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On considère, pour tout réel \(a\), la matrice \(A(a)\) de \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\) suivante : \[A(a)= \begin{pmatrix} 1 & -1 & a^{2} \\ 0 & 0 & a^{2} \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs propres de \(A(a)\), pour \(a \in \mathbb{R}\).
Étudier, suivant les valeurs du réel \(a\), l’inversibilité de \(A(a)\) dans \(\mathcal M_{3}(\mathbb{R})\).
On suppose, dans cette question 3 seulement \(: a \neq 0\) et \(a \neq 1\) et \(a \neq-1\).
Montrer que \({A}(a)\) est diagonalisable.
Calculer, pour chacune des valeurs propres de \(A(a)\), un vecteur propre de \(A(a)\) associé à cette valeur propre.
La matrice \(A(0)\) est-elle diagonalisable ?
Calculer \((A(0))^{2},(A(0))^{3}\), et \((A(0))^{n}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \(f(x)=2 \sqrt{x} \,\mathrm{e}^{-x}\).
Dresser le tableau des variations de \(f\).
La fonction \(f\) est-elle dérivable en 0 ?
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé ; cette courbe admet un point d’inflexion que l’on précisera.
Montrer que l’image par \(f\) du segment \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) est le segment \(\left[0, \sqrt{\frac{2}{\mathrm{e}}}\right]\).
On note \(\varphi\) la restriction de \(f\) à \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\). Démontrer que \(\varphi\) admet une fonction réciproque continue que l’on notera \(g\).
Dresser le tableau des variations de \(g\).
Démontrer que \(g\) est dérivable en tout point de l’intervalle \(\left] 0, \sqrt{\frac{2}{\mathrm{e}}} \right[\)
La fonction \(g\) est-elle dérivable en \(0\) ? En \(\sqrt{\frac{2}{\mathrm{e}}}\) ?
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Démontrer que l’équation \(\varphi(x)=\frac{1}{n}\) admet une unique solution dans le segment \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\). On notera \(a_n\) cette solution.
Montrer que la suite \(\left(a_n\right)_{n \geqslant 2}\) est décroissante.
Montrer que la suite \(\left(a_n\right)_{n \geqslant 2}\) converge vers \(0\).
On suppose que le nombre \(N\) de colis expédiés à l’étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de Poisson de paramètre 5. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.
La probabilité pour qu’un colis expédié à l’étranger soit détérioré est égale à 0,1.
On s’intéresse aux colis expédiés à l’étranger un jour donné :
\(N\) est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés ;
\(X\) est la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés ;
\(Y\) est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état.
On a donc \(: X+Y=N\).
Soit \(n\) un entier naturel ; calculer, pour tout entier naturel \(k\), la probabilité conditionnelle suivante : \[\mathbb{P}_{[ N=n ]}(X=k)\]
Donner la loi du couple \((X, N)\), puis montrer que \(X\) suit une loi de Poisson de paramètre 0,5.
Déterminer la loi de \(Y\).
Si \(i\) et \(j\) sont deux entiers naturels, calculer la probabilité : \(\mathbb{P}( [ X=i ] \cap [ Y=j ])\).
\(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
\(\ln\) désigne le logarithme népérien et e désigne la base des logarithmes népériens.
On pose, pour tout entier naturel non nul \(n\), \[I_{n}=\int_{1}^{\mathrm{e}}(\ln( x) )^{n} \,\mathrm{d}x\quad \text{et} \quad I_{0}= \mathrm{e}-1\]
Établir, pour tout entier naturel \(n: I_{n+1}= \mathrm{e}-(n+1) I_{n}\).
Montrer, pour tout entier naturel \(n\) : \(I_{n} \geqslant 0\).
Déduire des questions a et b que, pour tout entier naturel \(n\) : \[0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{\mathrm{e}}{n+1}\]
Quelle est la limite de la suite \(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ?
Montrer: \(\displaystyle I_{n} \sim \frac{\mathrm{e}}{n}\).
Soit \(a\) un réel différent de \(I_{0}\); on note \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{I N}}\) la suite réelle définie par: \[\begin{cases} u_{0}=a \\ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1}= \mathrm{e}-(n+1) u_{n} \end{cases}\] Montrer : \(\left|u_{n}\right| \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty\).
(On pourra considérer la suite \(\left(D_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de terme général \(D_{n}=\left|u_{n}-I_{n}\right|\)).
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