EML 1994 Maths 1Générale

Problème 1

\(\mathbb{R}[X]\) désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.

On note \(E\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[X]\) formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

On note \(\mathcal{B}\) la base canonique de \(E\): \(\mathcal{B}=\left(1, X, X^{2}, X^{3}\right)\).

On définit les polynômes suivants : \begin{align*} & P_{0}(X)=-\frac{1}{6} \left(X-1 \right)(X-2)(X-3) \\ & P_{1}(X)=\frac{1}{2} \, X\left(X-2 \right)(X-3) \\ & P_{2}(X)=-\frac{1}{2} \, X\left(X-1 \right)(X-3) \\ & P_{3}(X)=\frac{1}{6} \, X\left(X-1 \right)(X-2) \end{align*}

1. 1. Pour tous entiers \(i\) et \(j\) entre 0 et 3, calculer \(P_{i}(j)\).

   2. Démontrer que la famille \(\mathcal{C}=\left(P_{0}(X), P_{1}(X), P_{2}(X), P_{3}(X)\right)\) est une base de \(E\).

   3. Donner la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{C}\). On note \(M\) cette matrice.

   4. Déterminer la matrice \({M}^{-1}\).

2. On définit le polynôme : \[P(X)=X \left(X-1 \right)(X-2)(X-3)\]

   On note \(\varphi\) l’application de \(\mathbb{R}[X]\) dans lui-même qui, à tout polynôme \(T\), associe le reste \(\widehat{T}\) de la division suivant les puissances décroissantes de \(T\) par \(P\).

   1. Démontrer que \(\varphi\) est linéaire.

   2. Démontrer que, pour tout polynôme \(T\) : \[\widehat{T} =T(0) P_{0} +T(1) P_{1}+T(2) P_{2} +T(3) P_{3}\]

3. Soit \(S\) un polynôme de \(\mathbb{R}[X]\).

   On désigne par \(\Psi\) l’application qui, à tout polynôme \(Q\) de \(E\), associe \(\widehat{Q S}\).

   1. Démontrer que \(\psi\) est un endomorphisme de \(E\).

   2. Calculer \(\psi(P_{0} ), \psi(P_{1} ), \psi(P_{2}), \psi(P_{3})\).

      Est-ce que \(\psi\) est diagonalisable?

   3. On se place ici dans le cas particulier : \(S(X)=2 X^{3}+X^{2}-3 X+1\).

      Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(\psi\).

Problème 2

Première partie

1. On note : \[f_{0}: \begin{array}{| ccl} [0 ,+\infty[ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \mathrm{e}^{-x^{2}} \end{array}\]

   et, pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n\geqslant 1\) : \[f_{n}:\begin{array}{| ccl} [0 ,+\infty[ & \rightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & x^{n} \,\mathrm{e}^{-x^{2}} \end{array}\]

   1. Étudier, pour tout entier naturel \(n\), la continuité et la dérivabilité de \(f_{n}\).

   2. Dresser le tableau des variations de \(f_{0}\), et celui de \(f_{n}\) pour tout entier naturel non nul \(n\).

   3. Pour tout \(x\) de \(\left[0 ,+\infty\right[\) et tout entier naturel \(n\), comparer \(f_{n}(x)\) et \(f_{n+1}(x)\) (on distinguera les cas \(0 \leqslant x \leqslant 1\) et \(x>1\)).

2. Les résultats de cette question 2 ne seront pas utilisés dans la suite du problème.

   1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) tel que \(n \geqslant 2\), l’équation \(f_{n}(x)=1-x\), d’inconnue \(x \in[0 , 1]\), admet une solution et une seule, qu’on notera \(x_{n}\).

   2. Démontrer que la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) converge vers 1.

3. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\), l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) \,\mathrm{d}x\) converge. On note, pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) \,\mathrm{d}x\).

   2. Établir : \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, \ I_{n+2}=\frac{n+1}{2} \, I_{n}\).

   3. En déduire la valeur de \(I_{n}\) pour tout entier naturel \(n\) (on distinguera deux cas suivant la parité de \(n\) et on donnera le résultat à l’aide de factorielles ; on rappelle : \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)).

4. Démontrer, pour tout entier naturel \(n\) et tout réel \(a\), la convergence des intégrales généralisées : \[\int_{0}^{+\infty} x^{n} \,\mathrm{e}^{-x^{2}} \cos (a x) \,\mathrm{d}x, \quad \int_{0}^{+\infty} x^{n} \,\mathrm{e}^{-x^{2}} \sin (a x) \,\mathrm{d}x\]

Deuxième partie

On note \(F\) et \(G\) les applications de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies, pour tout réel a, par :

\[F(a)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos (a x) \,\mathrm{d}x, \quad G(a)=\int_{0}^{+\infty} x \,\mathrm{e}^{-x^{2}} \sin (a x) \,\mathrm{d}x\]

(ces intégrales généralisées convergent d’après la question 4 de la première partie).

5. Démontrer : \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}, \ G(a)=\frac{1}{2} \, a F(a)\).

6. 1. Soient \(a \in \mathbb{R}\), \(h \in \mathbb{R}\), \(x \in[0,+\infty[\).

      Montrer :

      • \(\displaystyle \cos ((a+h) x)=\cos (a x)-h x \sin (a x)-x^{2} \int_{a}^{a+h}(a+h-u) \cos (x u) \,\mathrm{d}u\)

      • \(\displaystyle \left|\int_{a}^{a+h}(a+h-u) \cos (x u) \,\mathrm{d}u\right| \leqslant \frac{h^{2}}{2}\).

   2. En déduire, pour tout nombre réel \(a\) et tout nombre réel non nul \(h\) : \[\left|\frac{F(a+h)-F(a)}{h}+G(a)\right| \leqslant \frac{|h|}{2} \int_{0}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2}} \,\mathrm{d}x\]

   3. Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que : \[\forall a \in \mathbb{R}, \ F^{\prime}(a)=-G(a)\]

7. Calculer, en fonction du réel \(a\), \(F (a)\) et \(G(a)\) (On pourra considérer l’application \(H\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(H(a)= \mathrm{e}^{\frac{a^{2}}{4}} F(a)\)).