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On note : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\quad K_1=\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{pmatrix},\quad K_2=\begin{pmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{pmatrix},\quad K_3=\begin{pmatrix} 0 & 0\\1 & 0 \end{pmatrix},\quad K_4=\begin{pmatrix} 0 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}\]
On rappelle que \(\left(K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}\right)\) est la base canonique de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).
On considère l’application \(\varphi\) qui, à toute matrice \(M\) de \(M_{2}(\mathbb{R})\), associe : \[\varphi(M)=J M-M J\]
Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathcal M_{2}(\mathbb{R})\).
Exprimer \(\varphi(K_{1}), \varphi(K_{2}), \varphi(K_{3})\) et \(\varphi(K_{4})\) comme combinaisons linéaires de \(K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}\).
Expliquer comment est construite la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \(\left(K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}\right)\) puis expliciter \(A\).
Montrer que \(\varphi\) est diagonalisable.
Déterminer le rang de \(A\), puis donner une base de \(\operatorname{Im}(\varphi)\).
En déduire la dimension de \(\operatorname{Ker}(\varphi)\), puis montrer que \((I, J)\) est une base de \(\operatorname{Ker}(\varphi)\).
Calculer \(A^{2}\) puis montrer que \(A^{3}-4 A=0\).
En déduire les valeurs propres possibles de \(A\).
On a exécuté le programme Python suivant :
et le résultat suivant a été affiché :
r1= 3
r2= 3
Que peut-on conjecturer quant aux valeurs propres non nulles de \(A\) et à la dimension des sous-espaces propres associés ?
Résoudre les systèmes \(A X=2 X\) et \(A X=-2 X\), avec \(X= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{pmatrix}\).
Déterminer le spectre de \(A\) ainsi que les sous-espaces propres de \(A\).
On désigne par \(n\) un entier naturel non nul, par \(p\) un réel de ]0,1[ et on pose \(q=1-p\).
Dans la suite, on s’intéresse à un jeu vidéo au cours duquel, pour gagner, le joueur doit essayer, de réussir, dans l’ordre, \(n\) niveaux numérotés \(1,2, \ldots, n\), ce joueur ne pouvant accéder à un niveau que s’il a réussi le niveau précédent. Le jeu s’arrête lorsque le joueur échoue à un niveau ou bien lorsqu’il a réussi les \(n\) niveaux du jeu.
Pour tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), on dit que le joueur a le niveau \(k\) si, et seulement si, il a réussi le niveau \(k\) et échoué au niveau \(k+1\). On dit que le joueur a le niveau \(n\) si, et seulement si, il a réussi le niveau \(n\) et on dit que le joueur a le niveau 0 s’il a échoué au niveau \(1 .\)
On admet que la probabilité de passer d’un niveau à un autre est constante et égale à \(p\), la probabilité d’accéder au niveau 1 étant, elle aussi, égale à \(p\).
On note \(X_{n}\) le niveau du joueur et on admet que \(X_{n}\) est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(R_{k}\) l’événement : « le joueur réussit le niveau \(k\) ».
Compléter le programme Python suivant afin qu’il permette de simuler ce jeu et d’afficher la valeur prise par \(X_{n}\) dès que l’utilisateur saisit une valeur pour \(p\).
Justifier soigneusement que l’ensemble des valeurs prises par \(X_{n}\) est \(X_{n}(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Déterminer la probabilité \(\mathbb{P}(X_{n}=0 )\).
Écrire l’événement \([ X_{n}=n ]\) à l’aide de certains des événements \(R_{k}\) puis déterminer la probabilité \(\mathbb{P}( X_{n}=n )\).
Écrire, pour tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), l’événement \([ X_{n}=k ]\) à l’aide de certains des événements \(R_{k}\) puis déterminer la probabilité \(\mathbb{P}( X_{n}=k )\). Vérifier que l’expression trouvée reste valable pour \(k=0\).
Vérifier par le calcul que \(\sum\limits_{k=0}^{n} \mathbb{P}( X_{n}=k )=1\).
Expliquer pourquoi \(X_{n}\) admet une espérance et écrire cette dernière sous forme d’une somme dépendant de \(n\) et de \(p\).
Déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}( X_{n} )\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(k+1\), on a : \[\mathbb{P}( X_{n}=k )=p^{k} q\]
En déduire que la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une certaine variable aléatoire \(X\).
On pose \(Y=X+1\).
Reconnaître la loi de \(Y\) puis en déduire l’espérance de \(X\) et la comparer à \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}( X_{n} )\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 , on considère la fonction \(f_{n}\) définie, pour tout réel \(x\) de \([0,1]\), par :
\[f_{n}(x)=\frac{x}{x+n}\] Dresser le tableau de variations de \(f_{n}\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 , on pose : \(\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x}{n \left(x+n \right)} \,\mathrm{d}x\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[0\leqslant u_{n}\leqslant \frac{1}{n(n+1)}\]
Montrer que la série de terme général \(u_{n}\) est convergente.
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose : \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} u_{k}\).
Justifier que la suite \(\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente. On note \(\gamma\) (on prononce gamma) sa limite.
Vérifier que \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\) puis établir que \(0\leqslant \gamma\leqslant 1\).
Montrer que la suite \(\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est croissante.
Déterminer les deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall x\in [0,1],\ \forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \frac{x}{k(x+k)}=\frac{a}{k}-\frac{b}{x+k}\] puis montrer que : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ u_{k}=\frac{1}{k}-\ln (k+1)+\ln( k)\]
Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1)\]
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1 , on pose : \(T_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n)\).
Montrer que la suite \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge et donner sa limite.
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\frac{1}{n+1}\leqslant \ln (n+1)-\ln n\leqslant \frac{1}{n}\]
En déduire que la suite \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est décroissante.
Donner alors un encadrement de \(\gamma\) à l’aide des réels \(S_{n}\) et \(T_{n}\).
En utilisant l’encadrement trouvé ci-dessus, préciser ce que représente \(S_{n}\) pour \(\gamma\) lorsque \(T_{n}-S_{n}\) est inférieur ou égal à \(10^{-3} ?\)
Déterminer \(T_{n}-S_{n}\), puis compléter le programme Python suivant afin qu’il affiche une valeur approchée de \(\gamma\) à \(10^{-3}\) près.
Pour tout couple \((p, q)\) d’entiers naturels, on pose : \[I(p, q)=\int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{q} \, \mathrm{d}x\]
Expliquer rapidement pourquoi cette intégrale est bien définie.
Montrer, grâce à une intégration par parties, que l’on a : \[\forall(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^{*}, \ I(p, q)=\frac{q}{p+1} \, I(p+1, q-1)\] On admet que l’on peut en déduire par récurrence l’égalité : \[\forall(p, q) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}, I(p, q)=\frac{p ! \, q !}{(p+q) !} \, I(p+q, 0)\]
Pour tout couple \((p, q)\) d’entiers naturels, déterminer \(I(p+q, 0)\) puis exprimer \(I(p, q)\) en fonction de \(p\) et \(q\).
Montrer enfin que: \[\forall p \in \mathbb{N}, \int_{0}^{1} x^{p}(1-x)^{p} \, \mathrm{d}x=\frac{(p !)^{2}}{(2 p+1) !}\]
Dans cette partie, on désigne par \(n\) un entier naturel quelconque et on pose \(\alpha_{n}=\frac{(2 n+1) !}{(n !)^{2}}\).
On considère la fonction \(b_{n}\) définie par: \[b_{n}(x)=\begin{cases} \alpha_{n} x^{n}(1-x)^{n} & \text {si } x \in[0 , 1] \\ \hspace{1cm} 0 & \text {si } x \notin[0 , 1] \end{cases}\]
Montrer que \(b_{n}\) est une densité.
On considère désormais une suite de variables aléatoires \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\), où \(X_{n}\) admet \(b_{n}\) comme densité.
Reconnaître la loi de \(X_{0}\).
Utiliser la première partie pour montrer que \(X_{n}\) possède une espérance et que l’on a :
\[\mathbb{E}( X_{n} )=\frac{1}{2}\]
Toujours en utilisant la première partie, montrer que \(X_{n}\) possède une variance et exprimer \(\mathbb{V}( X_{n} )\) en fonction de \(n\).
En déduire que : \[\forall \varepsilon>0, \ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left(\left|X_{n}-\frac{1}{2}\right| \geqslant \varepsilon\right)=0\]
Dans cette partie, on désigne par \(n\) un entier naturel et on se propose d’étudier la suite de fonctions \(\left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f_{n}(x)=\alpha_{n} \int_{0}^{x} t^{n}(1-t)^{n} \,\mathrm{d}t\] où l’on a toujours \(\alpha_{n}=\frac{(2 n+1) !}{(n !)^{2}}\).
On note \(\left(C_{n}\right)\) la courbe représentative de \(f_{n}\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
Déterminer \(f_{0}(x)\) pour tout réel \(x\).
Donner la valeur de \(f_{n}(1)\).
Montrer, grâce au changement de variable \(u=1-t\) dans l’intégrale définissant \(f_{n}(x)\), que: \[\forall x \in \mathbb{R}, \ f_{n}(x)+f_{n}(1-x)=1\]
En déduire la valeur de \(f_{n} \! \left(\frac{1}{2}\right)\).
Montrer que \(f_{n}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et déterminer, pour tout réel \(x\), l’expression de \(f_{n}^{\prime}(x)\) en fonction de \(x\) et \(n\).
Étudier, suivant la parité de \(n\), le signe de \(f_{n}^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).
En utilisant éventuellement la formule du binôme de Newton, montrer que \(f_{n}\) est une fonction polynomiale puis en déduire les valeurs de \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f_{n}(x)\) et de \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f_{n}(x)\) selon que \(n\) est pair ou impair.
Dresser le tableau de variations de \(f_{n}\) (toujours en distinguant les cas \(n\) pair et \(n\) impair).
Dans cette question, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(1 .\)
Pour tout réel \(x\), déterminer \(f_{n}^{\prime \prime}(x)\) en fonction de \(x\) et \(n\).
En déduire que \(\left(C_{n}\right)\) possède un point d’inflexion si \(n\) est impair et trois si \(n\) est pair.
Tracer, selon la parité de \(n\), l’allure de \(\left(C_{n}\right)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
