EML 1995 Maths 1Générale

Problème 1

Dans ce problème, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à \(3\).
On définit la matrice \(A_{n}=(a_{i,j})_{\substack{ 1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant n}}\), carrée d’ordre \(n\) à coefficients ré els, de la manière suivante :

\[\forall (i,j) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{i,j} = \begin{cases} \hfill i \hfill &\text{si } j=i+1 \\ n+1-i &\text{si } j=i-1 \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \end{cases}\]

Ainsi : \[A_{n}=% \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \\ n-1 & 0 & 2 & \ddots & & & \vdots \\ 0 & n-2 & \ddots & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & & & \ddots & \vdots \\ \vdots & & & & & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \ddots & \ddots & n-1 \\ 0 & \dots & \dots & & 0 & 1 & 0% \end{pmatrix}%\]

1. On suppose, dans cette question seulement, \(n=3\) : \(A_{3}=% \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0% \end{pmatrix}%\).

   1. Déterminer les valeurs propres de \(A_{3}\).

   2. La matrice \(A_{3}\) est-elle diagonalisable?

   3. La matrice \(A_{3}\) est-elle inversible ?

2. Dans toute la suite du problème, \(E\) désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n-1\).
   On note \(\mathcal{B}\) la base canonique de \(E\): \(\mathcal{B}=(1,X,\dots ,X^{n-1})\).
   On note \(u\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est \(A_{n}\).

   1. Calculer \(u(1)\), \(u(X^{n-1})\) et, pour tout entier \(j\) tel que \(% 1\leqslant j\leqslant n-2\), \(u(X^{j})\).

   2. Démontrer que, pour tout élément \(P\) de \(E\): \[u(P)(X)=(n-1)XP(X)-(X^{2}-1)P^{\prime }(X)\] où \(P^{\prime }\) désigne la dérivée de \(P\).

3. Dans cette question, \(\lambda\) désigne un nombre réel. On suppose que \(\lambda\) est valeur propre de l’endomorphisme \(u\), et on considère un vecteur propre \(P\) associé à cette valeur propre.

   1. On suppose: \(\lambda \not=n-1\). Montrer que \(1\) est racine de \(P\).

   2. On suppose: \(\lambda \not=1-n\). Montrer que \(-1\) est racine de \(P\).

   3. On suppose: \(\lambda =n-1\).

      • Montrer qu’il existe un polynôme \(T\) de \(E\) et un entier naturel non nul \(s\) tels que : \[P(X)=(X+1)^{s} \, T(X) \quad \text{et} \quad T(-1)\not=0\]

      • Montrer que : \(s=n-1\).

      • Montrer que \(T\) est un polynôme constant et non nul.

   4. On suppose: \(\lambda =1-n\).

      Montrer qu’il existe un réel non nul \(a\) tel que \(P(X)=a(X-1)^{n-1}\).

   5. On suppose: \(\lambda \not=1-n\) et \(\lambda \not=n-1\).

      • Montrer qu’il existe un polynôme \(T(X)\) de \(E\) et deux entiers naturels non nuls \(r\) et \(s\) tels que \(P(X)=(X-1)^{r}(X+1)^{s}T(X)\) et \(T(-1)\not=0\) et \(T(1)\not=0\).

      • Montrer que : \[\begin{cases} 1\leqslant r \leqslant n-2 \\ s = n-1-r \\ \lambda = n-1-2r \end{cases}\]

      • Montrer que \(T\) est constant et non nul.

4. 1. Pour tout entier naturel \(r\) tel que \(0\leqslant r\leqslant n-1\), calculer \(u[(X-1)^{r}(X+1)^{n-1-r}]\).

   2. La matrice \(A_{n}\) est-elle diagonalisable ?
      Démontrer que \(\mathcal{C}=\left( (X-1)^{r}(X+1)^{n-1-r}\right) _{0\leqslant r\leqslant n-1}\) est une base de \(E\).

5. La matrice \(A_{n}\) est-elle inversible ?

Problème 2

Le but du problème est l’étude de l’application \(F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(F(0)=1\) et, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{\ast }\), \[F(x)={\frac{1}{x}}\int_{0}^{x}{\dfrac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^{4}}}}\] On note \(r\) l’application de \(]-1,+\infty [\) vers \(\mathbb{R}\) dé finie par \(r(u)={\dfrac{1}{\sqrt{1+u}}}\).

1. Etude globale de \(F\) sur \(\mathbb{R}^\ast\).

   1. Montrer: \[\forall x\in \left] 0, {+\infty}\right[ ,\ 0\leqslant F(x)\leqslant 1\]

   2. En utilisant le changement de variable \(y=-t\), étudier la parité de \(F\).

   3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\left] 0, {+\infty}\right[\) et que :\[\forall x\in \left] 0, {+\infty}\right[ ,\ xF^{\prime }(x)=-F(x)+r(x^{4})\]

   4. Montrer: \[\forall x\in \left] 0, {+\infty}\right[ ,\ r(x^{4})\leqslant F(x)\] et en déduire que \(F\) est décroissante sur \(\left] 0, {+\infty}\right[\).

2. Étude locale de \(F\) en \(0\).

   1. Montrer que \(F\) est continue en \(0\).

   2. 1. Établir: \[\forall u\in \lbrack 0,+\infty \lbrack ,\ 0\leqslant {\dfrac{% 1}{\sqrt{1+u}}}- \left( 1-{\dfrac{1}{2}} \, u \right) \leqslant {\dfrac{3}{8}} \, u^{2}\]

      2. En déduire que \(F\) admet un développement limité à l’ordre \(4\) en 0, et déterminer celui-ci.

      3. Montrer que \(F\) est dérivable en \(0\), et calculer \(F^{\prime }(0)\).

   3. Établir que \(F^{\prime }\) admet un développement limité à l’ordre \(3\) en \(0\), et déterminer celui-ci.

   4. Établir que \(F\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Étude locale de \(F\) en \(+\infty\).

   1. 1. On note \(h\) l’application de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\) définie par \(\displaystyle h(x)=\int_{1}^{x}{\dfrac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^{4}}}}\).

         En utilisant le changement de variable \(z={\dfrac{1}{t}}\), former une relation entre \(h(x)\) et \(h \! \left( {\dfrac{1}{x}} \right)\), pour \(x\in \left] 0, {+\infty}\right[\) .

      2. En déduire: \(\forall x\in \left] 0, {+\infty}\right[ ,\ xF(x)+{\dfrac{1}{x}}% \, F \! \left( {\dfrac{1}{x}} \right)=2F(1)\).

   2. 1. En déduire: \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F(x)=0\).

      2. Montrer: \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }F^{\prime }(x)=0\).

4. 1. Écrire un programme Python de calcul de \(F(1)\) par la méthode des rectangles avec 1000 pas.
      On admettra que \(F(1)\) admet \(0,93\) comme valeur approchée à \(10^{-2}\) pr ès.

   2. Tracer la courbe représentative de \(F\) (on n’étudiera ni la concavité, ni les points d’inflexion).