EML 1996 Maths 1Maths approfondies

Problème 1

Partie I

Pour tout entier naturel \(n\), on définit le polynôme \(P_{n}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{n}(x) =\sum_{0\leqslant 2k\leqslant n}(-1)^{k} \binom{n+1}{2k+1} (1-x^{2})^{k}x^{n-2k}\] c’est-à-dire, si l’on note \(\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\) la partie entière de \(\frac{n}{% 2}\) : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{n}(x) =\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}% \right\rfloor}(-1)^{k} \binom{n+1}{2k+1}(1-x^{2})^{k}x^{n-2k}\]

1. Vérifier que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(P_{0}(x) =1,\,P_{1}(x)=2x,\,P_{2}(x)=4x^{2}-1\).

   Expliciter le polynôme \(P_{3}\).

2. Étudier la parité du polynôme \(P_{n}\) suivant la parité de l’entier naturel \(n\).

3. On admet que, pour tout entier naturel \(n\) et pour tout réel \(t\) : \[\sin \! \left( \left( n+1 \right) t \right) =\sin\! \left( t \right) P_{n}(\cos (t))\]

   Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), le polynôme \(P_{n}\) vé rifie la relation : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left( n^{2}+2n \right) P_{n}(x) -3xP_{n}^{\prime }(x) - \left( x^{2}-1 \right)P_{n}^{\prime \prime }(x)=0\] On pourra dériver deux fois la relation admise.

4. 1. Montrer, pour tout entier naturel \(n\) et pour tout réel \(t\) : \[\sin \! \left( \left( n+2 \right) t \right) +\sin (nt) =2\cos (t) \sin \! \left( \left( n+1 \right) t \right)\]

   2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P_{n+1}(x) -2xP_{n}(x) +P_{n-1}(x)=0\]

   3. Montrer, en utilisant la relation précédente, que \(P_{n}\) est un polynô me de degré \(n\) et déterminer le coefficient dominant \(a_{n}\) de \(P_{n}\).

Partie II

Dans cette partie, \(n\) désigne un entier naturel fixé supérieur ou égal à \(2\). On note \(E\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\), et \(\mathcal{B}_{0} = (e_0,e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(E\).

Soit \(\Phi\) l’application qui, à tout polynôme \(P\) de \(E\), associe le polynôme \(\Phi (P)\) défini par \[\forall x\in\mathbb{R},\ \Phi (P)(x)=3xP^{\prime }(x) +\left( x^{2}-1 \right) P^{\prime \prime }(x)\]

5. Vérifier que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\).

6. 1. Pour tout entier \(k\) tel que \(0\leqslant k\leqslant n\), déterminer \(% \Phi (e_k)\).

   2. Déterminer une base de l’image de \(\Phi\).

   3. Déterminer une base du noyau de \(\Phi\).

7. On considère les polynômes \(P_{0},P_{1},\dots ,P_{n}\) définis dans la première partie.

   1. Vérifier que la famille \((P_{0},P_{1},\dots ,P_{n})\) est une base de \(% E\).

   2. Pour tout entier \(k\) tel que \(0\leqslant k\leqslant n\), déterminer \(% \Phi (P_{k})\) (on pourra utiliser le résultat de la question 3 de la première partie).

   3. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(\Phi\).

   4. Pour tout entier \(k\) tel que \(0\leqslant k\leqslant n\), déterminer l’ensemble \(S_{k}\) des polynômes \(P\) de \(E\) tels que \(\Phi (P)=P_{k}\).

Problème 2

On considère l’application \(f: \left[0,+\infty \right[ \to \mathbb{R}\) définie, pour tout \(x\) de \([0,+\infty [\), par : \[f(x)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \left[ \sin(t) \right]^x\] En particulier : \(f(0)=\dfrac{\pi }{2}\).

I. Étude de \(f\)

1. Montrer que \(f\) est décroissante et est positive ou nulle.

2. Démontrer : \[\forall x\in \left[ 1,+\infty \right[ ,\ \left( x+1 \right) f(x+1)=xf(x-1)\]

   On pourra intégrer par parties \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \left[ \sin(t) \right]^{x+1}\,\mathrm{d}t\), en remarquant \(\left[ \sin(t) \right]^{x+1} =\left[ \sin(t) \right]^x\sin(t)\).

   On note \(g: \left[ 0,+\infty \right[ \to \mathbb{R}\) l’application définie par : \[\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[,\ g(x)= \left( x+1 \right)f(x+1)f(x)\]

3. 1. Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique, c’est-à-dire : \[\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\ g(x+1)=g(x)\]

   2. En déduire : \[\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\ \forall n\in \mathbb{N},\ g(x+n)=g(x)\]

   3. Montrer : \[\forall n\in \mathbb{N},\ g(n)=\dfrac{\pi }{2}\]

4. 1. Soit \(x\in \left[ 0,1 \right]\).

      1. En utilisant la question 1, montrer que : \[\forall n\in \mathbb{N},\ 0\leqslant \left( x+n+1 \right) f(n+1) \, f(n+2)\leqslant g(x+n) \leqslant \left( x+n+1 \right) f(n) \, f(n+1)\]

      2. En déduire : \[\forall n\in \mathbb{N},\ 0\leqslant \dfrac{\pi }{2} \times \dfrac{n+x+1}{n+2}\leqslant g(x)\leqslant \dfrac{\pi }{2} \times \dfrac{n+x+1}{ n+1}\]

      3. Démontrer : \(g(x)=\dfrac{\pi }{2}\).

   2. En déduire : \(\forall x\in \left[ 0,+\infty \right[ ,\ g(x)= \dfrac{\pi }{2}\).

5. 1. Établir: \[\forall x\in \left[ 1,+\infty \right[ ,\ 0\leqslant f(x)\leqslant \sqrt{\dfrac{\pi }{2x}}\]

   2. En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

II. Convergence et somme de la série de terme général

On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \[S_{n}=\sum% \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}f(k)\]

6. 1. Montrer que les suites \((S_{2p})_{p\in \mathbb{N}}\) et \(% (S_{2p+1})_{p\in \mathbb{N}}\) sont adjacentes (on pourra utiliser les questions 1 et 5).

   2. En déduire la nature de la série de terme général \((-1)^{n}f(n)\).

      On considère l’application \(\varphi : \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right] \to \mathbb{R}\) définie, pour tout \(t\) de \(\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]\), par : \[\varphi (t)=\dfrac{1}{1+\sin(t)}\]

7. 1. Montrer : \[\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\varphi (t)\,\mathrm{d}t=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\dfrac{\mathrm{d}u}{1+\cos(u)}=\int_{0}^{ \frac{\pi }{2}}\dfrac{\mathrm{d}u}{2\cos ^{2} \! \left( \dfrac{u}{2} \right)}\]

   2. Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} \varphi (t)\,\mathrm{d}t\).

8. On note, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \[\displaystyle D_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\varphi (t) \,\mathrm{d}t-S_{n}\]

   1. Montrer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \[D_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left[ \dfrac{1}{1+\sin(t)}% -\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\sin ^{k}(t) \right] \mathrm{d}t=(-1)^{n+1}\int_{0}^{\frac{% \pi }{2}}\dfrac{\sin ^{n+1}(t)}{1+\sin(t)}\,\mathrm{d}t\]

   2. En déduire : \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }D_{n}=0\).

   3. Quelle est la valeur de \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}f(n)\) ?