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On considère les deux matrices carrées réelles d’ordre quatre suivantes: \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad K=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}\]
Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.
Calculer \(K^{2}\).
En déduire que la matrice \(K\) est inversible et déterminer \(K^{-1}\).
Montrer que la matrice \(K\) n’admet aucune valeur propre réelle.
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On note \(M\) la matrice définie par \(M=a I+b K\).
Montrer: \(M^{2}=-\left(a^{2}+b^{2}\right) I+2 a M\).
En déduire que, si \((a, b) \neq(0,0)\), alors la matrice \(M\) est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de \(I\) et \(M\).
Application: donner l’inverse de la matrice \[A= \begin{pmatrix} 1+\sqrt{2} & 1 & -1 & -3 \\ 1 & 1+\sqrt{2} & 1 & -2 \\ 0 & -1 & \sqrt{2} & 1 \\ 1 & 1 & 0 & -2+\sqrt{2} \end{pmatrix}\]
On note \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{4}\), et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{4}\) associé à la matrice \(K\) relativement à la base \(\mathcal{B}\). On considère les quatre éléments suivants de \(\mathbb{R}^{4}\) : \[v_{1}=e_{1}, \quad v_{2}=f(e_{1}), \quad v_{3}=e_{3}, \quad v_{4}=f(e_{3})\]
Montrer que la famille \(\mathcal{C} =\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right)\) est une base de \(\mathbb{R}^{4}\).
Exprimer \(f(v_{1}), f(v_{2}), f(v_{3}), f(v_{4})\) en fonction de \(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\) et en déduire la matrice \(K^{\prime}\) associée à \(f\) relativement à la base \(\mathcal{C}\).
Déterminer la matrice de passage \(P\) de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\).
Rappeler l’expression de \(K'\) en fonction de \(K, P\) et \(P^{-1}\).
On considère, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la fonction polynomiale \(P_{n}:[0 ,+\infty[\mapsto \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x \in[0 ,+\infty[\), par : \[P_{n}(x)=\sum_{k=1}^{2 n} \frac{(-1)^{k} x^{k}}{k}=-x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{-x^{2 n-1}}{2 n-1}+\frac{x^{2 n}}{2 n}\]
Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ,+\infty[\) : \[P_{n}^{\prime}(x)=\frac{x^{2 n}-1}{x+1} \text {, où } P_{n}^{\prime} \text { désigne la dérivée de } P_{n}\]
Étudier, pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), les variations de \(P_{n}\) sur \([0 ,+\infty[\) et dresser le tableau de variations de \(P_{n}\).
Montrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \(P_{n}(1)<0\).
Vérifier, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ,+\infty[\) : \[P_{n+1}(x)=P_{n}(x)+x^{2 n+1}\left(-\frac{1}{2 n+1}+\frac{x}{2 n+2}\right)\]
En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \(P_{n}(2) \geqslant 0\).
Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), l’équation \(P_{n}(x)=0\), d’inconnue \(x \in[1 ,+\infty[\), admet une solution et une seule, notée \(x_{n}\), et que : \[1<x_{n} \leqslant 2\]
Écrire un programme Python qui calcule
et affiche une valeur approchée décimale de \(x_{2}\) à \(10^{-3}\) près.
Établir, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(x \in[0 ,+\infty[\) : \[P_{n}(x)=\int_{0}^{x} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} \, \mathrm{d} t\]
En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \[\int_{1}^{x_{n}} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} \, \mathrm{d} t=\int_{0}^{1} \frac{1-t^{2 n}}{t+1} \, \mathrm{d} t\]
Démontrer, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et tout \(t \in[1 ,+\infty[\) : \[t^{2 n}-1 \geqslant n\left(t^{2}-1\right)\]
En déduire, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \[\int_{1}^{x_{n}} \frac{t^{2 n}-1}{t+1} \, \mathrm{d} t \geqslant \frac{n}{2}\left(x_{n}-1\right)^{2}\]
puis : \[0<x_{n}-1 \leqslant \frac{\sqrt{2 \ln (2)}}{\sqrt{n}}\]
Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Étude préliminaire
On admet, pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\) de \([0,1[\), que la série \(\displaystyle \sum\limits_{n \geqslant k} \binom nk x^{n}\) est convergente et on note : \[s_{k}(x)=\sum_{n=k}^{+\infty} \binom nk x^{n}\]
Vérifier, pour tout réel \(x\) de \([0 , 1[\) : \[s_{0}(x)=\frac{1}{1-x} \quad \text { et } \quad s_{1}(x)=\frac{x}{(1-x)^{2}}\]
Pour tout couple d’entiers naturels \((n, k)\) tel que \(k<n\), montrer : \[\binom{n+1}{k+1}= \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}\]
Pour tout entier naturel \(k\) et pour tout réel \(x\) de \([0 , 1 [\), déduire de la question précédente : \[s_{k+1}(x)=x \, s_{k}(x)+x \, s_{k+1}(x)\]
Montrer, par récurrence : \[\forall k \in \mathbb{N}, \ \forall x \in\left[0 , 1\right[, \ s_{k}(x)=\frac{x^{k}}{(1-x)^{k+1}}\]
Étude d’une expérience aléatoire
On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l’expérience aléatoire suivante :
On commence par tirer des boules de l’urne une à une avec remise jusqu’à obtenir la boule noire (que l’on remet aussi dans l’urne). On définit la variable aléatoire \(N\) égale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire.
Puis, si \(N\) prend une valeur entière positive non nulle notée \(n\), on réalise alors une seconde série de \(n\) tirages dans l’urne, toujours avec remise. On définit la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette seconde série de tirages.
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(N\). Donner son espérance.
Soient \(k \in \mathbb{N}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Déterminer la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[N=n]}(X=k )\).
Vérifier : \(\displaystyle \mathbb{P}(X=0)=\frac{4}{9}\).
En utilisant l’étude préliminaire, montrer : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(X=k)=\frac{25}{36}\left(\frac{4}{9}\right)^{k}\]
Montrer que \(X\) admet une espérance \(\mathbb{E}(X)\) et calculer \(\mathbb{E}(X)\).
Montrer : \[\displaystyle \forall k \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(X \leqslant k)=1-\frac{5}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^{k}\]
Étude d’une variable aléatoire à densité
On note \(\displaystyle a=-\frac{\ln (9) -\ln (5)}{\ln (9)-\ln (4)}\) et on définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb{R}\) par : \[F(x)=\begin{cases} \displaystyle 1-\frac{5}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^{x} & \text { si } x \in[a ,+\infty[ \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon }\end{cases}\]
On rappelle que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \left(\frac{4}{9}\right)^{x}=\mathrm{e}^{x \ln \left( \frac{4}{9} \right)}\]
Montrer que \(F\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité, notée \(Y\).
Déterminer une densité \(f\) de \(Y\).
Déterminer une primitive de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=x \, \mathrm{e}^{x \ln \left( \frac{4}{9} \right)}\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance \(\mathbb{E}(Y)\) et calculer \(\mathbb{E}(Y)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
