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Soit \(f\) la fonction de \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :\[\forall (x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}, f(x,y)=x^3+y^3-3xy\]
Justifier que \(f\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbb{R}^2\).
Calculer les dérivées partielles d’ordre \(1\) de \(f\) .
Déterminer les points critiques de \(f\).
Calculer les dérivées partielles d’ordre \(2\) de \(f\) .
Vérifier que \(f\) ne présente un extremum local qu’en un de ses points critiques et préciser sa nature et sa valeur.
Cet extremum est-il global?
On note \(g\) la fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :\[\forall x \in \mathbb{R},\text{ } g(x)= f(x,1)\]
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 4, l’équation \(g(x)=n\), d’inconnue \(x\), possède une unique solution que l’on notera \(u_n\).
On note \(h\) la restriction de \(g\) à \([1,+\infty[\).
Déterminer le tableau de variation de \(h^{-1}\).
En déduire \(\displaystyle\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n\).
En déduire, en revenant à la définition de \(u_n\), le réel \(\alpha\) pour lequel on a : \(u_n \underset {n \rightarrow+\infty} {\sim} n^{\alpha}\).
Toutes les variables aléatoires rencontrées dans cet exercice sont supposées définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Vérifier que la fonction \(f\) qui à tout réel \(x\) associe \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{x^3} \,\mathrm{exp} \!\left( - \dfrac{1}{x^2} \right) & \text {si } x > 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } x \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
est continue sur \(\mathbb{R}\) puis qu’elle peut être considérée comme une densité d’une certaine variable aléatoire \(Y\).
On note \(F\) la fonction de répartition de \(Y\). Déterminer \(F(x)\) selon que \(x>0\) ou \(x \leqslant 0\).
Vérifier que la fonction \(g\) qui à tout réel \(x\) associe \[g(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{x^3} & \text {si } x \geqslant 1 \\ \hfill 0 \hfill &\text {si } x <1 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\] peut être considérée comme une densité d’une certaine variable aléatoire \(X\).
On note \(G\) la fonction de répartition de \(X\). Déterminer \(G(x)\) selon que \(x \geqslant 1\) ou \(x <1\).
On considère une suite \(\left( X_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi que \(X\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(M_n=\max(X_1, \ldots,X_n)\) et on admet que \(M_n\) est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On note \(G_n\) la fonction de répartition de \(M_n\). Exprimer \(G_n(x)\) à l’aide de la fonction \(G\) puis en déduire explicitement \(G_n(x)\) en fonction de \(x\) .
On pose \(Y_n=\dfrac{M_n}{\sqrt{n}}\). Justifier que la fonction de répartition \(F_n\) de \(Y_n\) est donnée par
\[\forall x \in \mathbb{R}, \ F_n(x)=\begin{cases} \left( 1- \dfrac{1}{nx^2} \right)^n &\text {si } x \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}} \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x <\dfrac{1}{\sqrt{n}} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Déterminer, pour tout réel \(x\) négatif ou nul, la limite de \(F_n(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Soit \(x\) un réel strictement positif. Vérifier que, dès que \(n\) est supérieur strictement à la partie entière de \(\frac{1}{x^2}\), on a : \[F_n(x)=\left( 1- \dfrac{1}{nx^2} \right)^n\]
Donner un équivalent de \(\ln(1+u)\) lorsque \(u\) est au voisinage de \(0\), puis en déduire, pour tout réel \(x\) strictement positif, la limite de \(F_n(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Conclure que la suite \(\left( Y_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont la loi est celle de \(Y\).
On considère un nombre réel \(a\) élément de \(]0,1[\) et l’endomorphisme \(f_a\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) est : \[M_a= \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1-a&a&0 \\ 0&1-a&a \end{pmatrix}\]
Donner les valeurs propres de \(M_a\).
Déterminer les sous espaces propres associés à ces valeurs propres.
En déduire que \(M_a\) n’est pas diagonalisable.
On pose \(\mathrm{I}_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\) et on note \(E\) l’espace vectoriel engendré par \(\mathrm{I}_3\), \(M_a\) et \(M_a^2\) .
Quelle est la dimension de \(E\)?
On pose \(J = \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 1&-1&0 \\ 0&1&-1 \end{pmatrix}\) et \(K = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}\).
Calculer \(JK^2\) puis en déduire \((M_a-\mathrm{I}_3)(M_a-a\mathrm{I}_3)^2\).
En déduire que \(M_a^3\) appartient à \(E\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), il existe un unique triplet de réels \((u_n,v_n,w_n)\) tel que \[\forall n \in \mathbb{N}, \ M_a^n=u_nM_a^2+v_nM_a+w_n \mathrm{I}_3\]
On donnera les valeurs de \(u_0\), \(v_0\) et \(w_0\) et on écrira les relations liant \(u_{n+1},v_{n+1},w_{n+1}\) à \(u_n,v_n\) et \(w_n\) .
En utilisant les relations précédentes, expliquer pourquoi le
programme Python qui suit ne permet pas de calculer et
d’afficher les valeurs de \(u_n,v_n\)
et \(w_n\) lorsque \(n\) et \(a\) sont entrés par l’utilisateur. On
pourra examiner attentivement la boucle for
:
Modifier la boucle de ce script en conséquence.
Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+3}= (2a+1)u_{n+2}-a(a+2)u_{n+1}+a^2u_n\).
On admet que l’on peut en déduire \(u_n\), pour tout entier naturel \(n\), sous la forme : \[u_n=\dfrac{\left( n-1 \right) a^n-na^{n+1}+1}{(a-1)^2}\]
On dit qu’une suite de matrices \(\left( A_n \right)_{n \in \mathbb{N}}\) tend vers la matrice \(A\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) si chaque coefficient de \(A_n\) tend vers le coefficient situé à la même place dans \(A\).
Il en résulte (et on admet ce résultat) que : \[\underset{n\rightarrow\infty}{\lim} M_a^n =\left( \underset{n\rightarrow\infty}{\lim} u_n \right) M_a^2 +\left( \underset{n\rightarrow\infty}{\lim} v_n \right) M_a +\left( \underset{n\rightarrow\infty}{\lim} w_n \right) \mathrm{I}_3\]
Déterminer \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim} u_n\), puis \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim} v_n\) et \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim} w_n\).
En déduire la limite \(L_a\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), de la suite \(\left( M_a^n \right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Vérifier que \(L_a^2=L_a\).
On note \(\varphi_a\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) est \(L_a\).
Montrer que :
\(\forall x \in \text{Ker} \! \left( f_a - \mathrm{id} \right), \ \varphi_a(x)=x\).
\(\forall x \in \text{Im} \! \left( f_a - \mathrm{id} \right), \ \varphi_a(x)=0\).
On dispose de deux pièces identiques donnant pile avec la probabilité \(p\), élément de \(]0,1[\), et face avec la probabilité \(q=1-p\).
Deux joueurs \(A\) et \(B\) s’affrontent lors de lancers de ces pièces de la façon suivante, les lancers de chaque pièce étant supposés indépendants :
Pour la première manche, \(A\) et \(B\) lancent chacun leur pièce simultanément jusqu’à ce qu’ils obtiennent pile, le gagnant du jeu étant celui qui a obtenu pile le premier. En cas d’égalité et en cas d’égalité seulement, les lancers suivants débutent une deuxième manche dans les mêmes conditions et avec la même règle, et ainsi de suite jusqu’à la victoire de l’un d’entre eux.
Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^*\), on note \(X_k\) (resp. \(Y_k\)) la variable aléatoire égale au rang d’obtention du premier pile par \(A\) (resp. par \(B\)) lors de la \(k\)-ième manche.
On note, toujours pour \(k\) dans \(\mathbb{N}^*\), \(E_k\) l’événement « Il y a égalité à la fin de la \(k\)-ième manche ».
On note \(E\) l’événement « Il y a perpétuellement égalité ».
On note \(G\) (resp. \(H\)) l’événement « \(A\) (resp. \(B\)) gagne à ce jeu », et pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(G_n\) (resp. \(H_n\)) l’événement « \(A\) (resp.\(B\)) gagne le jeu à la \(n\)-ième manche ».
Étude de la première manche.
Donner la loi commune à \(X_1\) et \(Y_1\). En déduire qu’il est quasi-impossible que la première manche dure éternellement. On admet alors qu’il en est de même pour chaque manche jouée.
Écrire l’événement \(E_1\) à l’aide des variables \(X_1\) et \(Y_1\).
Montrer que : \[\mathbb{P}(E_1) = \displaystyle \sum_{i=1}^{+\infty} \mathbb{P}(X_1=i) \, \mathbb{P}(Y_1=i)\]
et en déduire l’expression explicite de \(\mathbb{P}(E_1)\) en fonction de \(p\) et \(q\).
Justifier sans aucun calcul que les événements \(G_1\) et \(H_1\) sont équiprobables. En déduire la probabilité de \(G_1\) en fonction de \(p\) et \(q\).
Calcul de la probabilité de l’événement \(G\).
Écrire, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, l’événement \(G_n\) à l’aide des événements \(E_k\) et de l’événement \([ X_n < Y_n]\).
Pour entier \(k\) supérieur ou égal à 2, calculer \(\mathbb{P}_{E_1 \ldots E_{k-1}}(E_k)\) puis en déduire \[\forall n \geqslant 2 , \ \mathbb{P}(G_n)=\left(\dfrac{p}{1+q}\right)^{n-1}\dfrac{q}{1+q}\]
Vérifier que le résultat précédent reste valable pour \(n=1\).
Exprimer \(G\) en fonction des événements \(G_n\), \(n\in\mathbb{N}^\ast\), puis conclure, après calcul, que \(\mathbb{P}(G)=\dfrac{1}{2}\).
Expliquer comment obtenir la probabilisé de l’événement \(H\) : « \(B\) gagne à ce jeu » et en déduire que le ce jeu a presque sûrement une fin, c’est à dire que \(\mathbb{P}(E)=0\).
En parallèle du jeu précédent, \(A\) parie sur le fait que la manche gagnée par le vainqueur le sera par un lancer d’écart et \(B\) parie le contraire.
À l’aide du système complet d’événements \(\left( [ X_1=i ] \right)_{i \in \mathbb{N}^*}\), montrer que \(\mathbb{P}(Y_1=X_1+1 )=\dfrac{pq}{1+q}\).
En déduire la probabilité \(u\) que l’un des deux joueurs gagne à la première manche par un lancer d’écart.
Utiliser les événements \(E_k\) pour écrire l’événement \(K_n\) « l’un des deux joueurs gagne à la \(n\)-ième manche par un lancer d’écart», ceci pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\).
En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la valeur de \(\mathbb{P}( K_n )\).
Donner finalement la probabilité de l’événement \(K\): « \(A\) gagne ce pari».
On rappelle que la commande rd.geometric(p) permet à
Python de simuler une variable aléatoire suivant la loi
géométrique de paramètre \(p\).
Compléter le script Python suivant pour qu’il simule
l’expérience décrite dans la partie 1 et affiche le nom du vainqueur du
premier jeu ainsi que le numéro de la manche à laquelle il a
gagné.
Compléter la commande suivante afin qu’une fois ajoutée au script précédent elle permette de simuler le deuxième jeu et d’en donner le nom du vainqueur.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
