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Notations et définitions
Dans tout le problème, \(E\) désigne l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(3\) et \(E_{n}\) désigne l’ensemble des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\).
Pour tout entier naturel non nul \(k\), \(X^{k}\) désigne la fonction polynôme \(t\longmapsto t^{k}\).
Une fonction polynôme \(P\) non nulle est dite unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1, c’est-à-dire que, si \(d\) est le degré de \(P\), il existe des réels \(a_{0},\,a_{1},\dots ,\,a_{d-1}\) tels que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x)=x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{0}\]
On considère une fonction \(f\) réelle quatre fois dérivable sur \(\mathbb{R}^+\), dont la dérivée quatrième \(f^{(4)}\) est continue et bornée sur \(\mathbb{R}^+\) et on note \(M\) un majorant de \(\left| f^{(4)} \right|\) sur \(\mathbb{R}^+\). Le but de ce problème est de déterminer une approximation de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x\).
Montrer que, pour toute fonction polynôme \(P\) de \(E\), l’intégrale \(% \displaystyle \int_{0}^{+\infty }P(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est convergente.
On considère alors l’application notée \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) définie sur \(E_{n}\times E_{n}\) par : \[\left \langle P, Q \right \rangle = \int_{0}^{+\infty }P(t)\,Q(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]
Montrer que \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) est un produit scalaire sur \(E_{n}\).
Pour tout couple \((i,j)\) d’entiers naturels inférieurs ou égaux à \(% n\), donner la valeur de \(\left \langle X^i, X^j \right \rangle\).
Construire une famille orthogonale \((Q_{0},Q_{1},Q_{2})\) de trois fonctions polynômes telle que pour tout \(k\in\{ 0,1,2\}\), \(Q_{k}\) soit unitaire et de degré \(k\).
Montrer pour tout couple \((u,v)\) de réels : \[\int_{0}^{+\infty }(t^{2}+ut+v)^{2}\,\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t= \left\| Q_2 \right\|^2 + (u+4)^2 \left\| Q_1 \right\|^2 + (u+v+2)^2 \left\| Q_0 \right\|^2\]
Soit \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^{2}\) qui à tout couple \(% (u,v)\) de réels associe l’intégrale
\[\int_{0}^{+\infty }(t^{2}+ut+v)^{2}\,\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t\] Montrer que \(H\) admet un minimum et le déterminer.
Déterminer le projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(E_1\).
Soit \(\Phi\) l’application définie sur \(E_{n}\) par : \[\forall P\in E_{n},\ \Phi (P)= XP^{\prime \prime }(X)+\left( 1-X \right) P^{\prime }(X)\] c’est-à-dire que \(\Phi (P)\) est la fonction polynôme définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ \Phi (P)(t)=t\,P^{\prime \prime }(t)+ \left( 1-t \right) P^{\prime }(t)\]
Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E_n\).
Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Montrer que la famille \((\Phi (X^{j})+kX^{j})_{0\leqslant j\leqslant k}\) est liée puis en déduire que \(-k\) est valeur propre de \(\Phi\).
Montrer que \(\Phi\) est diagonalisable.
Prouver que, pour tout \(k\) appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), il existe une unique fonction polynôme unitaire \(P_{k}\) vérifiant \(\Phi (P_{k})=-k\,P_{k}\).
Déterminer, pour tout \(k\) appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), le degré de \(P_{k}\).
Vérifier que \(P_{0}=Q_{0}\), \(P_{1}=Q_{1}\) et \(P_{2}=Q_{2}\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que : \[\forall (P,Q)\in (E_{n})^{2},\ \left \langle \varphi(P), Q \right \rangle =-\int_{0}^{+\infty }t\,P^{\prime }(t)\,Q^{\prime }(t)\,\mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t\]
On pourra dériver la fonction \(t\mapsto t \, P^{\prime }(t) \,\mathrm{e}^{-t}\).
En déduire que la famille \((P_{0},\,P_{1},\dots ,P_{n})\) est une base orthogonale de \(E_{n}\).
On note \(a=2-\sqrt{2}\) et \(b=2+\sqrt{2}\) les deux racines de \(P_{2}\).
Déterminer deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que, pour toute fonction polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à 1, on ait : \[% \int_{0}^{+\infty }P(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\alpha \,P(a)+\beta \,P(b)\]
Vérifier que : \[\int_{0}^{+\infty }P_{2}(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\alpha \,P_{2}(a)+\beta \,P_{2}(b)\]
Soit \(P\) une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
Montrer qu’il existe deux fonctions polynômes \(Q\) et \(R\), chacune de degré inférieur ou égal à 1, telles que \(P=Q\,P_{2}+R\).
Montrer que : \(\left \langle P_2, Q \right \rangle =0\).
En déduire que :
\[\int_{0}^{+\infty }P(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\alpha \,P(a)+\beta \,P(b)\]
En utilisant l’inégalité de Taylor-Lagrange, déterminer une fonction polynôme \(T\) de degré inférieur ou égal à 4 telle que : \[\forall t\in \mathbb{R}^+ ,\ \left| f(t) \right| \leqslant T(t)\] En déduire que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty }f(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) converge.
Soit \(D\) l’application de \(E_{3}\) dans \(\mathbb{R}^{4}\) définie par : \[\forall P\in E_{3},\ D(P)=(P(a),P^{\prime }(a),P(b),P^{\prime }(b))\] Montrer que \(D\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
En déduire l’existence d’un unique polynôme \(S\) de \(E_{3}\) tel que : \[S(a)=f(a),\quad S^{\prime }(a)=f^{\prime }(a),\quad S(b)=f(b),\quad S^{\prime }(b)=f^{\prime }(b)\]
Soit \(x_{0}\) un réel positif ou nul, différent de \(a\) et de \(b\). On définit la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}^+\) par : \[\forall t\in \mathbb{R}^+ ,\ g(t)=f(t)-S(t)-\dfrac{f(x_{0})-S(x_{0})}{\left[ P_{2}(x_{0}) \right]^{2}} \left[ P_{2}(t) \right]^{2}\]
Vérifier que \(g\) s’annule en \(a\), \(b\) et \(x_{0}\).
En déduire que \(g^{\prime }\) admet au moins quatre zéros deux à deux distincts (dont \(a\) et \(b\)), puis qu’il existe \(c\in \mathbb{R}_+^\ast\) tel que \(g^{(4)}(c)=0\).
En déduire que : \[f(x_{0})-S(x_{0})=\dfrac{\left[ P_{2}(x_{0}) \right]^{2}}{4!} \,f^{(4)}(c)\]
puis que : \[\left| f(x_{0})-S(x_{0}) \right| \leqslant \dfrac{\left[ P_{2}(x_{0}) \right]^{2}}{4!} \, M\]
Prouver que : \[\forall x\in \mathbb{R}^+ ,\ \left\vert f(x)-S(x)\right\vert \leqslant \dfrac{\left[ P_{2}(x) \right]^{2}}{4!} \,M\]
En déduire que : \[\left\vert \int_{0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x-\alpha f(a)-\beta f(b)\right\vert \leqslant \dfrac{M}{6}\]
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