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On considère l’application \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par : \[\forall x\in \mathbb{R}^+,\ \varphi (x)=\begin{cases} \dfrac{\sin(x)}{x}&\text{si }x\neq 0 \\ \quad 1 &\text{si }x=0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}.\]
On considère également, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, les intégrales suivantes : \[I_{n} =\int_{0}^{+\infty } {\left[ {\varphi (t)} \right]^{n}\,\mathrm{d}t} , \quad J_{n} =\int_{0}^{1} {\left[ {\varphi (t)} \right]^{n}\,\mathrm{d}t} \quad\text{et}\quad K_{n} =\int_{1}^{+\infty } {\left[ {\varphi (t)} \right]^{n}\,\mathrm{d}t} .\]
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Prouver que \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}^+\) et que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(J_{n}\) existe.
Montrer que \(\varphi\) est strictement positive et strictement décroissante sur \([0,1]\).
Établir : \[\forall t\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \left| \varphi(t) \right| <1.\]
Prouver que : \[\forall t\in \mathbb{R}^+,\ \varphi (t)\geqslant 1-t.\] On pourra étudier les variations sur \(\mathbb{R}^+\) de l’application \(t\mapsto \sin(t)-t+t^2\).
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ J_n\geqslant \frac{1}{n+1}.\]
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Montrer que : \[\forall x\in[1,{+\infty}[,\ \int_1^x \frac{\sin(t)}{t}\,\mathrm{d}t= \cos(1)-\frac{\cos(x)}{x}-\int_1^x \frac{\cos(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t.\]
En déduire que les intégrales \(I_1\) et \(K_1\) sont convergentes.
Montrer que : \[\forall t\in \mathbb{R}^+,\ \left| \sin(t) \right| \geqslant \sin^2(t)= \frac{1-\cos(2t)}{2}.\]
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\cos(2t)}{2t}\,\mathrm{d}t\) converge.
En déduire que l’intégrale \(I_1\) n’est pas absolument convergente.
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Montrer que, pour tout \(n\geqslant 2\), l’intégrale \(K_n\) est convergente.
Prouver que : \[\forall n\geqslant 2,\ \left| K_n \right| \leqslant \frac{1}{n-1}.\]
Montrer que la suite \((J_{n} )_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}\) est décroissante.
Montrer que la suite \((J_{n} )_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}\) est convergente ; on note \(\ell\) sa limite.
Établir, pour tout entier \(n\geqslant 2\) et pour tout réel \(a\) appartenant à \(]0,1[\) les inégalités suivantes : \[\int_0^a \left[\varphi(t)\right]^n\,\mathrm{d}t\leqslant a \quad\text{et}\quad\int_a^1 \left[\varphi(t)\right]^n\,\mathrm{d}t\leqslant (1-a)\left[\varphi(a)\right]^n.\] On pourra utiliser I.2.
En déduire, pour tout réel \(a\in\,]0,1[\) : \[0\leqslant \ell \leqslant a\] et conclure que : \[\ell = 0.\]
Prouver, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), que l’intégrale \(I_n\) est convergente.
Établir : \[\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0.\]
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Prouver que : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ K_{2p}+K_{2p+1} \geqslant 0.\]
En déduire que : \[\forall N\in\mathbb{N}^\ast,\ \sum_{p=1}^N (I_{2p}+I_{2p+1}) \geqslant \sum_{p=1}^N (J_{2p}+J_{2p+1}).\]
En déduire que la série \(\sum I_n\) diverge.
Dans tout le problème, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n\), dont le produit scalaire est noté \(\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle\) et la norme associée est notée \(\left\| \cdot \right\|\).
On note \(\operatorname{Id}_E\) l’application identique de \(E\) et \(\widetilde{0}\) l’application nulle de \(E\).
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on note \(F^\perp\) le sous-espace vectoriel supplémentaire orthogonal de \(F\) dans \(E\).
Le projecteur de \(E\) sur \(F\) parallèlement à \(F^\perp\) est appelé projecteur orthogonal sur \(F\).
Pour tout endomorphisme \(f\) de \(E\) et toute valeur propre \(\lambda\) de \(f\), on note \(E_f(\lambda)\) le sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
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On considère un endomorphisme symétrique \(f\) de \(E\), c’est-à-dire un endomorphisme \(f\) tel que : \[\forall (x,y)\in E^2,\ \left \langle f(x), y \right \rangle = \left \langle x, f(y) \right \rangle.\]
On suppose de plus que \(f\) est non inversible et non nul.
Montrer que \(0\) est valeur propre de \(f\) et que \(f\) admet au moins une valeur propre non nulle.
Soient \(\lambda\) et \(\mu\) deux valeurs propres de \(f\). Montrer que, pour tout vecteur \(x\) de \(E_f(\lambda)\) et pour tout vecteur \(y\) de \(E_f(\mu)\) : \[\lambda \left \langle x, y \right \rangle=\mu \left \langle x, y \right \rangle.\]
En déduire que les sous-espaces propres de \(f\) sont deux à deux orthogonaux.
Montrer que les sous-espaces vectoriels \(\mathrm{Im}(f)\) et \(\mathrm{Ker}(f)\) sont supplémentaires orthogonaux dans \(E\).
On suppose désormais que \(f\) admet exactement \(k+1\) valeurs propres deux à deux distinctes \(\lambda_0,\lambda_1,\dots,\lambda_k\) avec : \[\lambda_0=0 \quad\text{et}\quad 0<\left| \lambda_1 \right| \leqslant \left| \lambda_2 \right| \leqslant \cdots \leqslant \left| \lambda_k \right|.\]
Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,k} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(p_j\) le projecteur orthogonal sur \(E_f(\lambda_j)\).
Soit \(x\) un vecteur de \(E\).
Montrer qu’il existe un unique \((k+1)\)-uplet \((x_0,x_1,\dots,x_k)\) de \(E_f(0)\times E_f(\lambda_1)\times \cdots \times E_f(\lambda_k)\) tel que : \[x=x_0+x_1+\cdots +x_k.\]
Montrer que : \[\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,k} \right]\kern-0.15em\right],\ p_j(x)=x_j.\]
Ainsi la relation suivante est clairement vérifiée : \[\operatorname{Id}_E=p_0+p_1+\cdots +p_k.\]
Établir, pour tout couple \((i,j)\) d’entiers naturels inférieurs ou égaux à \(k\) : \[i\neq j \Rightarrow p_i\circ p_j=\widetilde{0}.\]
Montrer que : \[f=\lambda_1 p_1+\lambda_2p_2+\cdots +\lambda_kp_k.\]
Montrer que le projecteur orthogonal \(p\) sur \(\mathrm{Im}(f)\) vérifie : \[p=p_1+p_2+\cdots +p_k.\] On note alors \(f^\#\) l’endomorphisme de \(E\) défini par : \[f^\#=\frac{1}{\lambda_1}\, p_1+\frac{1}{\lambda_2}\,p_2+\cdots +\frac{1}{\lambda_k}\,p_k.\] On dit que \(f^\#\) est l’inverse généralisé de \(f\).
Montrer que : \[f\circ f^\# = p.\]
En déduire que : \[\forall (x,y)\in E^2,\ \left(f(x)=p(y) \Leftrightarrow x-f^\#(y)\in\mathrm{Ker}(f)\right).\]
Soit \(y\) un vecteur de \(E\).
Montrer que : \[\forall x\in E,\ \left(\left\| f(x)-y \right\| = \inf_{z\in E} \left\| f(z)-y \right\| \Leftrightarrow x-f^\#(y)\in\mathrm{Ker}(f)\right).\]
En déduire que \(f^\#(y)\) est le vecteur \(x\) de \(E\) de plus petite norme vérifiant : \[\left\| f(x)-y \right\|= \inf_{z\in E} \left\| f(z)-y \right\| .\]
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Dans cette question, \(E\) est un espace euclidien de dimension \(4\) et \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) est une base orthonormale de \(E\). On note : \[A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 3 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
Soit \(f\) l’endomorphisme de \(E\) associé à \(A\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).
Justifier que \(f\) est un endomorphisme symétrique non nul et non inversible de \(E\).
Montrer que \(f\) admet exactement trois valeurs propres distinctes \(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2\) avec \(\lambda_0<\lambda_1< \lambda_2\).
On note \(p_1\) le projecteur orthogonal sur \(E_f(\lambda_1)\) et \(M_1\) la matrice associée à \(p_1\) relativement à \(\mathcal{B}\).
On note \(p_2\) le projecteur orthogonal sur \(E_f(\lambda_2)\) et \(M_2\) la matrice associée à \(p_2\) relativement à \(\mathcal{B}\).
Montrer que : \[A=2M_1+4M_2.\]
Montrer que \(E_f(\lambda_2)\) est de dimension \(1\) et déterminer un vecteur \(v_2\) de \(E_f(\lambda_2)\) tel que \(\left\| v_2 \right\|=1\).
Montrer que : \[\forall x\in E,\ p_2(x)=\left \langle x, v_2 \right \rangle v_2.\]
Déterminer la matrice \(M_2\).
En déduire la matrice associée à \(f^\#\) relativement à \(\mathcal{B}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
