EML 2004 Maths 1Maths approfondies

Premier Problème

Partie I - Étude de la fonction

On considère les fonctions \(F\) et \(G\) définies sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ F(x) = \int_1^x \frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u\quad\text{et}\quad G(x) = \int_1^x \frac{\cos(u)}{u}\,\mathrm{d}u\]

1. 1. Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ F(x) = - \frac{\cos(x)}{x} + \cos(1) - \int_1^x \frac{\cos(u)}{u^2}\,\mathrm{d}u\] En déduire que \(F\) admet une limite finie \(\alpha\) en \({+\infty}\).

   2. Prouver que \(G\) admet une limite finie \(\beta\) en \({+\infty}\).

   3. Justifier alors que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\), les intégrales \(\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u\) et \(\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u}\,\mathrm{d}u\) sont convergentes et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \int_x^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u= \alpha - F(x) \quad\text{et}\quad\int_x^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u}\,\mathrm{d}u= \beta - G(x)\]

2. 1. Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \forall T \in\mathbb{R}_+^\ast,\ \int_0^T \frac{\sin(t)}{t+x} \,\mathrm{d}t= \cos(x) \int_x^{x+T} \frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u- \sin(x) \int_x^{x+T} \frac{\cos(u)}{u}\,\mathrm{d}u\]

   2. En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\), l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t+x}\,\mathrm{d}t\) est convergente et que : \[\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t+x}\,\mathrm{d}t= \cos(x) \int_x^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u- \sin(x) \int_x^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u}\,\mathrm{d}u\]

      Dans la suite, on note \(A\) l’application définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ A(x) = \int_0^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t+x}\,\mathrm{d}t\]

3. Montrer que l’application \(A\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ A''(x) + A(x) = \frac{1}{x}\]

4. Prouver que : \[\lim_{x\to {+\infty}} A(x) = 0 \quad\text{et}\quad\lim_{x\to {+\infty}} A'(x) = 0\]

5. 1. Démontrer que : \[\forall x\in \left] 0,1 \right],\ 0 \leqslant \int_x^1 \frac{\cos(u)}{u} \,\mathrm{d}u\leqslant - \ln(x)\]

   2. En déduire que : \[\lim_{x \underset >\to 0} \sin(x) \int_x^{+\infty}\frac{\cos(u)}{u}\,\mathrm{d}u= 0\]

   3. Prouver que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u\) est convergente et que : \[\lim_{x \underset >\to 0} A(x) = \int_0^{+\infty}\frac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u\]

Partie II - Étude de la fonction

6. Soit \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\) et \(k\in\mathbb{N}\).

   1. Prouver que la fonction \(t\mapsto t^k \,\mathrm{e}^{-xt}\) est bornée sur \(\mathbb{R}^+\).

   2. En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t^k \,\mathrm{e}^{-xt}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\) est convergente.

      Dans la suite, on note \(B_k\) l’application définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ B_k(x) = \int_0^{+\infty}\frac{t^k \,\mathrm{e}^{-xt}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\]

7. 1. En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, démontrer que : \[\forall u\in\mathbb{R},\ \left| \mathrm{e}^u - 1 - u \right| \leqslant u^2\,\mathrm{e}^{\left| u \right|}\]

   2. En déduire que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\) et pour tout \(h\in\mathbb{R}\) tel que \(0<\left| h \right| \leqslant \dfrac{x}{2}\) : \[\left| \frac{B_k(x+h) - B_k(x)}{h} +B_{k+1}(x) \right| \leqslant \left| h \right| B_{k+2}\!\left( \frac{x}{2} \right).\]

   3. Prouver que, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(B_k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ B_k'(x) = -B_{k+1}(x)\]

   4. En déduire que \(B_0\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ B_0''(x) + B_0(x) = \frac{1}{x}\]

8. 1. Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ 0 \leqslant B_0(x) \leqslant \frac{1}{x} \quad\text{et}\quad 0 \leqslant - B_0'(x) \leqslant \frac{1}{x^2}\]

   2. En déduire la limite de \(B_0(x)\) et celle de \(B_0'(x)\) lorsque \(x\) tend vers \({+\infty}\).

9. 1. Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} \leqslant B_0(x) \leqslant \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\]

   2. En déduire que : \[\lim_{x\to {+\infty}} B_0(x) = \frac{\pi}{2}\]

Partie III - Calcul de l’intégrale

Dans cette partie, on considère l’application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \varphi(x) = A(x) - B_0(x)\]

10. Prouver que l’application \(U: x\mapsto \left[ \varphi(x) \right]^2 + \left[ \varphi'(x) \right]^2\) est constante sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).

11. En déduire que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ A(x) = B_0(x)æ\]

12. Quelle est la valeur de \(\displaystyle \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin(u)}{u}\,\mathrm{d}u\) ?

Deuxième problème

Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre \(n\) et \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices colonnes réelles à \(n\) lignes.

Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) ou de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) est dite positive si et seulement si tous les coefficients de \(M\) sont positifs ou nuls. On notera alors \(M \geqslant 0\).

Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) ou de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) est dite strictement positive si et seulement si tous les coefficients de \(M\) sont strictement positifs. On notera alors \(M>0\).

Si \(M\) et \(N\) sont deux matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) ou deux matrices de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), la notation \(M \geqslant N\) (respectivement \(M>N\)) signifie que \(M-N \geqslant 0\) (respectivement \(M-N>0\)).

Une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est dite productive si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes : \(M\) est positive et il existe une matrice positive \(P\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que \(P-M P>0\).

Partie I - Étude d’exemples

1. En considérant \(U=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), montrer que la matrice \(\displaystyle A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) est productive.

2. Montrer que la matrice \(B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) n’est pas productive.

Partie II - Caractérisation des matrices positives

Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

3. Montrer que, si \(M\) est positive, alors, pour toute matrice positive \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), le produit \(M X\) est positif.

4. Réciproquement, montrer que, si, pour toute matrice positive \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), le produit \(M X\) est positif, alors la matrice \(M\) est positive.

Partie III - Caractérisation des matrices productives

5. Soit \(A\) une matrice productive de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont le coefficient de la \(i\)-ème ligne et de la \(j\)-ème colonne est noté \(a_{i j}\), et \(P\) une matrice positive de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telles que \(P-A P>0\). On note \(p_{1}, \ldots, p_{n}\) les coefficients de la matrice colonne \(P\).

   1. Montrer que \(P>0\).

   2. Soit \(X\) appartenant à \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que \(X \geqslant A X\). On note \(x_{1}, \ldots, x_{n}\) les coefficients de la matrice colonne \(X\). On désigne par \(c\) le plus petit des réels \(\displaystyle \frac{x_{j}}{p_{j}}\) lorsque l’entier \(j\) décrit l’ensemble \(\{1, \ldots, n\}\) et \(k\) un indice tel que \(\displaystyle c=\frac{x_{k}}{p_{k}}\).

      Établir que : \[\displaystyle c\left(p_{k}-\sum_{j=1}^{n} a_{k j} p_{j}\right) \geqslant 0\]

      En déduire que \(c \geqslant 0\) et que \(X\) est positive.

   3. Soit \(X\) appartenant à \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) telle que \(X=A X\). En remarquant que \(-X \geqslant A \left( -X \right)\), montrer que \(X\) est nulle.

      En déduire que \(I_{n}-A\) est inversible, où \(I_{n}\) est la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

   4. Montrer que, pour toute matrice positive \(X\) de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), la matrice \(Y=\left(I_{n}-A\right)^{-1} X\) est positive (on pourra utiliser 5.b).

      En déduire que \(\left(I_{n}-A\right)^{-1}\) est positive.

6. Dans cette question, on considère une matrice positive \(B\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(I_{n}-B\) soit inversible et telle que \(\left(I_{n}-B\right)^{-1}\) soit positive. On note \(V=\left(I_{n}-B\right)^{-1} U\), où \(U\) est la matrice de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.

   Montrer que \(V-B V>0\). Conclure.

7. Donner une caractérisation des matrices productives.

8. Application : Soit \(M\) une matrice positive de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(2 M^{2}=M\).

   Vérifier que \(\left(I_{n}-M\right)\left(I_{n}+2 M\right)=I_{n}\) et en déduire que \(M\) est productive.