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On note, pour tout entier \(p\geqslant 1\) : \[u_p = \frac{1}{p} - \int_p^{p+1} \frac{\mathrm{d}t}{t}\]
et pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[a_n=\sum_{p=1}^n u_p = u_1+\cdots +u_n\]
Montrer, pour tout entier \(p\geqslant 1\) : \[0\leqslant u_p \leqslant \frac{1}{p} - \frac{1}{p+1}\]
En déduire que la suite \((a_n)_{n\geqslant 1}\) est croissante et converge vers un réel noté \(\gamma\), tel que \(0\leqslant \gamma \leqslant 1\).
Établir, pour tout réel \(x\) : \[1+x \leqslant \mathrm{e}^x\]
En déduire, pour tout entier \(n\geqslant 1\) et tout réel \(t\) tel que \(0\leqslant t \leqslant n\) : \[\left( 1+ \frac{t}{n} \right)^n \leqslant \mathrm{e}^t \quad\text{et}\quad\left( 1- \frac{t}{n}\right)^n \leqslant \mathrm{e}^{-t}\] puis : \[\left( 1- \frac{t^2}{n^2} \right)^n\mathrm{e}^{-t} \leqslant \left( 1- \frac{t}{n}\right)^n \leqslant \mathrm{e}^{-t}\]
Établir, pour tout entier \(n\geqslant 1\) et tout réel \(x\) de \([0,1]\) : \[(1-x)^n + nx -1 \geqslant 0\]
En utilisant 1b et 2a, montrer, pour tout entier \(n\geqslant 1\) et tout réel \(t\) tel que \(0\leqslant t \leqslant n\) : \[0 \leqslant \mathrm{e}^{-t} - \left( 1- \frac{t}{n}\right)^n \leqslant \frac{t^2}{n} \,\mathrm{e}^{-t}\]
On note, pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[I_n=\int_0^n \frac{1}{t}\left( \mathrm{e}^{-t} - \left( 1- \frac{t}{n}\right)^n \right)\mathrm{d}t\]
Justifier l’existence de \(I_n\).
Établir que \(I_n\) tend vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Établir, pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^n \left( 1- \frac{t}{n}\right)^k\mathrm{d}t= n \left( a_n + \ln(n+1) \right)\]
On note, pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[J_n=\int_0^n \frac{1}{t}\left(1 - \left( 1- \frac{t}{n}\right)^n \right)\mathrm{d}t.\] Justifier l’existence de \(J_n\) et montrer, pour tout entier \(n\geqslant 1\) : \[J_n=a_n+\ln(n+1)\]
On note : \[U=\int_0^1 \frac{1-\mathrm{e}^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad V=\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}\,\mathrm{d}t.\]
Justifier l’existence de \(U\) et \(V\).
Démontrer que : \[\gamma=U-V\]
Soit \(E\) un espace vectoriel euclidien de dimension \(n\), dont le produit scalaire est noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
L’objectif du problème est d’étudier les endomorphismes \(u\) de \(E\) tels que : \[\forall x\in E,\ \left \langle u(x), x \right \rangle=0.\]
Les endomorphismes vérifiant cette propriété sont appelés endomorphismes antisymétriques.
Dans cette partie, \(E\) est l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à \(2\). On rappelle que \((1, X, X^2)\) est une base de \(E\).
On considère l’application \(\varphi : E^2\to\mathbb{R}\) définie pour tout couple \((P,Q)\) d’éléments de \(E\) par : \[\varphi(P,Q) = P(0)\, Q(0) + P(1) \, Q(1) + P(-1) \, Q(-1).\]
Vérifier que \(\varphi\) est un produit scalaire.
Dans cette première partie, on considère que \(E\) est muni de ce produit scalaire.
On considère l’endomorphisme \(u\) de \(E\) défini par :
\[\forall P\in E,\ u(P) = 2P'(0) X^2 - \left( P(1)+P(-1) \right)X.\]
Vérifier : \(\displaystyle \forall P\in E,\ 2P'(0)-P(1)+P(-1)=0\).
En déduire que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique de l’espace vectoriel euclidien \(E\).
Soient \(\displaystyle P_1=\frac {1}{2} \left( X^2+X \right)\) et \(\displaystyle P_2 = \frac{1}{2} \,u(P_1)\).
Vérifier que \(P_1\) est un vecteur propre de \(u^2\) et que la famille \((P_1,P_2)\) est orthonormale.
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(u)\).
Déterminer une base orthonormale \(\mathcal{B}\) de \(E\) et un nombre réel \(a\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à cette base soit \(\begin{pmatrix} 0 & -a & 0\\ a & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\).
Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\).
Pour tout couple \((x,y)\) de \(E^2\), développer \(\left \langle u(x+y), x+y \right \rangle\).
En déduire que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si : \[\forall (x,y)\in E^2,\ \left \langle u(x), y \right \rangle = -\left \langle x, u(y) \right \rangle.\]
On suppose dans cette question que la dimension \(n\) de \(E\) est non nulle.
Soient \(\mathcal{B}=(e_1, e_2,\dots ,e_n)\) une base orthonormale de \(E\), et \(M =\left( m_{i,j}\right)_{i\leqslant i,j\leqslant n}\) la matrice associée à \(u\) relativement à la base \(\mathcal{B}\).
Montrer : \(\forall (i,j)\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\;m_{i,j}=\left \langle e_i, u(e_j) \right \rangle\).
En déduire que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si la matrice \(M\) associée à \(u\) relativement à la base \(\mathcal{B}\) vérifie \({}^t\!M=-M\).
Soit \(u\) un endomorphisme antisymétrique non nul de \(E\).
On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question ???.
Soit \(\lambda\) un nombre réel. Montrer que si \(\lambda\) est valeur propre de \(u\), alors \(\lambda= 0\).
Montrer que \(\mathrm{Im}( u)\) et \(\mathrm{Ker}(u)\) sont orthogonaux et supplémentaires dans \(E\).
En déduire que \(\mathrm{Ker}(u) = \mathrm{Ker}(u^2)\).
Montrer que \(u^2\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) et que toute valeur propre de \(u^2\) est négative ou nulle.
Montrer que \(u^2\) admet au moins une valeur propre non nulle.
Soient \(x\) un vecteur propre de \(u^2\) associé à une valeur propre non nulle, et \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \((x,u(x))\).
Montrer que \(F\) est un plan vectoriel stable par \(u\).
Montrer que \(F^\perp\), le supplémentaire orthogonal de \(F\), est stable par \(u\).
On munit \(F^\perp\) du produit scalaire \(\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle_1\) défini par : \[\forall (x,y)\in (F^\perp)^2,\ \left \langle x, y \right \rangle_1=\left \langle x, y \right \rangle.\]
On définit l’endomorphisme \(u_1\) de \(F^\perp\) par : \[\forall x\in F^\perp ,\ u_1(x)=u(x).\]
Montrer que \(u_1\) est un endomorphisme antisymétrique de \(F^\perp\) et que \(\mathrm{Im}(u)= F\oplus\mathrm{Im}( u_1)\).
Montrer que le rang d’un endomorphisme antisymétrique est pair. On pourra faire une récurrence sur la dimension de \(E\).
Dans cette partie, \(E\) est un espace vectoriel euclidien de dimension \(4\) et \(\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3, e_4)\) est une base orthonormale de \(E\).
Soit \(u\) l’endomorphisme de \(E\) associé, relativement à la base \(\mathcal{B}\), à la matrice \[A=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 1 & -1\\ -4 & 0 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & -5\\ 1 & 1 & 5 & 0 \end{pmatrix}.\]
Montrer que \(u\) est un endomorphisme antisymétrique de \(E\).
Vérifier que le vecteur \(f_1=e_1+ e_2 - e_3\) est vecteur propre de \(u^2\).
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par la famille \(\left(f_1,u(f_1)\right)\) . Déterminer une base orthonormale de \(F\) et une base orthonormale de \(F^\perp\).
En déduire une base orthonormale \(\mathcal{B}_0\) de \(E\) et deux nombres réels \(a\) et \(b\) tels que la matrice associée à \(u\) relativement à \(\mathcal{B}_0\) soit \(\begin{pmatrix} 0 & -a & 0 & 0\\ a & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -b\\ 0 & 0 & b & 0 \end{pmatrix}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
