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On désigne par \(a\) un réel et on considère une variable aléatoire \(X\) définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), de densité \(f\) strictement positive et continue sur \(\mathbb{R}\), dont la fonction de répartition est notée \(F\).
On pose: \[g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)}{F(a)} & \text {si } x \leqslant a \\ \hspace{0.25cm} 0 & \text {si } x>a\end{cases}\]
Montrer que \(g\) est bien définie et peut être considérée comme densité d’une certaine variable aléatoire \(Y\).
On note \(G\) la fonction de répartition de \(Y\).
Exprimer, pour tout réel \(x\), \(G(x)\) à l’aide de \(F\).
Vérifier que l’on a, pour tout réel \(x\) : \[G(x)=\mathbb{P}_{(X \leqslant a)}(X \leqslant x)\] Dans la suite, on considère une suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires, définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que \(Y\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(M_{n}=\max \left(Y_{1}, \ldots, Y_{n}\right)\) et on admet que \(M_{n}\) est une variable aléatoire à densité dont on note \(G_{n}\) la fonction de répartition.
Exprimer \(G_{n}(x)\) à l’aide de \(G\), puis à l’aide de \(F\).
Montrer que la suite \(\left(M_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire que l’on précisera.
On pose \(Z_{n}=n\left(a-M_{n}\right)\) et on note \(H_{n}\) la fonction de répartition de \(Z_{n}\).
Vérifier que l’on a : \[H_n(x) = \begin{cases} \hspace{1cm} 0 &\text{si } x<0 \\ 1- \left[ \frac{F \left( a- \frac{x}{n} \right)}{F(a)} \right]^n &\text{si } x\geqslant 0 \end{cases}\]
Montrer que : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \frac{F \! \left(a-\frac{x}{n}\right)}{F(a)} \underset{n \rightarrow+\infty}{=} 1-\frac{f(a)}{F(a)} \times \frac{x}{n}+\circ \! \left(\frac{1}{n}\right)\]
En déduire que la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \in N^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Z\) dont on reconnaîtra la loi.
On se place dans l’espace euclidien \(\mathbb{R}^{3}\) muni de son produit scalaire canonique défini par : \[\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}^{3}\right)^{2}, \ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \ y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right),\ \langle x, y\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}\] La norme du vecteur \(x\) est définie par \(\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}\).
On note \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) et on rappelle que \(\mathscr{B}\) est orthonormale pour le produit scalaire canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).
On note \(\mathrm{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^{3}\).
On se propose d’étudier l’ensemble \(F\) des endomorphismes \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tels qu’il existe un réel \(k\) de \([0,1[\) pour lequel on a: \[\forall x \in \mathbb{R}^{3},\ \left\| f(x) \right\| \leqslant k \left\| x \right\|\]
Déterminer les endomorphismes \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) appartenant à \(F\) pour lesquelles on peut choisir \(k=0\).
Un premier exemple.
On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est : \[A=\frac{1}{27} \begin{pmatrix} -1 & 8 & -4 \\ 8 & -1 & -4 \\ -4 & -4 & -7 \end{pmatrix}\]
Calculer \(A^{2}\) puis en déduire les deux valeurs propres possibles \(\lambda\) et \(\mu\) de \(A\).
Vérifier que \(A\) est diagonalisable et en déduire que \(\lambda\) et \(\mu\) sont bien valeurs propres de \(A\).
Justifier, sans les déterminer, que les sous-espaces propres de \(f\) sont supplémentaires orthogonaux dans \(\mathbb{R}^{3}\).
Utiliser ce résultat pour montrer que \(f\) appartient à \(F\). On pourra écrire un vecteur \(x\) quelconque de \(\mathbb{R}^{3}\) sous la forme \(x=y+z\), avec \(y \in \mathrm{Ker}(f-\lambda \, \mathrm{Id})\) et \(z \in \mathrm{Ker}(f-\mu \, \mathrm{Id})\).
Quelques propriétés générales de l’ensemble \(F\).
Vérifier que \(\mathrm{Id}\) n’appartient pas à \(F\).
Montrer que \(F\) n’est pas un espace vectoriel.
Montrer que \(F\) est stable par la loi de composition des endomorphismes de \(\mathbb{R}^{3}\).
Montrer que si \(f\) est un automorphisme appartenant à \(F\), alors \(f^{-1}\) n’appartient pas à \(F\).
Montrer que \(F\) ne contient pas de projecteurs autres que le projecteur nul.
\(F\) contient-il des symétries?
Soit \(f\) un endomorphisme symétrique de \(\mathbb{R}^{3}\).
Montrer qu’en posant \(k=\max \{|\lambda|, \ \lambda \in \operatorname{Sp}(f)\}\), on a : \[\forall x \in \mathbb{R}^{3},\ \left\| f(x) \right\| \leqslant k \left\| x \right\|\]
En déduire que \(f\) appartient à \(F\) si, et seulement si, les valeurs propres de \(f\) appartiennent toutes à \(]-1,1[\).
Un deuxième exemple.
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice dans la base \(B\) est : \[A=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Déterminer un polynôme annulateur de \(A\) qui soit de degré 3 et donner les valeurs propres possibles de \(f\).
Montrer que \(f\) appartient à \(F\), puis donner un réel \(k\) de \([0,1[\) pour lequel on a : \[\forall x \in \mathbb{R}^{3},\ \left\| f(x) \right\| \leqslant k \left\| x \right\|\]
Compléter le script Python suivant pour qu’il permette d’afficher la valeur du réel \(k\) défini à la question 5a :
On rappelle que, si la variable A contient
une matrice carrée, \(A\) la commande
al.eigvals(A) renvoie un tableau dont les
coefficients sont les valeurs propres de la matrice \(A\).
On désigne par \(p\) un réel de \(] 0,1[\) et on pose \(q=1-p\).
On suppose dans ce problème que toutes les variables aléatoires sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(p\). On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi que \(X\).
On considère aussi une variable aléatoire \(N\) telle que \(N(\Omega)=\mathbb{N}^{*}\), indépendante des variables \(X_{i}\), et possédant une espérance.
On pose \(S=\sum\limits_{i=1}^{N} X_{i}\), c’est-à-dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a : \(S(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{N(\omega)} X_{i}(\omega) .\) On admet que \(S\) est une variable aléatoire définie elle aussi sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Déterminer \(S(\Omega)\).
Montrer, sans la calculer, que \(S\) possède une espérance.
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} X_{i}\). Donner la loi de \(S_{n}\) ainsi que son espérance.
Etablir l’égalité :
\[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(S=k)=\sum_{n=k}^{+\infty} \mathbb{P}\left(S_{n}=k\right) \, \mathbb{P}(N=n)\]
Étude d’un exemple: on suppose dans cette question que \(N\) est une variable aléatoire telle que \(N-1\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
Déterminer la loi de \(N\).
Montrer que : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(S=k)=\frac{p^{k} \lambda^{k-1} \mathrm{e}^{-\lambda}}{k !} \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n \left( \lambda q \right)^{n-k}}{(n-k) !}\]
En déduire : \[\forall k \in \mathbb{N}^\ast, \ \mathbb{P}(S=k)=\frac{p^{k} \lambda^{k-1}}{k !} \left( \lambda q+k \right) \mathrm{e}^{-\lambda p}\]
Donner, grâce à \(S(\Omega)\), l’expression de \(\mathbb{P}(S=0)\) en fonction de \(\lambda, p\) et \(q\).
On se propose de calculer l’espérance de \(S\) grâce à la formule de l’espérance totale que l’on pourra utiliser sans aucune justification.
Donner la valeur de l’espérance conditionnelle \(\mathbb{E}(S \, \vert \, N=n)\), puis exprimer l’espérance de \(S\) en fonction de \(\lambda\) et \(p\), et vérifier que: \(\mathbb{E}(S)=\mathbb{E}(X) \, \mathbb{E}(N)\).
Compléter la fonction Python suivante pour qu’elle permette de calculer la valeur prise par \(S\) lorsque la loi de \(N\) est celle décrite à la question précédente:
On rappelle que la commande
rd.poisson(Lambda) permet de simuler une
variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda\).
Question préliminaire. Soit \(f\) une fonction définie et strictement positive sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(x) \underset{0^{+}}\sim x\).
Montrer que : \[\ln (f(x)) \underset{0^{+}}{\sim} \ln (x)\]
On définit les fonctions, appelées « sinus hyperbolique » et « cosinus hyperbolique », notées respectivement \(\mathrm{sh}\) et \(\mathrm{ch}\), en posant, pour tout réel \(x\) : \[\operatorname{sh}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2} \quad \text{et} \quad \operatorname{ch}(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}\]
Étudier la parité de la fonction \(\mathrm{sh}\).
Dresser le tableau de variations de la fonction \(\mathrm{sh}\).
Déterminer un équivalent en \(0\) de \(\operatorname{sh}(x)\).
Étudier la parité de la fonction \(\mathrm{ch}\).
Dresser le tableau de variations de la fonction \(\mathrm{ch}\).
Montrer que:
\[\forall x \in \mathbb{R},\ (\operatorname{ch}(x))^{2}-(\operatorname{sh}(x))^{2}=1\]
Montrer que l’on définit bien une fonction, appelée « tangente hyperbolique » et notée \(\mathrm{th}\), en posant: \[\forall x \in \mathbb{R}, \ \operatorname{th}(x)=\frac{\operatorname{sh}(x)}{\operatorname{ch}(x)}\]
Vérifier que la fonction \(\mathrm{th}\) est impaire.
En s’aidant éventuellement des relations \(\mathrm{ch}^{\prime}=\mathrm{sh}\) et \(\mathrm{sh}^{\prime}=\mathrm{ch}\), déterminer les variations de la fonction \(\mathrm{th}\).
Dresser le tableau de variations, limites comprises, de la fonction \(\mathrm{th}\).
Trouver les constantes \(a\) et \(b\) telles que: \[\forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ \frac{1}{\operatorname{sh}(x)}=\frac{a \mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}+\frac{b \mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}\]
En déduire, à l’aide de la fonction \(\mathrm{th}\), une primitive sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) de la fonction \(x \mapsto \frac{1}{\operatorname{sh}(x)}\).
Montrer que : \[\ln \! \left(\operatorname{th} \! \left(\frac{x}{2}\right)\right) \;\underset{x\to 0^+}{\sim}\; \ln (x)\]
Dans cette partie, on désigne par \(x\) un réel strictement positif.
Soit \(k\) un entier naturel non nul. Montrer que :
\[\frac{1}{\operatorname{sh} \! \left( \left( k+1 \right) x \right)} \leqslant \int_{k}^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{\operatorname{sh}(t x)} \leqslant \frac{1}{\operatorname{sh}(k x)}\]
En déduire l’encadrement, valable pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}:\) \[\int_{1}^{n+1} \frac{\mathrm{d}t}{\operatorname{sh}(t x)} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\operatorname{sh}(k x)} \leqslant \int_{1}^{n} \frac{\mathrm{d}t}{\operatorname{sh}(t x)} +\frac{1}{\operatorname{sh}(x)}\]
Montrer que la série de terme général \(\frac{1}{\operatorname{sh}(n x)}\) (\(n \in \mathbb{N}^{*}\)) est convergente.
Établir, pour tout réel \(x\) strictement positif, l’encadrement suivant : \[-\frac{1}{x} \ln \! \left(\operatorname{th} \! \left(\frac{x}{2}\right)\right) \leqslant \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sh}(k x)} \leqslant -\frac{1}{x} \ln \! \left(\operatorname{th} \! \left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{1}{\operatorname{sh}(x)}\]
En déduire, en utilisant certains résultats des parties précédentes, l’équivalent suivant : \[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\operatorname{sh}(n x)} \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\sim}-\frac{\ln (x)}{x}\]
Compléter le programme Python suivant pour qu’il permette d’afficher la valeur de \(\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{\operatorname{sh}(k x)}\) lorsque \(n\) et \(x\) sont entrés par l’utilisateur :
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
