EML 2005 Maths 1Maths approfondies

Problème 1

On considère la suite de polynômes \((T_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de \(\mathbb{R}[x]\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ T_0(x)=1,\quad T_1(x)=2x \quad\text{et}\quad\forall n\geqslant 2,\ T_n(x)=2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)\]

Partie I. Étude de la suite de polynômes

1. Calculer \(T_2\) et \(T_3\).

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(T_n\) est un polynôme de degré \(n\) et déterminer son coefficient dominant.

   2. Établir que, si \(n\) est un entier pair (resp. impair), alors \(T_n\) est un polnôme pair (resp. impair).

3. Calculer, pour tout entier naturel \(n\), \(T_n(1)\) en fonction de \(n\).

4. 1. Établir : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall \theta\in \left]0,\pi \right[,\ T_n(\cos(\theta)) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}\]

   2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(T_n\) admet \(n\) racines réelles, toutes situées dans \(]-1,1[\), que l’on explicitera.

   3. Justifier que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\ T_n(x) = 2^n \prod_{k=1}^n \left( x - \cos\!\left( \frac{k\pi}{n+1} \right) \right)\]

   4. En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la valeur de \(\displaystyle\prod_{k=1}^n \sin\!\left( \dfrac{k\pi}{2 \left( n+1 \right)} \right)\).

5. 1. Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall \theta \in \left] 0,\pi \right[,\ \sin^2(\theta) \, T_n''(\cos(\theta)) - 3\cos(\theta)\, T_n'(\cos(\theta)) + \left( n^2+2n \right) T_n(\cos(\theta)) = 0\]

      Indication : on pourra dériver deux fois la fonction \(\theta \mapsto \sin(\theta)\, T_n(\cos(\theta)) - \sin((n+1) \theta)\).

   2. En déduire : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R},\ ( x^2-1 ) T_n''(x) + 3xT_n'(x) - \left( n^2+2n \right) T_n(x) = 0\]

Partie II. Étude de l’endomorphisme \(L\)

Dans la suite du problème, \(n\) désigne un entier naturel fixé supérieur ou égal à \(2\).

On note \(E=\mathbb{R}_n[x]\) et on considère l’application \(L\) définie sur \(E\) par : \[\forall P\in E,\ L(P) = \left( X^2-1 \right) P'' + 3XP'\]

c’est-à-dire telle que : \[\forall P\in E,\ \forall x\in\mathbb{R},\ L(P)(x) = \left( x^2-1 \right) P''(x) + 3xP'(x)\]

6. Montrer que \(L\) est un endomorphisme de \(E\).

7. 1. Calculer \(L(T_k)\) pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\).

   2. En déduire les valeurs propres de \(L\) et, pour chaque valeur propre de \(L\), une base et la dimension du sous-espace propre associé.

Partie III. Étude d’un produit scalaire

On considère l’application \(\omega\) définie sur \(E\times E\) par : \[\forall (P,Q)\in E\times E,\ \omega(P,Q) = \int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2} P(t)\, Q(t)\,\mathrm{d}t\]

8. Montrer que \(\omega\) est un produit scalaire sur \(E\).

9. Prouver que : \[\forall (P,Q) \in E^2,\ \omega({L(P)},Q) = \omega (P,{L(Q)})\]

   Indication : on pourra procéder à une intégration par parties pour montrer que : \[\displaystyle\omega({L(P)},Q) = \displaystyle\int_{-1}^1 \left( 1-t^2 \right)^{\frac{3}{2}} P'(t)\, Q'(t)\,\mathrm{d}t\]

10. Prouver que \((T_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}\) est une base orthogonale de \(E\).

Problème 2

Partie I. Calcul de la somme d’une série convergente

1. Vérifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) : \[\int_0^\pi \left(\frac{t^2}{2\pi}-t\right)\cos(nt)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n^2}\]

2. 1. Vérifier que : \[\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ \sin(a+b) - \sin(a-b) = 2 \cos(a) \sin(b)\]

   2. En déduire, pour tout \(m\in\mathbb{N}^\ast\) et pour tout \(t\in\,]0,\pi]\) : \[\sum_{n=1}^m \cos(nt)=\frac{\cos\!\left(\frac{(m+1)t}{2}\right)\sin\!\left(\frac{mt}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}.\]

3. Soit \(u:[0,\pi] \to \mathbb{R}\) une application de classe \(\mathcal C^1\). Montrer, à l’aide d’une intégration par parties : \[\lim_{\lambda \to{+\infty}} \int_0^\pi u(t)\,\sin(\lambda t)\,\mathrm{d}t=0\]

4. Soit \(f\) l’application définie sur \([0,\pi]\) par : \[\forall t\in\,]0,\pi],\ f(t)=\frac{t^2-2\pi t}{4\pi\,\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)} \quad\text{et}\quad f(0)=-1\] Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \([0,\pi]\).

5. 1. Montrer que : \[\forall m\in\mathbb{N}^\ast,\ \sum_{n=1}^m \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\int_0^\pi f(t)\,\sin\!\left(\frac{(2m+1)t}{2}\right)\mathrm{d}t\]

   2. Justifier la convergence de la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{n^2}\) et prouver que : \[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\]

Partie II. Étude d’une fonction définie par la somme d’une série convergente

6. 1. Montrer que, pour tout \((x,y)\in (\mathbb{R}^+)^2\), les séries \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{(n+x)(n+y)}\) et \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{(n+x)^2(n+y)}\) convergent.

   2. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}^+\), la série \(\displaystyle\sum \left[\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+x}\right]\) converge.

      On note alors \(S\) l’application définie sur \(\mathbb{R}^+\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{n+x}\right]\]

7. Calculer \(S(0)\) et \(S(1)\).

8. 1. Établir : \[\forall (x,y)\in(\mathbb{R}^+)^2,\ S(y)-S(x)=(y-x)\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+x)(n+y)}\]

   2. En déduire que : \[\forall (x,y)\in(\mathbb{R}^+)^2,\ \left| S(y)-S(x) \right|\leqslant \frac{\pi^2}{6}\left| y-x \right|\]

   3. Montrer alors que \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\).

9. 1. Montrer que, pour tout couple \((x,y)\in(\mathbb{R}^+)^2\) tel que \(x\neq y\) : \[\left| \frac{S(y)-S(x)}{y-x}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+x)^2} \right| \leqslant \left| y-x \right|\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\]

   2. En déduire que la fonction \(S\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}^+,\ S'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(n+x)^2}\]

   3. Préciser les valeurs de \(S'(0)\) et \(S'(1)\).

10. On admet que \(S'\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\). Montrer que \(S\) est concave.

11. Soit \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\). On note \(\varphi\) la fonction définie sur \([1,{+\infty}[\) par : \[\forall t\in[1,{+\infty}[,\ \varphi(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+x}\]

    1. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\varphi(t)\,\mathrm{d}t\) converge et calculer sa valeur.

    2. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \varphi(n+1) \leqslant \int_n^{n+1} \varphi(t)\,\mathrm{d}t\leqslant \varphi(n)\]

    3. Conclure : \[S(x) \;\underset{x\to {+\infty}}{\sim}\;\ln (x)\]

12. 1. Dresser le tableau de variation de \(S\), en précisant la limite de \(S\) en \({+\infty}\).

    2. Tracer l’allure de la courbe représentative de \(S\).