Connectez-vous pour consulter le corrigé.
On suppose, et c’est valable pour toute l’épreuve, que les librairies
numpy et numpy.random de Python
sont importées avec les commandes respectives
import numpy as np, et
import numpy.random as rd
On considère deux variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) indépendantes, telles que \(X_1(\Omega)=X_2(\Omega)= \left]0,1 \right]\) et suivant toutes les deux la loi uniforme sur \([0,1]\). On pose \(Y_1=\ln(X_1)\), \(Y_2=\ln(X_2)\), \(Z=X_1X_2\) et on admet que \(Y_1\), \(Y_2\) et \(Z\) sont des variables aléatoires à densité définies sur le même espace probabilisé que \(X_1\) et \(X_2\).
Écrire en Python une fonction simulZ
permettant de simuler \(Z\).
Justifier l’existence de l’espérance et de la variance de \(Z\) puis les déterminer.
On note \(F\) la fonction de répartition commune à \(Y_1\) et \(Y_2\).
Déterminer \(F(x)\) pour tout réel \(x\).
En déduire une densité \(f\) commune à \(Y_1\) et \(Y_2\).
Vérifier que la fonction \(h\), définie par \[h(x)= \begin{cases} -x \, \mathrm{e}^x & \text{si } x\leqslant 0 \\ 0 & \text{si } x>0 \end{cases}\] est une densité de \(Y_1+Y_2\).
En déduire la fonction de répartition \(H\) de \(Y_1+Y_2\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_Z\) de \(Z\) puis vérifier qu’une densité \(f_Z\) de \(Z\) est donnée par : \[f_Z(x)= \begin{cases} -\ln(x) & \text{si } 0<x\leqslant 1,\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]
Pour tout entier naturel \(n\), montrer que l’intégrale \[\int_0^1 x^n\ln(x)\,\mathrm{d}x\] converge et donner sa valeur.
Retrouver alors les valeurs de \(\mathbb{E}(Z)\) et \(\mathbb{V}(Z)\) déterminées à la question 2).
Dans cet exercice, on pourra utiliser sans démonstration les formules \[\cos(2a)=2\cos^2(a)-1 \quad\text{et}\quad \sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)\] On rappelle le développement limité à l’ordre 5 de la fonction sinus au voisinage de 0 donné par : \[\sin(x)\underset{x\to 0}{=}x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)\]
Montrer que l’on définit parfaitement deux suites \((u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) en posant \(u_1=0\), \(v_1=2\) et, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}} \quad\text{et}\quad v_{n+1}=\frac{v_n}{u_{n+1}}\]
Compléter la fonction Python suivante afin qu’elle
renvoie \(v_n\).
Montrer qu’il existe une unique suite \((\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) dont les éléments appartiennent à \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) et telle que : \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\ u_n=\cos(\alpha_n)\]
Expliciter \(\alpha_n\) en fonction de \(n\), pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\).
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on a \[v_n=2^n\sin \!\left(\frac{\pi}{2^n}\right)\] puis donner la valeur de \(\lim\limits_{n\to +\infty} v_n\).
Déterminer les constantes réelles \(a\), \(b\) et \(c\) telles que : \[v_n\underset{n\to +\infty}{=}a+\frac{b}{4^n}+\frac{c}{4^{2n}}+o \! \left(\frac{1}{4^{2n}}\right)\]
Accélération de convergence par la méthode de Richardson.
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \[w_n=\frac{4v_{n+1}-v_n}{3}\]
Écrire en Python une fonction suite_w
utilisant la fonction suite_v et qui renvoie \(w_n\).
Donner la limite de \(w_n\).
Montrer que \[w_n\underset{n\to +\infty}{=}\pi-\frac{\pi^5}{480\times 4^{2n}}+o\left(\frac{1}{4^{2n}}\right)\] puis déterminer un équivalent de \(\displaystyle \frac{\pi-w_n}{\pi-v_n}\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
Dans le cadre de la recherche d’une valeur approchée de \(\pi\), quel intérêt y a-t-il à utiliser la suite \((w_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) plutôt que la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) ?
Généralisation de la méthode de Richardson.
Étant donnés deux réels \(q\) et \(r\) de \(]0,1[\) tels que \(q>r\), on considère une suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) vérifiant : \[\exists (a,b,c)\in\mathbb{R}^3,\ x_n\underset{n\to +\infty}{=}a+bq^n+cr^n+o(r^n)\]
Définir une suite \((y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) dont le terme général est combinaison linéaire de \(x_n\) et \(x_{n+1}\), qui vérifie \[y_n\underset{n\to +\infty}{=}a+dr^n+o(r^n)\] où \(d\) est une constante à déterminer en fonction de \(c\), \(q\) et \(r\).
Montrer que \[x_n\underset{n\to +\infty}{=}a+bq^n+o(q^n)\]
En déduire que la suite \((y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge vers \(a\) plus rapidement que la suite \((x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\).
On suppose que toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur un certain espace probabilisé \((\Omega,\mathcal A,\mathbb P)\).
Un mobile se déplace aléatoirement sur un axe dont l’origine est le point \(O\) d’abscisse \(0\).
Au départ (instant \(0\)), le mobile est situé sur le point \(O\).
Le mobile se déplace selon la règle suivante : à chaque instant \(k\) (\(k\in\mathbb{N}^*\)), il se place de façon équiprobable sur l’un des points d’abscisses \(0,1,\ldots,k\).
Pour tout entier naturel \(k\), on note \(X_k\) la variable aléatoire égale à l’abscisse de ce point à l’instant \(k\) (on a donc \(X_0=0\)).
On admet que \((X_k)_{k\in\mathbb{N}}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
Déterminer, pour tout entier naturel \(k\) non nul, la loi de \(X_k\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, \(X_k\) possède une espérance et une variance, puis calculer \(\mathbb{E}(X_k)\) et \(\mathbb{V}(X_k)\).
On note \(Y\) la variable aléatoire égale au rang du premier retour à l’origine du mobile (sans prendre en compte son positionnement au départ) et on pose \(Y=0\) s’il n’y a aucun retour à l’origine.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer l’événement \((Y=n)\) à l’aide des variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\), ..., \(X_n\).
En déduire que l’on a : \[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \mathbb P(Y=n)=\frac{1}{n(n+1)}\]
Déterminer par le calcul la valeur de \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb P(Y=n)\). En déduire \(\mathbb P(Y=0)\).
La variable \(Y\) admet-elle une espérance ?
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(1\) et on considère une variable aléatoire \(U_n\) telle que \(U_n(\Omega)=\left[\!\left[0,n-1\right]\!\right]\) et qui suit la loi uniforme sur \(\left[\!\left[0,n-1\right]\!\right]\).
Pour tout \(k\in\left[\!\left[0,n-1\right]\!\right]\), on considère également une variable aléatoire \(Z_n\) dont la loi, conditionnellement à l’événement \((U_n=k)\), est la loi géométrique de paramètre \(1-\dfrac{k}{n}\).
Simulation informatique de \(Z_n\).
Compléter la fonction suivante afin qu’elle simule \(U_n\) et \(Z_n\) et renvoie la valeur prise par \(Z_n\).
Montrer que, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^*\), on a l’égalité : \[\mathbb P(Z_n=i)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{n}\right)^{i-1} - \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{n}\right)^{i}\]
En déduire la valeur de \(\lim\limits_{n\to +\infty}\mathbb P(Z_n=i)\).
Conclure quant à la convergence en loi de la suite \((Z_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\).
Espérance de \(Z_n\).
Justifier que l’on peut utiliser la formule de l’espérance totale puis établir que l’espérance de \(Z_n\) est donnée par : \[\mathbb{E}(Z_n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\]
Équivalent de \(\mathbb{E}(Z_n)\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
Montrer que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^*\), on a : \[\frac{1}{k+1}\leqslant \ln(k+1)-\ln(k)\leqslant \frac{1}{k}\]
Établir, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), l’encadrement : \[\ln(n+1)\leqslant \mathbb{E}(Z_n)\leqslant 1+\ln(n)\]
En déduire un équivalent de \(\mathbb{E}(Z_n)\).
On désigne par \(n\) un entier naturel non nul et on note \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\).
On note \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) constitué des matrices symétriques et on dit qu’une matrice \(M\) de \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\) est positive lorsque l’on a : \[\forall X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R}),\ {}^t\!XMX\geqslant 0\] On note \(\mathcal S_n^+(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices symétriques positives.
On désigne par \(A\) une matrice de \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\) et on se propose de montrer que \(A\) est élément de \(\mathcal S_n^+(\mathbb{R})\) si, et seulement si, ses valeurs propres sont positives.
On suppose que \(A\) est positive et on considère une valeur propre \(\lambda\) de \(A\).
Montrer qu’il existe un vecteur \(X\) non nul de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})\) tel que \[\lambda=\frac{{}^t\!XAX}{{}^t\!XX}\]
En déduire que \(\lambda\geqslant 0\).
Justifier l’existence d’une matrice orthogonale \(P\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et d’une matrice diagonale \(D\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) telles que \[A=PD \, {}^t\!P\] On pose \[D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}\] et on suppose que les réels \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) sont tous positifs, non nécessairement distincts.
Pour tout vecteur \(X\) de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})\), on pose \(Y={}^t\!PX\). Montrer que \[{}^t\!XAX={}^t\!\, YDY\]
En déduire que : \[\forall X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R}),\ {}^t\!XAX\geqslant 0\]
Conclure quant à l’objectif annoncé.
Dans cette partie, \(A\) désigne une matrice de \(\mathcal S_n^+(\mathbb{R})\) telle que \(A=PD \, {}^t\!P\), les matrices \(P\) et \(D\) étant celles présentées dans la partie 1.
Justifier que la matrice \[\Delta=\begin{pmatrix} \sqrt{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \sqrt{\lambda_2} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix}\] élément de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\), est correctement définie.
Vérifier que la matrice \(B=P\Delta \, {}^t\!P\) est élément de \(\mathcal S_n^+(\mathbb{R})\) et vérifie \(B^2=A\).
On note \(\mu_1,\ldots,\mu_p\) les valeurs propres distinctes de \(A\) (avec \(1\leqslant p\leqslant n\)) ce qui fait que \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) sont éléments de \(\{\mu_1,\ldots,\mu_p\}\).
Pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1,p\right]\!\right]\), on pose : \[\forall x\in\mathbb{R},\ L_i(x)=\prod_{\substack{k=1\\k\neq i}}^p\frac{x-\mu_k}{\mu_i-\mu_k}\] Pour tout \((i,j)\in\left[\!\left[1,p\right]\!\right]^2\), justifier que l’on a : \[L_i(\mu_i)=1 \quad\text{et}\quad L_i(\mu_j)=0\quad\text{si }i\neq j\]
On note \(S\) le polynôme défini par \[S=\sum_{i=1}^p\sqrt{\mu_i}\,L_i\]
Montrer que \(S(\mu_k)=\sqrt{\mu_k}\) pour tout \(k\) de \(\left[\!\left[1,p\right]\!\right]\) et en déduire \(S(\lambda_i)\), pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\).
Établir, pour tout entier naturel \(k\), la relation \[A^k=PD^k \, {}^t\!P\]
En déduire que \[S(A)=PS(D) \, {}^t\!P\] puis établir finalement que \(B=S(A)\).
Dans cette partie, \(A\) désigne toujours une matrice de \(\mathcal S_n^+(\mathbb{R})\).
On se propose de montrer que la matrice \(B\) trouvée dans la partie précédente est la seule matrice symétrique positive à vérifier \(B^2=A\). Pour ce faire, on raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe une autre matrice \(C\) de \(\mathcal S_n^+(\mathbb{R})\) telle que \(C^2=A\).
Montrer que \(C\) et \(A\) commutent (c’est-à-dire que \(AC=CA\)).
En déduire que, pour tout entier naturel \(k\), on a \(A^kC=CA^k\) puis utiliser la question 6c) pour en déduire que \(B\) et \(C\) commutent.
On munit \(\mathbb{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique pour laquelle on note \(\langle u,v\rangle\) le produit scalaire des vecteurs \(u\) et \(v\) de \(\mathbb{R}^n\).
On note \(\operatorname{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^n\), \(b\) l’endomorphisme symétrique de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(B\) et \(c\) l’endomorphisme symétrique de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(C\).
On note toujours \(\mu_1,\ldots,\mu_p\) (\(p\leqslant n\)) les valeurs propres distinctes de \(A\), et pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1,p\right]\!\right]\), on pose \[E_i=\mathrm{Ker}(b-\sqrt{\mu_i}\,\operatorname{Id})\]
Justifier rapidement que \(b\circ c=c\circ b\).
Montrer que \(E_i\) est stable par \(c\) (c’est-à-dire que, si \(x\in E_i\), alors \(c(x)\in E_i\)).
On note alors \(c_i\) l’endomorphisme induit par \(c\) sur \(E_i\), défini par : \[c_i: \begin{array}[t]{ccc} E_i & \longrightarrow & E_i\\ x & \longmapsto & c_i(x)=c(x) \end{array}\] Justifier que \(c_i\) est symétrique.
En déduire qu’il existe une base orthonormale \(\mathcal B_i\) de \(E_i\) formée de vecteurs propres, à la fois de \(c_i\) et de \(b\).
Expliquer comment construire une base \(\mathcal B\) de \(\mathbb{R}^n\) dans laquelle les matrices de \(b\) et \(c\) sont diagonales.
Montrer alors que \(C=B\).
Grâce à l’unicité, on note maintenant \(B=A^{1/2}\) et \(B\) est appelée la « racine carrée » de \(A\).
On dit qu’une matrice \(M\) de \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\) est définie positive lorsque l’on a : \[\forall X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus\{0_{\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})}\},\ {}^t\!XMX>0\]
En s’inspirant des questions 1) et 2), mais sans refaire les calculs déjà faits, montrer qu’une matrice \(A\) de \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\) est définie positive si, et seulement si, ses valeurs propres sont strictement positives.
Soit \(M\) une matrice de \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\). On note \(\mathrm{Sp}(M)\) l’ensemble des valeurs propres de \(M\).
On pose \(N=M-I_n\).
Montrer que \(N\) est symétrique.
On suppose dans la suite de cette question que \(N\) est positive.
Montrer que \(\mathrm{Sp}(M)\subset [1,+\infty[\) et en déduire que \(M\) est inversible.
Établir que \(I_n-M^{-1}\) est positive.
Soit \(S_1\) et \(S_2\) deux matrices de \(\mathcal S_n(\mathbb{R})\), avec \(S_1\) définie positive.
On admet sans démonstration que \(S_2-S_1\) est symétrique et on suppose que \(S_2-S_1\) est positive.
Montrer que \(S_2\) est définie positive.
Justifier que \(S_1^{1/2}\) est inversible puis développer et simplifier le produit \(S_1^{-1/2} \left( S_2-S_1 \right) S_1^{-1/2}\) où \(S_1^{-1/2}\) désigne l’inverse de \(S_1^{1/2}\).
On pose \(L=S_1^{-1/2}S_2S_1^{-1/2}\).
Vérifier que \(L\) est symétrique et que \(L-I_n\) est symétrique, puis montrer, en considérant, pour tout \(X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})\), le réel \({}^t\!X \left( L-I_n \right) X\) que \(L-I_n\) est positive.
Justifier que \(L\) est inversible et que \(I_n-L^{-1}\) est positive.
Établir finalement que \(S_1^{-1/2} \left( I_n-L^{-1} \right) S_1^{-1/2}\) est positive et conclure que \(S_1^{-1}-S_2^{-1}\) est positive.
FIN
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Sujet dense et assez sélectif, typique d’une épreuve de maths approfondies, combinant probabilités continues, développements asymptotiques et algèbre linéaire spectrale.
Le premier exercice proposait une étude classique mais technique du produit de deux variables uniformes.
La transformation logarithmique permettait d’obtenir la densité par convolution, puis de retrouver les moments via une intégrale paramétrée.
Une bonne maîtrise des changements de variables et des fonctions de répartition était essentielle.
L’exercice 2 constituait un exercice très formateur autour d’une suite trigonométrique convergeant vers π.
Après identification explicite de la suite, l’étude asymptotique et l’accélération de convergence par la méthode de Richardson demandaient une réelle aisance avec les développements limités.
L’exercice 3 alternait deux volets probabilistes intéressants : un modèle discret de retour à l’origine, puis l’étude d’une variable géométrique conditionnelle dépendant d’un paramètre uniforme.
La fin reposait sur l’encadrement classique de la série harmonique par des intégrales logarithmiques.
Le problème final était la partie la plus exigeante du sujet.
Il développait une étude complète des matrices symétriques positives : caractérisation par les valeurs propres, existence et unicité de la racine carrée matricielle, construction par interpolation polynomiale, puis propriétés d’ordre matriciel.
Même sans aller jusqu’au bout, de nombreuses questions intermédiaires permettaient de valoriser une bonne maîtrise de l’algèbre linéaire du programme.
Dans l’ensemble, une épreuve structurée et progressive, mais exigeante sur la rigueur spectrale et les techniques asymptotiques, qui distinguait nettement les candidats les plus solides en algèbre linéaire.