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On suppose, et c’est valable pour toute l’épreuve, que les librairies
numpy, matplotlib.pyplot et
numpy.random de Python sont importées avec les
commandes respectives import numpy as np,
import matplotlib.pyplot as plt et
import numpy.random as rd.
On considère un nombre réel \(a\) strictement supérieur à \(1\), ainsi que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par la donnée de \(u_0=a\) et par la relation de récurrence, valable pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1}=u_n^2-u_n+1\]
Compléter la fonction Python suivante afin qu’elle
retourne la valeur de \(u_n\) pour des
valeurs données de \(n\) et de \(a\) :
Montrer que si l’on suppose que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) converge, alors sa limite est \(\ell=1\).
Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est croissante.
En déduire que : \(\forall n\in\mathbb N,\ u_n\geqslant a\).
Conclure que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) est divergente et que \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty\).
À l’aide de la définition de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) et de la question précédente, préciser laquelle des quatre propositions suivantes est vraie et justifier l’équivalent choisi : \[\text{\ding{182}}\qquad u_{n+1}\underset{n\to +\infty}{\sim}u_n \quad \text{\ding{183}}\qquad u_{n+1}\underset{n\to +\infty}{\sim}u_n^2 ,\quad \text{\ding{184}}\qquad u_{n+1}\underset{n\to +\infty}{\sim}\frac{1}{u_n^2} \quad \text{\ding{185}}\qquad u_{n+1}\underset{n\to +\infty}{\sim}\frac{1}{u_n}\]
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1}\) existe et montrer que : \[\forall n\in\mathbb N,\ \frac{1}{u_n}=\frac{1}{u_n-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1}\]
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac1{u_k}\) en fonction de \(a\) et \(u_{n+1}\).
Conclure que la série de terme général \(\dfrac1{u_n}\) converge et donner sa somme en fonction de \(a\).
Dans toute la suite, on suppose que \(a=2\).
Montrer que l’on définit bien la loi d’une variable aléatoire \(X\) telle que \(X(\Omega)=\mathbb N\) en posant : \[\forall n\in\mathbb N,\ \mathbb P(X=n)=\frac1{u_n}\]
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on a \(2^n \left( 2^{n}-1 \right) +1\geqslant 2^{n+1}\).
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on a l’inégalité \(u_n\geqslant 2^n\), puis vérifier que cette dernière inégalité reste valable pour \(n=0\) et \(n=1\).
Établir que \(X\) possède une espérance et une variance que l’on ne cherchera pas à calculer.
On se propose de trouver, de deux façons différentes, les fonctions \(f\) et \(g\), définies et dérivables sur \(\mathbb R\), telles que \(f(0)=1\), \(g(0)=1\), et qui sont solutions du système différentiel : \[(S):\ \forall x\in\mathbb R, \begin{cases} f'(x)=f(x)- 2g(x)\\ g'(x)=2f(x)+5g(x) \end{cases}\]
Justifier que ce problème possède un seul couple \((f,g)\) solution.
Montrer que \(f\) et \(g\) sont deux fois dérivables sur \(\mathbb R\).
Dans la suite, \((f,g)\) désigne le couple solution de \((S)\).
Première méthode utilisant \(f''\).
Montrer que \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E):\ y''-6y'+9y=0\).
Donner la valeur de \(f'(0)\).
Déterminer l’expression de \(f(x)\) pour tout réel \(x\).
En déduire l’expression de \(g(x)\) pour tout réel \(x\).
Dans les questions 3) et 4), on propose une deuxième méthode utilisant une fonction auxiliaire.
On pose \(h=f+g\).
Montrer que \((S) \Leftrightarrow \forall x\in\mathbb R, \begin{cases} f'(x)= f(x)- 2g(x)\\ h'(x)=3 \, h(x) \end{cases}\).
Donner la valeur de \(h(0)\) puis résoudre l’équation différentielle \(h'=3h\) et déterminer \(h(x)\) pour tout réel \(x\).
En déduire que \((S) \Leftrightarrow \forall x\in\mathbb R, \ \begin{cases} f'(x)=3f(x)-4 \, \mathrm{e}^{3x} \\ (f+g)(x) =2 \, \mathrm{e}^{3x} \end{cases}\).
On note \((ED)\) l’équation différentielle : \(\forall x\in\mathbb R, \ y'=3y-4 \, \mathrm{e}^{3x}\).
Déterminer le réel \(a\) tel que la fonction \(f_a\), définie sur \(\mathbb R\) par \(f_a(x)=ax \, \mathrm{e}^{3x}\), soit une solution particulière de \((ED)\).
En déduire \(f(x)\) pour tout réel \(x\).
Donner finalement les fonctions \(f\) et \(g\) cherchées.
Écrire des fonctions Python d’en-têtes
def f(x) et def g(x) renvoyant respectivement
\(f(x)\) et \(g(x)\).
Écrire un script Python utilisant
np.arange ou np.linspace et permettant le
tracé des courbes de \(f\) et \(g\) sur \(\left[-\dfrac12,\dfrac12\right]\).
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Une variable aléatoire \(X\) suit une loi uniforme sur le segment \([0,\theta]\), \(\theta\) étant un réel élément de \([5,7]\).
On dispose de \(n\) variables aléatoires \(X_1,X_2,\ldots,X_n\), mutuellement indépendantes et de même loi que \(X\).
On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\), \(\mathbb{E}(X)\) son espérance et \(\mathbb{V}(X)\) sa variance.
Rappeler l’expression explicite de \(F(x)\) en fonction de \(x\).
Donner sans démonstration les expressions de \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\) en fonction de \(\theta\).
On pose \(Y_n=\max(X_1,X_2,\ldots,X_n)\) et on admet que \(Y_n\) est une variable aléatoire.
Déterminer la fonction de répartition \(F_n\) de \(Y_n\).
En déduire que \(Y_n\) est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité \(f_n\) de \(Y_n\).
On rappelle que rd.random(n) renvoie, sous forme de
vecteur, une simulation Python de \(n\) variables aléatoires à densité,
indépendantes, et suivant la loi uniforme sur \([0,1]\).
Montrer que, si \(U\) suit la loi uniforme sur \([0,1]\), alors \(\theta U\) suit la loi uniforme sur \([0,\theta]\).
Compléter la fonction Python suivante afin qu’elle
simule la variable aléatoire \(Y_n\).
On suppose dans la suite que \(\theta\) est inconnu et on se propose de l’estimer.
Montrer que \(Y_n\) possède une espérance et donner sa valeur.
Montrer que \(Y_n\) possède une variance et vérifier que l’on a : \[\mathbb{V}(Y_n)=\frac{n\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}\]
On pose \(Z_n=\dfrac{n+1}{n} \, Y_n\).
Montrer que \(Z_n\) est un estimateur de \(\theta\) et que \(\mathbb{E}(Z_n)=\theta\).
Calculer la variance de \(Z_n\).
Justifier que : \(\displaystyle \forall n\geqslant 47,\ \frac{\theta^2}{n+2}\leqslant 1\).
Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire \(Z_n\), puis montrer que si \(n\) est supérieur ou égal à \(47\), on a : \[\forall \varepsilon>0, \ \mathbb P\left( |Z_n-\theta|\leqslant \varepsilon\right)\geqslant 1-\frac{1}{n\varepsilon^2}\]
En déduire que, si \(n\) est supérieur ou égal à \(2000\), l’intervalle \(\left[Z_n-\frac1{10},Z_n+\frac1{10}\right]\) est un intervalle de confiance pour \(\theta\), avec un niveau de confiance au moins égal à \(0,95\).
On considère le code Python suivant :
Expliquer le fonctionnement de ce code et préciser ce que représente le résultat affiché.
Dans ce problème, le mot « graphe » désigne un graphe simple (c’est-à-dire sans boucles et sans arêtes multiples), connexe (chaque sommet est relié à au moins un autre), non orienté et non pondéré.
Les lettres \(n\) et \(d\) désignent des entiers naturels non nuls.
On note \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\) et \(J_n\) la matrice de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\) dont tous les éléments sont égaux à \(1\).
L’ordre \(n\) d’un graphe est le nombre de ses sommets.
Le degré d’un sommet est le nombre d’arêtes dont ce sommet est une extrémité.
On appelle degré maximal d’un graphe, noté \(d\), le maximum des degrés de ses sommets.
Deux sommets sont voisins (ou adjacents) s’ils sont reliés par une arête (c’est-à-dire une chaîne de longueur \(1\)).
On appelle distance entre deux sommets d’un graphe, la longueur minimale de toutes les chaînes reliant ces deux sommets.
On rappelle que le diamètre \(D\) d’un graphe est la plus grande des distances séparant chaque paire de sommets distincts.
On note \(E_n(d)\) l’ensemble des graphes d’ordre \(n\) de diamètre \(D=2\) et de degré maximal \(d\).
Montrer que le polynôme \(P\) défini par \(P(x)=x^2-nx\) est un polynôme annulateur de \(J_n\).
Rappeler pourquoi \(J_n\) est diagonalisable puis montrer par l’absurde que \(J_n\) possède deux valeurs propres qui sont \(0\) et \(n\).
On pose \(X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\) élément de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\). Montrer que l’on a l’équivalence : \[J_nX=nX \Leftrightarrow \begin{cases} x_2=x_1\\ x_3=x_1\\ \vdots\\ x_n=x_1 \end{cases}\]
En déduire que le sous-espace propre de \(J_n\) associé à la valeur propre \(n\) est de dimension \(1\) et engendré par le vecteur \(U\) de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\), dont tous les éléments sont égaux à \(1\).
Étude d’exemples.
Justifier que le graphe suivant est élément de \(E_4(2)\).
Parmi les graphes \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\) et \(G_4\) suivants, quels sont les deux graphes éléments de \(E_5(2)\) ? Justifier la réponse pour chaque graphe.
Soit \(G\) un graphe de \(E_n(d)\) et un sommet \(s\) fixé de ce graphe.
Montrer que \(s\) possède \(d\) voisins au maximum.
Utiliser le fait que \(D=2\) pour établir que le nombre de sommets de \(G\), autres que \(s\), est au maximum égal à \(d+d \left( d-1 \right)\).
Conclure que l’on a : \(n\leqslant d^2+1.\)
Les graphes de \(E_n(d)\) pour lesquels on a l’égalité \(n=d^2+1\) sont appelés graphes de Moore.
Dans toute la suite, on considère un graphe de Moore \(G\) (on a donc \(n=d^2+1\)) ainsi que sa matrice d’adjacence \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\), élément de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\), dont on rappelle que, pour tout \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2\), \(a_{i,j}\) désigne le nombre d’arêtes reliant les sommets \(i\) et \(j\).
On rappelle que, par définition du produit matriciel, si \(p,q,r\) sont trois entiers naturels non nuls et si on a \(E=(e_{i,j})\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb R)\) et \(F=(f_{i,j})\in\mathcal M_{q,r}(\mathbb R)\), alors \(EF\in\mathcal M_{p,r}(\mathbb R)\) et, en notant \(EF=(g_{i,j})\), on a, pour tout \((i,j)\in\left[\!\left[1,p\right]\!\right]\times\left[\!\left[1,r\right]\!\right]\) : \(\displaystyle g_{i,j}=\sum_{k=1}^q e_{i,k}f_{k,j}\).
On admet que chaque sommet de \(G\) est de degré \(d\) et est relié à tout sommet distinct par exactement une chaîne qui est de longueur \(1\) ou \(2\).
On pose \(B=A^2\) avec \(B=(b_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) et on rappelle que \(b_{i,j}\) est le nombre de chaînes de longueur \(2\) reliant les sommets \(i\) et \(j\).
Rappeler pourquoi \(A\) est symétrique.
Justifier que, pour tout \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2\), on a \(a_{i,j}\in\{0,1\}\).
Expliquer rapidement pourquoi \(a_{i,i}=0\) pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\).
Utiliser le rappel fait au début de cette partie pour montrer que : \[\forall (i,j)\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2, \ b_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}a_{j,k}\]
Montrer que, pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), \(b_{i,i}=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_{i,k}\) et en déduire que \(b_{i,i}=d\).
Établir que, pour tout \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2\), avec \(i\neq j\), on a : \[\begin{cases}a_{i,j}=0\\ b_{i,j}=1\end{cases} \quad\text{ou}\quad \begin{cases}a_{i,j}=1\\ b_{i,j}=0 \end{cases}\]
En déduire, pour tout \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2\), avec \(i\neq j\), la valeur de \(b_{i,j}+a_{i,j}\).
Donner, pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), la valeur de \(b_{i,i}+a_{i,i}\).
Déduire des questions 7b) et 7c) la relation : \[A^2+A=(d-1)I_n+J_n\]
On rappelle que \(U\) est le vecteur de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)\) dont tous les éléments sont égaux à \(1\).
Justifier que \(A\) est diagonalisable.
Une première valeur propre de \(A\).
Utiliser le rappel sur le produit matriciel ainsi que la question 6) pour montrer que \(AU=dU\).
En déduire que \(d\) est valeur propre de \(A\).
Recherche des autres valeurs propres possibles de \(A\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(X\) un vecteur propre associé.
Établir que l’on a : \[J_nX=(\lambda^2+\lambda-d+1)X\]
Montrer que, si \(\lambda=d\), alors \(X\in\mathrm{Vect}(U)\) et en déduire que le sous-espace propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda=d\) est de dimension \(1\).
Utiliser la relation \(n=d^2+1\) pour résoudre l’équation \(\lambda^2+\lambda-d+1=n\), d’inconnue \(\lambda\), puis montrer qu’une seule des solutions est effectivement valeur propre de \(A\) et préciser laquelle.
Expliquer pourquoi, si \(\lambda\neq d\), on a \(\lambda^2+\lambda-d+1=0\).
En déduire que les autres valeurs propres possibles de \(A\) sont : \[b=\frac{-1+\sqrt{4d-3}}{2} \quad\text{et}\quad c=\frac{-1-\sqrt{4d-3}}{2}\]
On définit la trace d’une matrice carrée \(M\), notée \(\mathrm{Tr}(M)\), comme étant la somme de ses éléments diagonaux et on admet que, si \(M\) et \(N\) sont deux matrices carrées de même format, on a \(\mathrm{Tr}(MN)=\mathrm{Tr}(NM)\).
Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
Utiliser la question 9) pour montrer par l’absurde qu’au moins un des réels \(b\) ou \(c\) est effectivement valeur propre de \(A\).
On note \(\Delta\) une matrice diagonale de \(\mathcal M_n(\mathbb R)\) semblable à \(A\).
Montrer que \(\Delta\) comporte un seul élément diagonal égal à \(d\), les autres étant égaux à \(b\) ou à \(c\).
Justifier, grâce à l’égalité \(D=2\), que l’on ne peut pas avoir \(d=1\).
On suppose que le réel \(b\) est la seule valeur propre de \(A\) autre que \(d\).
Montrer, en considérant la trace de \(\Delta\), que l’on a \(d+\left( n-1 \right) b=0\).
En déduire que \(d-2=d\sqrt{4d-3}\).
En élevant au carré, exhiber une contradiction concernant la valeur de \(d\).
Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont \(d\), \(b\) et \(c\).
Remarque. Il est prouvé que les seules valeurs possibles de \(d\) sont \(d=2\), \(d=3\), \(d=7\) et \(d=57\), mais à ce jour, l’existence des graphes de Moore n’a été démontrée que pour \(d=2\), \(d=3\) et \(d=7\).
Voici le graphe de Moore correspondant à \(d=7\), appelé aussi graphe de Hoffman-Singleton :
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Comme souvent, l'Edhec nous offre cette année un sujet équilibré et de difficulté raisonnable, qui alterne efficacement entre calcul, raisonnement structuré et interprétation probabiliste.
La première moitié de l’épreuve contenait de nombreuses questions accessibles permettant de sécuriser rapidement des points, à condition de bien organiser sa rédaction.
L’exercice 1 reposait sur l’étude classique d’une suite définie par récurrence, avec des techniques standard (monotonie, équivalent, somme télescopique).
La fin introduisait une construction de loi discrète naturelle mais demandait de rester rigoureux sur les arguments d’existence de l’espérance et de la variance.
L’exercice 2 proposait une résolution de système différentiel linéaire par deux méthodes différentes : réduction à une équation du second ordre puis introduction d’une fonction auxiliaire.
Un exercice très formateur, typique des attendus du programme, mais qui demandait une bonne maîtrise des enchaînements algébriques.
L’exercice 3 constituait la partie probabilités-statistiques du sujet : étude du maximum d’un échantillon uniforme, construction d’un estimateur sans biais, puis intervalle de confiance via Bienaymé–Tchebychev et interprétation d’un script Python.
Une partie progressive et globalement abordable pour les étudiants bien entraînés.
Le problème final, consacré aux graphes de Moore, était nettement plus sélectif.
Il combinait algèbre linéaire et théorie des graphes autour de la matrice d’adjacence et de ses valeurs propres.
Même sans aller jusqu’au bout, de nombreuses questions intermédiaires permettaient néanmoins d’engranger des points.
Au total, une épreuve sérieuse mais bien construite, qui valorisait les étudiants solides sur les raisonnements classiques du programme et capables de rester organisés face à une dernière partie plus théorique.