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On considère la matrice carrée réelle d’ordre quatre : \[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}\]
et l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{4}\) dont la matrice dans la base canonique \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)\) de \(\mathbb{R}^{4}\) est \(A\).
Montrer que \(A\) n’est pas inversible. En déduire que 0 est valeur propre de \(A\).
Calculer \(A^{2}\), \(A^{3}\), \(A^{4}\).
Établir que 0 est la seule valeur propre de \(A\).
Déterminer la dimension du noyau de \(f\).
Est-ce que \(A\) est diagonalisable ?
On note \(\varepsilon_{1}=e_{1}\), \(\varepsilon_{2}=f(\varepsilon_{1})\), \(\varepsilon_{3}=f(\varepsilon_{2})\), \(\varepsilon_{4}=f(\varepsilon_{3})\), et \(\mathcal{C}=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}\right)\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) est une base de \(\mathbb{R}^{4}\).
Déterminer la matrice \(N\) de \(f\) relativement à la base \(\mathcal{C}\) de \(\mathbb{R}^{4}\).
Existe-t-il un automorphisme \(g\) de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{4}\) tel que \(g \circ f \circ g^{-1}=f^{2}\), où l’on a noté \(f^2= f \circ f\) ?
On considère l’application \(f:[0 ,+\infty[\to \mathbb{R}\), définie, pour tout \(x \in[0 ,+\infty[\), par :
\[f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1} & \text { si } x>0 \\ \hfill 1 \hfill & \text { si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est continue sur \([0 ,+\infty[\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(] 0 ,+\infty[\). Pour tout \(x \in \left] 0 ,+\infty\right[\), calculer \(f^{\prime}(x)\).
Montrer que \(f^{\prime}(x)\) tend vers \(-\dfrac{1}{2}\) lorsque \(x\) tend vers 0.
En déduire que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([0 ,+\infty[\).
Déterminer: \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(] 0 ,+\infty[\) et que : \[\forall x \in \left] 0 ,+\infty\right[, \ f^{\prime \prime}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)^{3}}\left(x \, \mathrm{e}^{x}-2 \, \mathrm{e}^{x}+x+2\right)\]
Étudier les variations de la fonction \(g:[0 ,+\infty[\to \mathbb{R}\), définie, pour tout \(x \in[0 ,+\infty[\), par : \[g(x)=x \, \mathrm{e}^{x}-2 \, \mathrm{e}^{x}+x+2\]
En déduire: \(\forall x \in \left] 0 ,+\infty\right[, \ f^{\prime \prime}(x)>0\).
En déduire le sens de variation de \(f\). On précisera la limite de \(f\) en \(+\infty\). Dresser le tableau de variation de \(f\).
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\).
On considère la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_{0}=0\) et : \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)\).
Montrer : \[\forall x \in\left[0 ,+\infty\right[, \ \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{2} \quad \text { et } \quad 0 \leqslant f(x) \leqslant 1\]
Résoudre l’équation \(f(x)=x\), d’inconnue \(x \in \left] 0 ,+\infty \right[\).
Montrer : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \left|u_{n+1}-\ln (2) \right| \leqslant \frac{1}{2}\left|u_{n}-\ln (2) \right|\]
Établir que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite.
Pour tout entier naturel \(n\), on considère la fonction \(f_{n}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par : \[\forall t \in \mathbb{R}, \ f_{n}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-t} \, t^{n}}{n!} & \text { si } t>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } t \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Soit \(n \in \mathbb{N}\). Montrer que \(\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} t^{2} f_{n}(t)=0\).
En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f_{n}(t)\,\mathrm{d}t\) est convergente.
Montrer : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \forall x \in\left[0 ,+\infty\right[, \ \int_{0}^{x} f_{n}(t)\,\mathrm{d}t=-\frac{\mathrm{e}^{-x} \, x^{n}}{n!}+\int_{0}^{x} f_{n-1}(t)\,\mathrm{d}t\).
En déduire : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ \int_{0}^{+\infty} f_{n}(t)\,\mathrm{d}t=1\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), la fonction \(f_{n}\) est la densité de probabilité d’une variable aléatoire.
Pour tout entier naturel \(n\), on définit une variable aléatoire \(X_{n}\) admettant \(f_{n}\) pour densité de probabilité.
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), l’espérance \(\mathbb{E}(X_{n})\) et la variance \(\mathbb{V}(X_{n})\) vérifient : \[\mathbb{E}(X_{n})=n+1, \quad \text{et} \quad \mathbb{V}( X_{n})=n+1\]
Dans cette question, on suppose que \(n=4\). On donne les valeurs approchées à \(10^{-2}\) suivantes : \[\int_{0}^{4} f_{4}(t)\,\mathrm{d}t\approx 0,37 \qquad \int_{0}^{6} f_{4}(t)\,\mathrm{d}t\approx 0,71 \qquad \int_{0}^{8} f_{4}(t)\,\mathrm{d}t\approx 0,90\]
Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilité \(\mathbb{P}(X_{4}>4)\) et une valeur décimale approchée de la probabilité \(\mathbb{P}(4<X_{4} \leqslant 8)\).
Pour tout réel \(t>0\), on définit la variable aléatoire \(Y_{t}\) égale au nombre de voitures arrivant à un péage d’autoroute de l’instant 0 à l’instant \(t\). On suppose que la variable aléatoire \(Y_{t}\) suit une loi de Poisson de paramètre \(t\).
Rappeler, pour tout réel \(t>0\), les valeurs de l’espérance et de la variance de \(Y_{t}\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on définit la variable aléatoire réelle \(Z_{n}\), prenant ses valeurs dans \(\mathbb{R}^{+}\), égale à l’instant d’arrivée de la \(n^{\text {ième }}\) voiture au péage à partir de l’instant 0.
Soient \(t \in \left] 0 ,+\infty\right[\) et \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
Justifier l’égalité de l’évènement \(\left[ Z_{n} \leqslant t\right]\) et de l’évènement \(\left[ Y_{t} \geqslant n\right]\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle \(Z_{n}\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la variable aléatoire \(Z_{n}\) admet \(f_{n-1}\) comme densité de probabilité.
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