EML 1996Maths appliquées

Exercice 1

On considère les matrices carrées réelles d’ordre 3 suivantes : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \quad J=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

1. Calculer \(A^{2}\) et exprimer \({J}\) comme combinaison linéaire de \(I\) et \({A}^{2}\).

2. 1. Calculer les valeurs propres de \(A\) (les calculs devront figurer sur la copie) ; on trouvera trois réels \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\) que l’on rangera de sorte que \(\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}\).

   2. Pour chaque entier \(k\) de \(\{1,2,3\}\), calculer un vecteur propre \(X_{k}\) associé à la valeur propre \(\lambda_{k}\) de \(A\), tel que l’élément de la première ligne de \(X_{k}\) soit égal à 1.

   3. En déduire une matrice carrée réelle \(P\) d’ordre 3, inversible, de première ligne égale à \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\), telle qu’en notant \(D=\begin{pmatrix} \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3}\end{pmatrix}\) on ait \(A=P D P^{-1}\).

3. Soient \(a, b, c\) des réels et \(M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a+c & b \\ c & b & a\end{pmatrix}\).

   1. Exprimer \(M\) comme combinaison linéaire de \(I, A, J\), puis comme combinaison linéaire de \(I, A, A^{2}\).

   2. En déduire une matrice diagonale réelle \(\Delta\) d’ordre 3 telle que \(M=P \Delta P^{-1}\), où \(P\) est la matrice obtenue à la question 2c.

Exercice 2

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}+1}\).

1. 1. Montrer que la fonction \(f\) est paire.

      Étudier les variations de \(f\) et tracer sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

   2. Montrer qu’il existe un unique réel \(\ell\) tel que \(f(\ell)=\ell\). Justifier : \(\displaystyle 0 \leqslant \ell \leqslant \frac{1}{2}\).

   3. Montrer, pour tout réel \(x\) : \[\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{2}\]

2. On définit la suite de réels \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) par : \[u_{0}=0 \quad \text { et, pour tout entier naturel } n, \ u_{n+1}=f(u_{n})\]

   1. Montrer, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n} \in\left[0, \frac{1}{2}\right]\]

   2. Montrer, pour tout entier naturel \(n\) : \[\left|u_{n+1}- \ell \right| \leqslant \frac{1}{2}\left|u_{n}- \ell \right|, \text { puis }\left|u_{n}-\ell \right| \leqslant \frac{1}{2^{n+1}}\]

   3. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(\ell\).

   4. Proposer un programme Python renvoyant une valeur approchée décimale de \(\ell\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 3

On note \(\ln\) le logarithme népérien.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-|x|} & \text { si }-\ln (2) \leqslant x \leqslant \ln (2) \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon }\end{cases}\]

1. Étudier les variations de \(f\) et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

2. Montrer que \(f\) est une densité de probabilité.

3. Soit \({X}\) une variable aléatoire réelle admettant \({f}\) comme densité.

   1. Déterminer la fonction de répartition \({F}\) de \({X}\).

   2. Montrer que \(X\) admet une espérance et calculer l’espérance de \(X\).

   3. On pose \(Y=|X|\).

      Déterminer la fonction de répartition \({G}\) de \({Y}\).

      Montrer que \({Y}\) est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité \({g}\) de \({Y}\).

Exercice 4

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \, \mathrm{e}^{-x} \,\mathrm{d}x\).

1. 1. Montrer que, pour tout entier naturel \({n}\) : \[0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}\]

   2. En déduire que la suite \(\left({I}_{{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge et donner sa limite.

2. A l’aide d’une intégration par parties, établir, pour tout entier naturel \({n}\) : \[I_{n}=\frac{1}{\left( n+1 \right) \mathrm{e}}+\frac{I_{n+1}}{n+1}\]

3. 1. En déduire, pour tout entier naturel \({n}\) : \[0 \leqslant I_{n}-\frac{1}{\left( n+1 \right) \mathrm{e}} \leqslant \frac{1}{(n+1)(n+2)}\]

   2. Trouver un équivalent simple de \({I}_{n}\) quand \({n}\) tend vers \(+\infty\).