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On suppose, et c’est valable pour toute l’épreuve, que la
bibliothèque numpy de
Python est importée avec
import numpy as np et que la librairie
numpy.random de
Python est importée grâce à la commande
import numpy.random as rd.
Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note \(\mathrm{I}_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(J_{n}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments valent 1.
Déterminer le rang de \(J_{n}\). En déduire que 0 est valeur propre de \(J_{n}\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
Vérifier que le vecteur \(V_{n}\), élément de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\), dont toutes les composantes sont égales à 1, est un vecteur propre de \(J_{n}\).
À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de \(J_{n}\).
Dans toute la suite, on considère la fonction \(f_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}^{n}\) par : \[\forall x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, \ f_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{2}\]
Montrer que \(f_{n}\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\mathbb{R}^{n}\).
Déterminer, pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) et pour tout \(x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\), l’expression de \(\partial_{i} f_{n}(x)\) en fonction de \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) et de \(n\).
En déduire que les points critiques de \(f_{n}\) sont les points de la forme \((a, a, \ldots, a) \in \mathbb{R}^{n}\).
Déterminer les dérivées partielles d’ordre 2 de \(f_{n}\).
Vérifier que la hessienne de \(f_{n}\) en chaque point critique est \(\displaystyle \nabla^{2} f_{n}(a, a, \ldots, a)=\frac{2}{n^{2}}\left(n I_{n}-J_{n}\right)\).
Compléter les commandes Python
suivantes afin qu’elles permettent de calculer et d’afficher \(\displaystyle \nabla^{2} f_{n}(a, a, \ldots,
a)\) pour une valeur de \(n\)
entrée par l’utilisateur.
À l’aide de la première question, donner les valeurs propres de \(\nabla^{2} f_{n}(a, a, \ldots, a)\) et expliquer pourquoi cette méthode ne permet pas de savoir si \(f_{n}\) possède un extremum local.
En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à deux vecteurs bien choisis de \(\mathbb{R}^{n}\), muni de son produit scalaire canonique, montrer que : \[\forall\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}, \ \left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)^{2} \leqslant n \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\]
En déduire que \(f_{n}\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^{n}\) et que ce minimum est atteint en chaque point critique de \(f_{n}\).
Étude du cas \(n=2\).
Compléter la deuxième ligne de la fonction Python suivante afin de définir la fonction \(f_{2}\).
Certaines commandes Python utilisant la fonction précédente permettent de tracer la surface représentant \(f_{2}\). Laquelle est-ce ? Justifier la réponse.
Surface 1 Surface 2 Surface 3
Question préliminaire. On rappelle que la fonction arctangente, notée Arctan, est la bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\left[\right.\) et qu’elle est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\).
Rappeler l’expression, pour tout réel \(x\), de \(\operatorname{Arctan}^{\prime}(x)\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a : \[\operatorname{Arctan}(x)+\operatorname{Arctan} \! \left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}\]
Justifier l’équivalent suivant : \[\operatorname{Arctan}(x) \;\underset{x\to 0}{\sim}\; x\]
On considère la fonction \(f\) définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\frac{2}{\pi\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)}\]
Vérifier que l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}x\) converge.
Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité.
Dans la suite, on s’intéresse à une variable aléatoire \(X\), définie sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), admettant \(f\) pour densité.
Montrer que la fonction de répartition \(F\) de \(X\) est définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ F(x)=\frac{2}{\pi} \operatorname{Arctan}\left(\mathrm{e}^{x}\right)\]
Simulation.
On pose \(U=F(X)\) et on admet que \(U\) est une variable aléatoire, elle aussi définie sur \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
Montrer que \(F\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) dans \(] 0,1[\).
Reconnaître la loi de \(U\).
Déterminer \(F^{-1}(x)\) pour
tout \(x\) de \(]0,1[\) puis, en admettant que la commande
np.tan(y) renvoie la valeur de la fonction
tangente en \(y\), écrire un script
Python permettant de simuler \(X\).
Montrer que \(X\) admet une espérance et la déterminer.
Montrer que \(X^{2}\) admet une espérance.
Dans cette question, on se propose de déterminer la variance de \(X\).
On pose \(\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{t^{2}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}} \,\mathrm{d}t\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), établir que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{2} \, \mathrm{e}^{-n t} \,\mathrm{d}t\) converge et que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{2} \, \mathrm{e}^{-n t} \,\mathrm{d}t=\frac{2}{n^{3}}\).
Pour tout entier naturel \(p\), établir l’égalité: \[\sum_{k=0}^{p}(-1)^{k} \int_{0}^{+\infty} t^{2} \, \mathrm{e}^{-(2 k+1) t} \,\mathrm{d}t=I+(-1)^{p} \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{2} \, \mathrm{e}^{-(2 p+3) t}}{1+\mathrm{e}^{-2 t}} \,\mathrm{d}t\]
Montrer, par encadrement, que : \[\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{2} \, \mathrm{e}^{-(2 p+3) t}}{1+\mathrm{e}^{-2 t}} \,\mathrm{d}t=0\]
Déduire des questions précédentes l’expression de \(\mathbb{V}(X)\) sous forme d’une somme de série.
En admettant que \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1)^{3}}=\frac{\pi^{3}}{32}\), donner la valeur de \(\mathbb{V}(X)\).
On pose \(Y=\mathrm{e}^{X}\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire, définie elle aussi sur l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
Déterminer explicitement la fonction de répartition \(G\) de \(Y\) puis en déduire que \(Y\) est une variable aléatoire à densité.
On considère une suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{\ast}}\) de variables aléatoires, toutes définies sur l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), indépendantes, et suivant la même loi que \(Y\).
On pose \(M_{n}=\max \left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\right)\) et on admet que \(M_{n}\) est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l’espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
Montrer que la fonction de répartition \(G_{n}\) de \(M_{n}\) est définie par :
\[G_{n}(x)= \begin{cases} \displaystyle \left(\frac{2}{\pi} \operatorname{Arctan}(x)\right)^{n} & \text { si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x \leqslant 0\end{cases}\]
Utiliser la question 1) pour montrer que la suite de variables aléatoires \(\displaystyle \left(\frac{n}{M_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
Dans cet exercice, \(E\) est un espace euclidien tel que \(\operatorname{dim} E \geqslant 2\) et \(p\) désigne un entier naturel non nul et strictement inférieur à \(\operatorname{dim} E\).
Le produit scalaire des vecteurs \(a\) et \(b\) de \(E\) est noté \(\langle a, b\rangle\) et la norme du vecteur \(a\) est notée \(\|a\|\).
On considère \(p\) réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\) tous différents de 0, ainsi qu’une famille orthonormale \(\left(u_{1}, \ldots, u_{p}\right)\) de \(p\) vecteurs de \(E\), et enfin on pose \(U=\operatorname{Vect}\left(u_{1}, \ldots, u_{p}\right)\).
On se propose d’étudier l’application \(f\) qui, à tout vecteur \(x\) de \(E\), associe : \[f(x)=\sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}\left\langle u_{i}, x\right\rangle u_{i}\]
Montrer que \(f\) est un endomorphisme symétrique de \(E\).
Caractériser \(f\) lorsque \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\) sont tous égaux à 1.
On revient au cas général pour toute la suite.
Déterminer \(\operatorname{Ker}(f)\) et préciser sa dimension en fonction \(\operatorname{de} \operatorname{dim} E\) et \(p\).
En déduire le rang de \(f\) puis déterminer \(\operatorname{Im}(f)\).
Montrer que les réels \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\) sont valeurs propres de \(f\) et donner un vecteur propre associé à chacune d’entre elles.
On dit qu’une suite \(\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de vecteurs de \(E\) converge vers le vecteur \(y\) de \(E\) si \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left\|y_{n}-y\right\|=0\). Montrer que le vecteur \(y\) est unique.
On pose \(\displaystyle K=\sqrt{\sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}^{2}}\) et on suppose que \(K\) est strictement inférieur à 1.
Calculer \(\|f(x)\|^{2}\) pour tout \(x\) de \(E\) et en déduire que l’on a \(\|f(x)\| \leqslant K\|x\|\).
On considère une suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de vecteurs de \(E\) définie par la donnée du vecteur \(x_{0}\) et par la relation \(x_{n+1}=f(x_{n})\), valable pour tout entier naturel \(n\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(\left\|x_{n}\right\| \leqslant K^{n}\left\|x_{0}\right\|\).
Montrer que la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge. Vers quel vecteur?
Donner la nature de la série \(\displaystyle \sum_{n}\left\|x_{n}\right\|\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)^{n}} \,\mathrm{d}t\). On a donc \(u_{0}=1\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante et positive.
En déduire la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Montrer que, pour tout \(x\) de \([0,1]\), on a l’inégalité : \(\mathrm{e}^{x / 2} \leqslant 1+x\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\), l’inégalité : \[u_{n} \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-n t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
Donner la valeur, pour tout entier naturel \(n\) non nul, de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-n t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\).
En déduire la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)^{n}} \,\mathrm{d}t\) est convergente.
Pour toute la suite, on pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) : \[I_{n}=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)^{n}} \,\mathrm{d}t\quad \text{et} \quad J_{n}=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+t^{2}\right)^{n}} \,\mathrm{d}t\]
Montrer que: \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ 0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{1}{2 n-1}\]
En déduire la valeur de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}\).
Déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} J_{n}\).
Montrer, grâce à une intégration par parties effectuée dans \(J_{n}\), que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ J_{n}=2 n\left(J_{n}-J_{n+1}\right)\]
Déterminer \(J_{1}\).
Montrer que la série de terme général \(\displaystyle \frac{J_{n}}{n}\) est convergente et que \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{J_{n}}{n}=\pi\).
Utiliser la relation de la question 5a) pour compléter la
fonction Python suivante afin qu’elle renvoie
la valeur de \(J_{n}\).
Montrer que l’on a: \[\forall n \in \mathbb{N}, \ J_{n+1}=\frac{\pi}{2} \times \frac{\binom{2 n}{n}}{4^{n}}\]
On désigne par \(n\) un entier naturel non nul et on note \(X_{n}\) (resp. \(Y_{n}\)) le nombre de « piles » (resp. « faces ») obtenus lors des \(2 n\) premiers lancers supposés indépendants d’une pièce équilibrée.
Donner, en justifiant, la loi de \(X_{n}\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}(X_{n}=Y_{n})=\frac{2}{\pi} \, J_{n+1}\) et en déduire la valeur de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(X_{n}=Y_{n})\).
Justifier sans calcul l’égalité \(\mathbb{P}(X_{n}<Y_{n} )=\mathbb{P}(X_{n}>Y_{n} )\).
Montrer que la probabilité d’obtenir strictement moins de « piles » que de « faces » lors de l’expérience décrite plus haut tend vers \(\displaystyle \frac{1}{2}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on considère la variable aléatoire \(Z_{k}\) qui vaut 1 si l’on a obtenu « pile » au \(k^{e}\) lancer et 0 sinon.
Vérifier que l’on a \(\displaystyle \sum_{k=1}^{2 n} Z_{k}=X_{n}\).
En appliquant le théorème limite central à la suite \(\left(Z_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\), montrer que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}(X_{n} \leqslant Y_{n} )=\frac{1}{2}\]
Retrouver le résultat établi à la question 7d.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
