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Notations
\(n\) désigne un entier supérieur ou égal à \(3\).
\(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est l’ensemble des matrices carré es d’ordre \(n\) à coefficients réels.
On identifie les matrices unicolonnes \(X=% \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n% \end{pmatrix}%\) d’ordre \(n\) avec les vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\).
\(\mathbb{R}^{n}\) est muni du produit scalaire canonique noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) défini par:
si \(X=% \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}% \end{pmatrix}%\) et \(Y=% \begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}% \end{pmatrix}%\), alors \(\left \langle X, Y \right \rangle =\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\).
En identifiant les matrices de \(\mathcal{M}_{1}(\mathbb{R})\) avec les ré els, on a: \(\left \langle X, Y \right \rangle = {}^t\!XY\).
\(I_{n}\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R% })\).
\(A_{n}\) est la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont le terme général \(a_{i,j}\) est égal à \(1\) si \(\left\vert i-j\right\vert =1\) et é gal à \(0\) sinon.
Ainsi, par exemple, \(A_{3}=% \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0% \end{pmatrix}%\) et \(A_{4}=% \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0% \end{pmatrix}%\).
Montrer que \(A_{3}\) est diagonalisable.
Déterminer une matrice inversible \(P\) de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\) et une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\) telles que \(A_{3}=PDP^{-1}\).
Soit \(\theta \in \left] 0 , \pi \right[\). On désigne par \(S_{\theta }\) l’ensemble des suites réelles \((s_{k})_{k\in \mathbb{N}}\) telles que \(% s_{0}=0\) et pour tout entier naturel \(k\), \(s_{k+2}-2\cos( \theta) \, s_{k+1}+s_{k}=0\).
Montrer que, si la suite \((s_{k})_{k\in \mathbb{N}}\) appartient à \(S_{\theta }\), alors pour tout entier naturel \(k\): \(s_{k}=s_{1} \, \dfrac{\sin (k\theta) }{% \sin ( \theta) }\).
En déduire que \(S_{\theta }\) est un espace vectoriel réel de dimension \(1\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre réelle de \(A_{n}\) et \(X=% \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}% \end{pmatrix}%\) un vecteur propre (non nul) associé à \(\lambda\).
On note \(m\) le plus grand des réels \(\left\vert x_{1}\right\vert ,\;\left\vert x_{2}\right\vert ,\dots ,\left\vert x_{n}\right\vert\).
Montrer: \(\begin{cases} \lambda x_{1}=x_{2} \\ \forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {2,n-1} \right]\kern-0.15em\right], \ \lambda x_{k}=x_{k-1}+x_{k+1} \\ \lambda x_{n}=x_{n-1}% \end{cases}\)
Montrer pour tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\): \(% \left\vert \lambda \right\vert \left\vert x_{k}\right\vert \leqslant 2m\), et en déduire \(\left\vert \lambda \right\vert \leqslant 2\).
On suppose \(\left\vert \lambda \right\vert <2\).
Montrer qu’il existe un unique \(\theta \in \left]0,\pi \right[\) tel que \(\lambda =2\cos (\theta)\) .
Montrer que la suite \((s_{k})_{k\in \mathbb{N}}\) de \(S_{\theta }\) déterminée par \(s_{1}=x_{1}\) vérifie: \[\begin{cases} \forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ s_{k}=x_{k} \\ s_{n+1}=0% \end{cases}\]
En déduire qu’il existe un entier \(p\) de \([\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{% -0.13em}]\) tel que \(\theta =\dfrac{p\pi }{n+1}\).
Pour tout entier \(p\) de \([\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]\), on note \(% \theta _{p}=\dfrac{p\pi }{n+1}\), \(\;\lambda _{p}=2\cos (\theta _{p})\) et \(% X_{p}=% \begin{pmatrix} \sin ( \theta _{p} )\\ \sin( 2\theta _{p}) \\ \vdots \\ \sin (n\theta _{p})% \end{pmatrix}%\).
Soit \(p\in \lbrack \hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]\). Montrer que \(\lambda _{p}\) est valeur propre de \(A_{n}\) et que \(X_{p}\), est un vecteur propre associé à \(\lambda _{p}\).
Montrer que \(\{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\}\) est l’ensemble de toutes les valeurs propres de \(A_{n}\) et que la famille \(% (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\) est une base de \(\mathbb{R}^{n}\).
Soit \(U_{n}\), la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) de terme gén éral \(u_{p,q}=\sin \! \left( \dfrac{pq\pi }{n+1} \right)\), \((p,q)\in \lbrack \hspace{% -0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]^{2}\).
Montrer que \(U_{n}\) est inversible et déterminer la matrice \(D_{n}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) telle que: \[D_{n}=U_{n}^{-1}A_{n}U_{n}\]
Montrer pour tout couple \((p,q)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\): \(\lambda _{p} \,{}^t\!X_{p}X_{q}=\lambda _{q} \,{}^t\!X_{p}X_{q}\).
En déduire que la base \((X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\) est orthogonale et que, pour tout couple \((p,q)\) de \([\hspace{-0.15em}[1,n]\hspace{-0.13em}]^{2}\) tel que \(p\not=q\), on a: \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}\sin (k\theta _{p}) \sin( k\theta _{q}) =0\).
On admet que, pour tout \(p\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}\cos( 2k\theta _{p}) =0\).
En déduire que, pour tout entier \(p\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on a: \(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\sin ^{2}(k\theta _{p}) =\dfrac{n+1}{2}\).
En déduire \(U_{n}^{2}=\dfrac{n+1}{2}I_{n}\), puis \(A_{n}=\dfrac{2% }{n+1} \, U_{n}D_{n}U_{n}\).
On considère l’application \(f: \left[ 0,1 \right[ \to \mathbb{R}\) dé finie, pour tout réel \(t\) de \([0,1[\), par : \[f(t)= \begin{cases} - \dfrac{\ln(1-t)}{t} &\text{si } t \in \left] 0,1 \right[ \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } t=0 \end{cases}\]
Montrer que \(f\) est continue sur \([0,1[\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(]0,1[\) et calculer \(f'(t)\) pour tout réel \(t\) de \(]0,1[\)
Établir que \(f^{\prime }(t)\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\) lorsque \(t\) tend vers \(0\), et que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([0,1[\).
Montrer, pour tout réel \(t\) de \([0,1[\): \(\ln (1-t)+\dfrac{t}{1-t}% \geqslant 0\).
Dresser le tableau de variation de \(f\). On précisera la limite de \(% f(t)\) lorsque \(t\) tend vers \(1\).
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\) (on n’étudiera pas la dérivée seconde de \(f\) et on admettra que \(f\) est convexe).
Montrer que, pour tout réel \(x\) de \([0,1]\), l’intégrale \(% \displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t\) existe (on distinguera les cas \(x\in \lbrack 0,1[\) et \(x=1\)).
On note \(g:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\) l’application définie, pour tout ré el \(x\) de \([0,1]\), par \(g(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(g\) est continue sur \([0,1]\), de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \([0,1[\) et calculer \(g^{\prime }(x)\) pour tout réel \(x\) de \([0,1[\).
Établir que \(\dfrac{g(x)-g(1)}{x-1}\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(1\).
Dresser le tableau de variation de \(g\).
Établir que \(g\) est convexe sur \([0,1[\).
Justifier que, pour tout réel \(t\) de \([0,1[\), la série numérique \(% \sum\limits_{n\geqslant 0}t^{n}\) converge.
Quelle est sa somme ?
On note, pour tout entier naturel \(n\), \(R_{n}:[0,1[\rightarrow \mathbb{% R}\) l’application définie par : \[\forall t\in \lbrack 0,1[,\ R_{n}(t)=\sum_{k=n+1}^{+\infty }t^{k}\]
Montrer, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(t\) de \([0,1[\) : \(R_{n}(t)=\dfrac{t^{n+1}}{1-t}\) et en déduire que, pour tout entier naturel \(% n\), \(R_{n}\) est continue sur \([0,1[\).
Établir, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(x\) de \([0,1[\): \[\displaystyle \int_{0}^{x}\dfrac{1}{1-t}\,\mathrm{d}t=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k+1}}{k+1}% +\displaystyle \int_{0}^{x}R_{n}(t)\,\mathrm{d}t\]
Montrer, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(x\) de \([0,1[\) : \[0\leqslant \displaystyle \int_{0}^{x}R_{n}(t)\,\mathrm{d}t\leqslant \dfrac{x}{(n+2)(1-x)}\]
Démontrer que, pour tout réel \(x\) de \([0,1[\), la série numérique \(% \sum\limits_{k\geqslant 0}\dfrac{x^{k+1}}{k+1}\) est convergente et que : \[\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty }\dfrac{x^{k}}{k+1}\]
Montrer que, pour tout réel \(x\) de \([0,1]\), la série numérique \(% \sum\limits_{n\geqslant 1}\dfrac{x^{n}}{n^{2}}\) est convergente.
On note, pour tout entier naturel \(n\), \(\rho _{n}:[0,1[\rightarrow \mathbb{R}\) l’application définie par: \[\forall t\in \lbrack 0,1[,\ \rho _{n}(t)=\sum_{k=n+1}^{+\infty }\dfrac{% t^{k}}{k+1}\]
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(\rho _{n}\) est continue sur \([0,1[\).
Établir, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(x\) de \([0,1[\): \[g(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k+1}}{(k+1)^{2}}+\displaystyle \int_{0}^{x}\rho _{n}(t)\,\mathrm{d}t\]
Démontrer, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(t\) de \([0,1[\): \[0\leqslant \rho _{n}(t)\leqslant \dfrac{1}{(n+2)(1-t)}\]
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(x\) de \(% [0,1[\): \[0\leqslant \displaystyle \int_{0}^{x}\rho _{n}(t)\,\mathrm{d}t\leqslant -\dfrac{\ln (1-x)}{n+2}\]
Conclure que, pour tout réel \(x\) de \([0,1[\) : \(\displaystyle g(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{x^{n}}{n^{2}}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
