soit \(U\) une variable aléatoire suivant une loi normale d’espérance nulle et de variance \(\frac{1}{2}\).

   1. Rappeler l’expression d’une densité de \(U\).

   2. En utilisant la définition de la variance de \(U\), montrer que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty} x^2 \mathrm{e}^{-x^2} \, \mathrm{d} x\) est convergente et que \(\displaystyle \int_0^{+\infty} x^2 \mathrm{e}^{-x^2} \, \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\).

2. On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ F(x) = \begin{cases} 1- \mathrm{e}^{-x^2} &\text{si } x \geqslant 0 \\ \hspace{0.6cm} 0 &\text{si } x<0 \end{cases}\]

   1. Montrer que \(F\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(X\).

   2. Déterminer une densité de \(X\).

3. 1. Prouver alors que \(X\) admet une espérance et que \(\mathbb{E}(X) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\).

   2. Déterminer, pour tout réel \(y\), la probabilité \(\mathbb{P}( X^2 \leqslant y)\). On distinguera les cas \(y \leqslant 0\) et \(y>0\).

   3. Prouver que la variable aléatoire \(X^2\) suit une loi exponentielle que l’on précisera.

   4. En déduire que \(X\) admet une variance et la calculer.

Partie B

4. Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre \(p\).

   Ainsi, pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), \(\mathbb{P}(Z=k)=p \left( 1-p \right)^{k-1}\).

   Rappeler la valeur de l’espérance \(\mathbb{E}(Z)\) et celle de la variance \(\mathbb{V}(Z)\) de la variable aléatoire \(Z\).

5. Soient un entier \(n\) supérieur ou égal à 2 et \(n\) variables aléatoires indépendantes \(Z_1, Z_2, \ldots, Z_n\) suivant toutes la loi géométrique de paramètre \(p\).

   On considère la variable aléatoire \(\displaystyle M_n=\frac{1}{n}\left(Z_1+Z_2+\cdots+Z_n\right)\).

   1. Déterminer l’espérance \(m\) et l’écart-type \(\sigma_n\) de \(M_n\).

   2. Montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\left(0 \leqslant M_n-m \leqslant \sigma_n\right)\) existe et exprimer sa valeur à l’aide de \(\displaystyle \int_0^1 \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}} \, \mathrm{d} x\).