EML 1994 Maths 1Maths appliquées

Exercice 1

On considère la matrice carrée d’ordre 3 réelle : \[A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & -1 \cr 2& 2 & -1 \cr 2 & -1 & 2 \cr \end{pmatrix}\]

1. 1. Établir que \(A\) admet une valeur propre et un seule, \(\lambda\), que l’on calculera.

   2. \(A\) est-elle inversible ?

   3. \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. On note \(B = A - 3I\), où \(I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr 0& 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\).

   1. Calculer \(B^2\).

   2. En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’expression de \(A^n\) en fonction de \(n\).

Exercice 2

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 , +\infty[\) par : \[\forall x \in\left[ 0 , {+\infty}\right[ ,\ f(x) = x \ln(1+x)\]

On considère la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_0 \in \left] 0,+\infty \right[\) et, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(u_{n+1} = f(u_n).\)

1. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0 , +\infty[\) et calculer, pour tout \(x\) de \([0 , +\infty[\), \(f'(x)\) et \(f''(x)\).

   2. Étudier les variations de \(f'\), puis celles de \(f\).

   3. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.

2. Résoudre l’équation \(f(x) = x\), d’inconnue \(x \in [0 , +\infty[.\)

3. On suppose dans cette question : \(u_0 \in \left] \mathrm{e}-1 , +\infty \right[.\)

   1. Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\) : \(\mathrm{e}- 1 < u_n \leqslant u_{n+1}\).

   2. En déduire que \(u_n\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

4. On suppose, dans cette question : \(u_0 \in \left] 0 ,{\mathrm{e}- 1} \right[.\) Étudier la convergence de \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

Exercice 3

Dans cet exercice, \(n\) et \(p\) désignent deux entiers naturels tels que : \(1\leqslant p \leqslant \dfrac{n}{3}\).

Dans une loterie, \(n\) billets sont numérotés de \(1\) à \(n\). Parmi ces numéros, exactement \(p\) sont gagnants, connus du seul vendeur. Dans la première phase du jeu, un joueur choisit successivement et au hasard \(p\) numéros distincts. Le vendeur dévoile alors \(p\) numéros perdants parmi les \(n-p\) numéros qui n’ont pas été choisis. Le joueur a alors le choix entre deux stratégies :

• stratégie A : il garde les \(p\) numéros qu’il a choisis initialement,

• stratégie B : il échange les \(p\) numéros qu’il a tirés contre \(p\) nouveaux numéros, choisis au hasard, successivement, parmi les \(n-2p\) numéros qui n’ont été ni tirés, ni dévoilés pendant la première phase du jeu.

Le but de cet exercice est de déterminer laquelle des deux stratégies permet d’espérer obtenir le plus de numéros gagnants.

1. On suppose, dans cette question uniquement, que : \(n=3\) et \(p=1\). Quelle stratégie est la stratégie optimale du joueur ?

2. On revient au cas général. Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(X_i\) la variable aléatoire égale à \(1\) si le \(i^{\grave{e}me}\) numéro tiré dans la première phase est gagnant, à \(0\) sinon.

   On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants parmi les \(p\) numéros tirés dans la première phase.

   1. Exprimer \(X\) en fonction de \(X_1,\dots,X_p\).

   2. • Prouver que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X_i=1)= \frac{p}{n}.\]

      • En déduire que l’espérance de \(X\).

   3. Déterminer la loi de \(X\). En déduire les égalités : \[\sum_{k=0}^p \binom pk \binom{n-p}{n-k}= \binom np \tag{1}\]

      et : \[\sum_{k=0}^p k \binom pk \binom{n-p}{n-k}= \frac{p^2}{n} \binom np. \tag{2}\]

   4. Déterminer l’espérance de \(X\).

3. Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que le joueur utilise la stratégie B. Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(Z_i\) la variable aléatoire prenant la valeur \(1\) si le \(i^{\grave{e}me}\) numéro tiré pendant la deuxième phase est gagnant, et prenant la valeur \(0\) sinon. On note \(Z\) la variable aléatoire égale au nombre de numéros gagnants parmi les \(p\) choisis durant la deuxième phase du jeu.

   1. Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,p} \right]\kern-0.15em\right]\) et \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\). Calculer la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[X=k]}(Z_i=1)\).

   2. Soit \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\). Démontrer que : \[\mathbb{P}(Z_i=1)= \frac{1}{(n-2p) \binom np} \sum_{k=0}^p \left( p-k \right) \binom pk \binom{n-p}{n-k}.\]

   3. En utilisant les égalités (1) et (2), vérifier que : \[\mathbb{E}(Z)= \frac{p^2 \left( n-p \right)}{n \left( n-2p \right)}.\]

4. Des stratégies A et B, laquelle conseillez-vous ?

Exercice 4

On définit la fonction \[f : \begin{array}{|ccl} [2 , {+\infty}[ & \to & {\mathbb{R}} \\ x & \mapsto & \displaystyle \frac 1 {\sqrt {x^2 - 1}} \\ \end{array}\]

1. Démontrer que, pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à 2 : \[\frac 1 x \leqslant f(x) \leqslant \frac 1 {\sqrt {x-1}}\]

2. Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, on définit l’intégrale : \[I_n = \int_{2}^n {f(x)}\,{\rm d}x\]

   1. Démontrer que : \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} I_n = +\infty\).

   2. On définit la fonction \[F : \begin{array}{|ccl} [2 ,{+\infty}[ & \to & {\mathbb{R}} \\ x & \mapsto & {\ln (x + \sqrt {x^2 - 1})}\\ \end{array}\] Calculer la dérivée de \(F\), et en déduire une expression de \(I_n\) en fonction de \(n\).

   3. Déterminer la limite de \(I_n - \ln (n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

3. On définit, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2 : \[S_n = \sum_{k= 2}^ n \frac 1 {\sqrt {k^2 - 1}} .\]

   1. Montrer que : \(\displaystyle I_{n+1} \leqslant S_n \leqslant I_n + \frac 1 {\sqrt 3} .\)

   2. Trouver un équivalent simple de \(S_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).