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Question préliminaire : on considère une suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) croissante et de limite \(\ell\) et on pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[b_n=\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} a_k\]
Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’inégalité \(b_n \leqslant a_n\), puis étudier la monotonie de la suite \((b_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\).
Montrer que la suite \((b_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge vers un réel \(\ell'\) qui vérifie \(\ell' \leqslant \ell\).
Établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’inégalité suivante : \[b_{2n} \geqslant \dfrac{b_n+a_n}{2}\]
En déduire que \(\lim\limits_{n\to +\infty} b_n=\lim\limits_{n\to +\infty} a_n\).
On se propose maintenant d’étudier la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\), définie par la donnée de \(u_0=1\) et par la relation, valable pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1}=\sqrt{u_n^2+u_n}\] Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} u_k\).
Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\) est bien défini et supérieur ou égal à \(1\).
Étudier les variations de la suite \((u_n)\), puis établir que la suite \((u_n)\) diverge et donner sa limite.
Compléter le programme Python suivant afin qu’il
permette de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de \(n\) pour laquelle on a \(S_n>1000\) :
Recherche d’un équivalent de \(u_n\).
Montrer que \(\lim\limits_{n\to +\infty} \left( u_{n+1}-u_n \right)=\dfrac{1}{2}\).
Étudier les variations de la fonction \(f\) définie sur \([1,+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+x}-x\), puis en déduire que la suite \(\left( u_{n+1}-u_n \right)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante.
Utiliser la première question pour établir que : \(u_n\underset{+\infty}{\sim} \dfrac{n}{2}\).
Exprimer \(S_n\) en fonction de \(u_n\) puis en déduire un équivalent de \(S_n\) pour \(n\) au voisinage de \(+\infty\).
Compléter le programme Python suivant afin qu’il
fasse le même travail que celui de la question 2c sans calculer \(S_n\) :
On considère une variable aléatoire \(Z\) suivant la loi normale centrée réduite. On pose \(Y=\mathrm{e}^{Z}\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire à densité. On note \(F_Y\) la fonction de répartition de \(Y\) et \(\Phi\) celle de \(Z\).
Déterminer \(F_Y(x)\) pour tout réel \(x\) négatif ou nul, puis exprimer \(F_Y(x)\) à l’aide de la fonction \(\Phi\) pour tout réel \(x\) strictement positif.
En déduire qu’une densité \(f_Y\) de \(Y\) est donnée par : \[f_Y(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{x\sqrt{2\pi}} \mathrm{exp} \! \left( -\dfrac{(\ln (x))^2}{2} \right) & \text{si }x>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si }x \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Dans la suite, on considère une suite de variables aléatoires \(\left( X_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}\), toutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi, dite de Rademacher de paramètre \(p\) (avec \(0<p<1\)), et définie par : \[\mathbb{P}( X_n=1 )=p \quad \text{et} \quad \mathbb{P}( X_n=-1 )=1-p\] On considère de plus, pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^*\), la variable aléatoire \(T_n=\prod\limits_{k=1}^{n} X_k\).
Donner l’espérance et la variance communes aux variables \(X_n\).
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(T_n\) puis calculer \(\mathbb{E}(T_n)\) et en déduire une relation entre \(\mathbb{P}( T_n=1 )\) et \(\mathbb{P}( T_n=-1 )\).
Écrire une autre relation vérifiée par \(\mathbb{P}( T_n=1 )\) et \(\mathbb{P}( T_n=-1 )\), puis en déduire la loi de \(T_n\).
Montrer que la suite \(\left( T_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable \(T\) dont on précisera la loi.
Soit \(T'\) une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que les variables \(X_n\).
Établir l’inclusion suivante : \[\left[ \left| T_{n+1}-T'\right|<\dfrac{1}{2} \right] \cap \left[ \left| T_{n}-T'\right|<\dfrac{1}{2} \right] \subset \left[ \left| T_{n+1}-T_n\right|<1 \right]\]
En déduire l’inégalité : \[\mathbb{P}( \left| T_{n+1}-T_n\right| \geqslant 1 ) \leqslant \mathbb{P}( \left| T_{n+1}-T'\right| \geqslant \dfrac{1}{2} )+\mathbb{P}( \left| T_{n}-T'\right| \geqslant \dfrac{1}{2} )\]
Montrer, en observant les valeurs que peut prendre la variable \(T_{n+1}-T_n\), que : \[\mathbb{P}( \left| T_{n+1}-T_n\right| \geqslant 1 ) =1-p\]
La suite \(\left( T_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge-t-elle en probabilité ?
Dans cette question on prend \(p=\dfrac{1}{2}\).
On considère, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), les variables aléatoires \(\overline{X}_n=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} X_k\) et \(U_n=\mathrm{e}^{n\overline{X}_n}\).
On rappelle que \(\overline{X}_n^*\) est la variable aléatoire centrée réduite associée à \(\overline{X}_n\). Exprimer \(\overline{X}_n^*\) en fonction de \(\overline{X}_n\).
Utiliser le théorème limite central pour établir que la suite \(\left( U_n^{\ 1/\sqrt{n}} \right)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire de même loi que \(Y\).
On considère un espace euclidien \(E\) pour lequel le produit scalaire de deux vecteurs \(x\) et \(y\) est noté \(\langle x,y \rangle\), tandis que la norme du vecteur \(x\) est notée \(\Vert x \Vert\). Le vecteur nul de \(E\) est noté \(0_E\).
On considère aussi un endomorphisme \(f\) de \(E\), différent de l’endomorphisme nul, et antisymétrique, c’est-à-dire qu’il vérifie : \[\forall (x,y)\in E^2,\ \langle f(x),y \rangle=-\langle x,f(y) \rangle\]
Montrer que : \(\forall x\in E\), \(\langle f(x),x \rangle=0\).
Établir l’égalité : \(\mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f)=E\).
On pose \(s=f\circ f\). Montrer que \(s\) est un endomorphisme symétrique de \(E\) et que ses valeurs propres sont toutes dans \(\mathbb{R}_{-}\).
On note \(g\) l’application qui à tout vecteur \(x\) de \(\mathrm{Im}(f)\) associe \(g(x)=f(x)\) et on pose \(t=g\circ g\).
Montrer que \(g\) est un endomorphisme antisymétrique de \(\mathrm{Im}(f)\).
En déduire que les valeurs propres de \(t\) sont toutes dans \(\mathbb{R}_{-}^*\).
Dans les deux questions suivantes, on considère une valeur propre \(\lambda\) de \(t\) et on note \(E_{\lambda}(t)\) le sous-espace propre de \(t\) associé à cette valeur propre.
On considère un vecteur \(e_1\) non nul de \(E_{\lambda}(t)\).
Montrer que \(\left( e_1, g\left(e_1\right) \right)\) est une famille d’éléments de \(E_{\lambda}(t)\), orthogonale et libre.
En déduire, en considérant l’orthogonal de \(F_2\) de \(\mathrm{Vect}\left( e_1, g\left(e_1\right) \right)\) dans \(E_{\lambda}(t)\), que la dimension de \(E_{\lambda}(t)\) est paire et qu’il existe un entier naturel \(p\) non nul, ainsi que \(p\) vecteurs \(e_1\), \(e_2\), \(\ldots\), \(e_p\) de \(E_{\lambda}(t)\), tels que \(\left( e_1,g\left(e_1 \right), e_2,g\left(e_2 \right),\ldots ,e_p,g\left(e_p \right)\right)\) soit une base orthogonale de \(E_{\lambda}(t)\).
Soit \(k\) un entier de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\).
Montrer que l’on a : \(\left\Vert g(e_k) \right\Vert^2=-\lambda \left\Vert e_k \right\Vert^2\).
On considère les vecteurs \(e_k'=\dfrac{1}{\left\Vert e_k\right\Vert} \, e_k\) et \(e_k''=\dfrac{1}{\left\Vert g(e_k)\right\Vert} \, g(e_k)\).
Établir que \(g\left( e_k' \right)=\sqrt{-\lambda}\, e''_{k}\) et \(g\left( e_k'' \right)=-\sqrt{-\lambda}\, e'_{k}\).
Montrer que le rang de \(f\) est pair.
On pose \(r=\dfrac{1}{2} \,\mathrm{Rg}(f)\). Déduire des questions précédentes qu’il existe une base orthonormale \(\mathcal{B}\) de \(E\) et \(r\) réels \(a_1\), \(\ldots\), \(a_r\) strictement positifs, pas nécessairement distincts, tels que la matrice \(M\) de \(f\) dans \(\mathcal{B}\) soit : \[M=\begin{pmatrix} 0 & -a_1 & & & & & & & & \\ a_1 & 0 & & & & & & & & \\ & & 0 & -a_2 & & & (0) & & & \\ & & a_2 & 0 & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & 0 & -a_r & & & \\ & & & & & a_r & 0 & & & \\ & & & (0) & & & & 0 & & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & 0 \end{pmatrix}\] ou \[M=\begin{pmatrix} 0 & -a_1 & & & & & \\ a_1 & 0 & & & &(0) & \\ & & 0 & -a_2 & & & \\ & & a_2 & 0 & & & \\ & & & & \ddots & & \\ & (0) & & & & 0 & -a_r \\ & & & & & a_r & 0 \end{pmatrix}\]
Pour tout couple \((p,q)\) d’entiers naturels, on pose : \(\displaystyle I(p,q)=\int_{0}^{1} x^p (1-x)^q\, \mathrm{d}x\). On a, en particulier, \(\displaystyle I(p,0)=\int_{0}^{1} x^p\, \mathrm{d}x\) et \(\displaystyle I(0,q)=\int_{0}^{1} (1-x)^q\, \mathrm{d}x\).
Donner les valeurs de \(I(p,0)\) et \(I(0,q)\).
Montrer que pour tout couple \((p,q)\) de \(\mathbb{N}\times \mathbb{N}^*\), on a l’égalité : \[I(p,q)=\dfrac{q}{p+1} \, I(p+1,q-1)\]
Pour tout \(q\) de \(\mathbb{N}\), on considère la propriété \(H_q\) : « \(\forall p\in\mathbb{N},\ I(p,q)=\dfrac{p!q!}{(p+q)!} \, I(p+q,0)\) ».
Montrer, par récurrence sur \(q\), que \(H_q\) est vraie pour tout entier naturel \(q\).
Donner explicitement, pour tout couple \((p,q)\) d’entiers naturels, l’expression de \(I(p,q)\) en fonction de \(p\) et \(q\), puis en déduire pour tout entier naturel \(n\), la valeur de \(I(n,n)\) en fonction de \(n\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[b_n(x)= \begin{cases} \dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2} \, x^n (1-x)^n & \text{si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ \hfill 0 \hfill & \text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Montrer que \(b_n\) peut être considérée comme une densité de probabilité.
On considère désormais une suite de variables aléatoires \(\left( X_n \right)_{n\in\mathbb{N}}\), où \(X_n\) admet \(b_n\) pour densité
Reconnaître la loi de \(X_0\).
Utiliser la première partie pour montrer que \(X_n\) possède une espérance et que \(\mathbb{E}( X_n )=\dfrac{1}{2}\).
Toujours en utilisant la première partie, montrer que \(X_n\) possède une variance et exprimer \(\mathbb{V}(X_n)\) en fonction de \(n\).
Montrer que la suite \(\left( X_n \right)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge en probabilité vers une variable certaine que l’on précisera.
On considère \(2n+1\) variables aléatoires \(U_1\), \(U_2\), \(\ldots\), \(U_{2n+1}\) définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes, et suivant toutes la loi uniforme sur \([0,1]\).
On suppose que ces variables représentent respectivement les instants d’arrivée de \(2n+1\) personnes \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\), \(A_{2n+1}\) à leur lieu commun de rendez-vous. Pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,2n+1} \right]\kern-0.15em\right]\), on note alors \(V_k\) l’instant d’arrivée de la personne arrivée la \(k^{\text{e}}\) au rendez-vous (cette personne n’étant pas forcément \(A_k\)). On admet que \(V_k\) est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi \((\Omega , \mathcal{A},\mathbb{P})\), et on note \(G_k\) sa fonction de répartition.
On note \(F_U\) la fonction de répartition commune aux variables \(U_1\), \(U_2\), \(\ldots\), \(U_{2n+1}\). Rappeler l’expression de \(F_U(x)\) selon que \(x<0\), \(0 \leqslant x \leqslant 1\) ou \(x>1\).
Écrire la variable \(V_{2n+1}\) en fonction de \(U_1\), \(U_2\), \(\ldots\), \(U_{2n+1}\).
En déduire \(G_{2n+1}(x)\) pour tout réel \(x\).
Écrire la variable \(V_{1}\) en fonction de \(U_1\), \(U_2\), \(\ldots\), \(U_{2n+1}\).
En déduire, pour tout réel \(x\), la probabilité \(P(V_1>x)\) puis déterminer \(G_1(x)\) pour tout réel \(x\).
Écrire un programme Python permettant de simuler
\(V_1\) et \(V_{2n+1}\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.
Montrer que l’on a : \[\forall x\in [0,1],\ G_{n+1}(x)=\sum_{k=n+1}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} x^k (1-x)^{2n+1-k}\]
Déterminer une densité \(g_{n+1}\) de \(V_{n+1}\) et en déduire que \(V_{n+1}\) suit la même loi que \(X_n\).
On considère le programme Python
suivant : Quelle est la valeur renvoyée par ce programme ?
Écrire un programme Python permettant de simuler
\(X_n\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
