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On considère une matrice carrée d’ordre 3 :
\(J= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\)
On considère, pour tout nombre réel \(a,\) la matrice carrée ré elle d’ordre 3 :
\(M_{a}= \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 0 & a-1 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}\)
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(J\).
Montrer que \(J\) est diagonalisable. Déterminer une matrice ré elle diagonale \(D\) d’ordre trois et une matrice réelle inversible \(P\) d’ordre trois telles que \(J=PDP^{-1}\)
En déduire que, pour tout nombre réel \(a\), il existe une matrice réelle diagonale \(D_{a}\) d’ordre trois, que l’on calculera, telle que \(M_{a}=PD_{a}P^{-1}.\)
Quel est l’ensemble des nombres réels \(a\) tels que \(M_{a}\) soit inversible ?
On se propose, dans cette question, de déterminer l’ensemble des nombres réels \(a\) tels qu’il existe une matrice carrée réelle d’ordre trois vérifiant \(X^{2}=M_{a}.\)
Soient \(a\) un nombre réel et \(X\) une matrice carrée ré elle d’ordre trois tels que \(X^{2}=M_{a}\).
Montrer que \(X\) commute avec \(M_{a},\) puis que \(X\) commute avec \(J.\)
Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de \(J\) est vecteur propre de \(X\).
Établir qu’il existe une matrice réelle diagonale \(\Delta\) d’ordre trois telle que \(X=P\Delta P^{-1}\) et montrer : \(\Delta ^{2}=D_{a}.\)
En déduire : \(a\geqslant 2.\)
Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel \(a\) sup érieur ou égal à 2, il existe une matrice carrée réelle \(% X\) d’ordre trois telle que \(X^{2}=M_{a}.\)
Conclure.
On considère la fonction \(f:\left] -1,+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(\left] -1,+\infty \right[\), par :
\(f\left( x\right) = \begin{cases} \hfill 1 \hfill & \text{si }x=0 \\ \dfrac{\ln ( 1+x) }{x} & \text{si }x\in \left] -1,0\right[ \cup \left] 0,+\infty \right[ \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\)
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left] -1,+\infty \right[ .\)
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left] -1,0\right[\) et sur \(\left] 0,+\infty \right[\).
Pour tout réel \(x\) de \(\left] -1,0\right[ \cup \left] 0,+\infty \right[\) , calculer \(f^{\prime }\left( x\right)\).
Montrer que \(f^{\prime }( x)\) tend vers \(-\dfrac{1}{2}\) lorsque \(x\) tend vers \(0\).
En déduire que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left] -1,+\infty % \right[ .\)
Montrer : \(\forall x\in \left] -1,+\infty \right[ , \ \dfrac{x}{x+1}-\ln ( 1+x) \leqslant 0\).
En déduire les variations de \(f\) . On précisera les limites de \(f\) en \(-1\) et \(+\infty .\)
Montrer que, pour tout \(x\in \left] -\frac{1}{2},+\infty \right[ ,\) l’intégrale \(\displaystyle \int_{x}^{2x}f( t) \,\mathrm{d}t\) existe.
On considère la fonction \(F:\left] -\frac{1}{2},+\infty \right[ \rightarrow \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \(\left] -\frac{1}{2}% ,+\infty \right[\), par : \[F( x) =\displaystyle \int_{x}^{2x}f( t) \,\mathrm{d}t\]
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\left] -\frac{1}{2},+\infty % \right[\) et que \(F\) est croissante.
Montrer que \(\forall x\in \left] 0,+\infty \right[ ,\ F( x) \geqslant xf( 2x) .\)
En déduire que \(F( x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty .\)
Soit \(a\) un entier strictement positif.
On dispose d’un jeu usuel de \(2n\) cartes (\(n=16\) ou \(26\)) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux d’argent régis par les protocoles suivants.
Les cartes du jeu sont alignés sur une table de façon alétoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu’à obtenir le premier roi rouge.
On note \(X\) la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier roi rouge et \(E\left( X\right)\) son espérance.
Montrer : \(\forall k\in \left\{ 1,...,2n-1\right\} , \mathbb{P}\! \left( X=k\right) =\dfrac{2n-k}{n\left( 2n-1\right) }\).
Montrer : \(\mathbb{E}\!\left( X\right) =\dfrac{2n+1}{3}\)
On rappelle que pour tout entier naturel \(p\geqslant 1\), on a : \(% \displaystyle \sum_{k=1}^{p}k^{2}=\dfrac{p\left( p+1\right) \left( 2p+1\right) }{6}% .\)
Le joueur paie un franc chaque fois qu’il découvre une carte et gagne \(a\) francs lorsqu’il obtient le premier roi rouge.
On note \(G_{1}\) la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la \(k^{i\grave{e}me}\) carte découverte, \(G_{1}\) est égale à \(a-k.\)
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(G_{1}.\medskip\)
Les \(2n\) cartes du même jeu sont alignés sur une table de façon aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir au maximum \(n\) cartes.
Le joueur paie un franc chaque fois qu’il découvre une carte et gagne \(a\) francs losqu’il obtient le premier roi rouge.
On note \(G_{2}\) la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la \(k^{i\grave{e}me}\) carte découverte \(\left( k\leqslant n\right)\), \(G_{2}\) est égale à \(a-k,\) et si le joueur n’obtient pas de roi rouge à l’issue des \(n\) premiers tirages, alors \(G_{2}\) est égale à \(-n.\medskip\)
Pour tout entier \(k\in \left\{ 1,...,n\right\} ,\) déterminer \(% \mathbb{P}\! \left( G_{2}=a-k\right) .\)
Vérifier : \(\mathbb{P}\! \left( G_{2}=-n\right) =\dfrac{n-1}{2\left( 2n-1\right) }.\)
Montrer : \(\mathbb{E}\!\left( G_{2}\right) =\dfrac{3\left( 3n-1\right) a-\left( 7n^{2}-1\right) }{6\left( 2n-1\right) }.\)
On suppose le jeu constitué de 32 cartes (\(n=16\)).
Déterminer, selon les valeurs de \(a\), le protocole le plus favorable au joueur. Justifier la réponse.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
