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Soit \(f\) la fonction définie par \[\forall(x,y,z) \in \mathbb{R}^3, \ f(x,y,z)=x \, \mathrm{e}^{x(y^2+z^2+1)}\]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^3\).
Déterminer le seul point critique \(A\) de \(f\).
Calculer les valeurs des dérivées partielles d’ordre \(2\) de \(f\) en \(A\).
Former la hessienne de \(f\) au point \(A\) et vérifier qu’elle est diagonale. Montrer que \(f\) présente un minimum local en \(A\). Préciser la valeur de ce minimum.
Montrer que, pour tout \((x,y,z)\) de \(\mathbb{R}^3\), \(f(x,y,z) \geqslant x \, \mathrm{e}^x\).
Que peut-on en déduire pour le minimum de \(f\) trouvé à la question \(3b\) ?
On souhaite étudier les extrema de \(f\) sous la contrainte linéaire \((C): \begin{cases} x=1 \\ x+y=0 \end{cases}\). Montrer que, sous la contrainte \((C)\), \(f\) présente un minimum global au point \((1,0,0)\). Quelle est sa valeur ?
On souhaite maintenant étudier les extrema de \(f\) sous la contrainte \((C') : x \left( y^2+z^2+1 \right)=1\). Montrer que \(f\) possède un maximum global sous la contrainte \((C')\). En quel point est-il atteint ? Quelle est sa valeur ?
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le segment \([0 , \theta]\) , où \(\theta\) (theta) désigne un réel strictement positif.
On note \(f\) une densité de \(X\), \(F\) sa fonction de répartition, \(\mathbb{E}(X )\) son espérance et \(\mathbb{V}(X )\) sa variance.
Rappeler l’expression explicite de \(F(x)\) en fonction de \(x\) et \(\theta\).
Donner les valeurs de \(\mathbb{E}(X )\) et \(\mathbb{V}(X )\).
Dans la suite, on suppose que le réel \(\theta\) est inconnu et on en propose deux estimateurs. Pour construire ces estimateurs, on dispose d’un échantillon \((X_1, ..., X_n)\) de la loi de \(X\), ce qui signifie que \(X_1, \ldots, X_n\) sont \(n\) variables aléatoires, définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes et de même loi que \(X\).
On pose \(Y_n =\max( X_1, X_2, \ldots, X_n)\) et on admet que \(Y_n\) est une variable aléatoire, elle aussi, définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Un programme Python commence par la
commande :
On rappelle qu’en langage Python, la commande
rd.uniform(a,b,x) renvoie une simulation de \(x\) variables aléatoires indépendantes
suivant toutes la loi uniforme sur \([a,b]\). Écrire des commandes
Python permettant d’entrer les valeurs des variables qui
sont nécessaires et de simuler \(Y_n\).
On note \(F_n\) la fonction de répartition de \(Y_n\). Pour tout réel \(x\), écrire \(F_n(x)\) à l’aide de \(F( x)\) puis déterminer explicitement \(F_n(x)\).
En déduire que \(Y_n\) est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité \(f_n\) de \(Y_n\).
Montrer que \(Y_n\) est un estimateur asymptotiquement sans biais de \(\theta\).
On pose maintenant \(Z_n =\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i\). Déterminer \(\mathbb{E}(Z_n)\) puis proposer un estimateur \(\widehat{Z_n}\), construit de façon affine à partir de \(Z_n\), et qui soit un estimateur sans biais de \(\theta\).
On dit qu’un estimateur \(T_n\) de \(\theta\) est d’ordre de convergence \(\alpha > 0\) lorsque la suite \(\left( n^\alpha (T_n-\theta) \right)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire qui n’est pas quasi-certainement nulle.
On admet que, si une suite \((R_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) de variables aléatoires qui converge en loi vers une variable aléatoire \(R\) et si \((a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) est une suite de réels qui converge vers le réel \(a\), alors la suite \((a_nR_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) converge en loi vers la variable aléatoire \(a R\).
Déduire de ce résultat l’unicité de l’ordre de convergence d’un estimateur (on pourra raisonner par l’absurde en supposant qu’un estimateur \(T_n\) de \(\theta\) possède deux ordres distincts, \(\alpha\) et \(\beta\), avec par exemple \(0 < \alpha < \beta\)).
On considère, dans cette question, une variable aléatoire \(T\) suivant la loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{\theta}\) et on pose \(Y=-T\). Déterminer la fonction de répartition, que l’on notera \(F_Y\) de \(Y\).
Justifier que, pour tout réel \(x\) positif ou nul, on a \(\mathbb{P}(n \left( Y_n-\theta \right) \leqslant x )=1\).
Montrer que, pour tout réel \(x\) strictement négatif et pour tout entier naturel \(n\) supérieur à \(-\frac{x}{\theta}\), on a l’égalité \[\mathbb{P}(n \left( Y_n-\theta \right) ) \leqslant x ) = \left(1+\frac{x}{n\theta} \right)^n\]
Établir enfin que \(\left( Y_n-\theta \right)\) converge en loi vers la variable aléatoire \(Y\). Conclure quant à l’ordre de convergence de \(Y_n\).
Justifier que \(\widehat{Z_n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (2X_i)\), où \(\widehat{Z_n}\) est l’estimateur présenté à la troisième question.
On pose : \[\widehat{Z_n}^*= \sqrt{n}\, \frac{\widehat{Z_n}-\mathbb{E}(2X)}{\sqrt{\mathbb{V}(2X)}}\]
En appliquant le théorème limite central à la suite de variables aléatoires \((2X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\), montrer que \((\widehat{Z_n}^*)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(Z\) dont on précisera la loi.
Vérifier que : \[\widehat{Z_n}^*=\frac{\sqrt{3n}}{\theta} \left( \widehat{Z_n} -\theta \right)\]
et en déduire que \(\left( \sqrt{n} \left( \widehat{Z_n}-\theta \right) \right)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(\mathcal{N} \! \left( 0, \frac{\theta^2}{3} \right)\). Donner l’ordre de convergence de \(\widehat{Z_n}\).
Dans tout l’exercice, on désigne par \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) (\(n \geqslant 2\)), on note \(\mathrm{Id}\) l’endomorphisme identité de \(E\) et \(\theta\) l’endomorphisme nul de \(E\). Pour tout endomorphisme \(f\) de \(E\), on appelle trace de \(f\), le réel, noté \(\mathrm{Tr}( f )\), égal à la trace de n’importe laquelle des matrices représentant \(f\).
On admet que l’application trace, ainsi définie, est une forme linéaire sur \(\mathcal{L}(E)\).
On considère un projecteur \(p\) de \(E\), c’est-à-dire un endomorphisme de \(E\) tel que \(p \circ p = p\).
Montrer que : \(E = \mathrm{Ker}( p) \oplus \mathrm{Im}( p)\).
Établir que : \(\mathrm{Im}( p) = \mathrm{Ker}( Id - p)\).
En déduire que \(p\) est diagonalisable et que l’on a : \[\mathrm{rg}( p) = \mathrm{Tr}( p)\]
Montrer par récurrence sur \(k\) (\(k \in \mathbb{N}^*\)) que, si \(E_1 , \ldots ,E_k\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\),alors on a l’inégalité : \[\dim(E_1 + \cdots + E_k ) \leqslant \dim(E_1) + \ldots + \dim(E_k)\]
Soit un entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(2\). On considère des projecteurs de \(E\), notés \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) et on note \(q_k=p_1+p_2+ \ldots + p_k\).
Montrer que si, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i \neq j\), on a \(p_i \circ p_j= \theta\), alors \(q_k\) est un projecteur.
On suppose dans toute la suite que \(q_k\) est un projecteur et on souhaite montrer que, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i \neq j\), on a \(p_i \circ p_j=\theta\).
Montrer que \(\mathrm{Im}(q_k)\) est inclus dans \(\mathrm{Im}(p_1)+ \ldots + \mathrm{Im}(p_k)\).
Établir, grâce aux résultats de la partie \(1\), que : \[\mathrm{rg}(q_k)= \dim(\mathrm{Im}(p_1)+ \ldots + \mathrm{Im}(p_k))\]
puis en déduire que : \[\mathrm{Im}(q_k)=\mathrm{Im}(p_1)+ \ldots + \mathrm{Im}(p_k)\]
Établir finalement l’égalité : \[\mathrm{Im}(q_k)=\mathrm{Im}(p_1)\oplus \ldots \oplus \mathrm{Im}(p_k)\]
Montrer que, pour tout \(j\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]\), on a l’égalité \(q_k\circ p_j=p_j\).
En déduire que, pour tout \(j\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \[\forall x \in E, \ \sum_{\substack{i=1 \\ i\neq j}}^k p_i \left(p_j(x)\right)=0\]
Montrer alors que, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,k} \right]\kern-0.15em\right]^2\) tel que \(i\neq j\), on a : \(p_i \circ p_j=\theta\).
Conclure quant à l’objectif de cette partie.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(u_n= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)\).
Compléter le script Python suivant pour qu’il
calcule et affiche \(u_n\) pour une
valeur de \(n\) entrée par
l’utilisateur
Justifier que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, on a : \[\frac{1}{k+1} \leqslant \ln(k+1)-\ln(k) \leqslant \frac{1}{k}\]
Utiliser la question précédente pour montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on a: \[0 \leqslant u_n \leqslant 1\]
Dans cette question, \(x\) désigne un réel élément de \([0,1 [\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et pour tout \(t\) de \([0, x]\), simplifier la somme \(\sum\limits_{p=1}^n t^{p-1}\).
En déduire que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), on a \[\sum_{p=1}^n \frac{x^p}{p} = -\ln(1-x) - \int_0^x \frac{t^n}{1-t} \, \mathrm{d} t\]
Montrer que \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \int_0^x \frac{t^n}{1-t} \, \mathrm{d} t=0\).
Établir alors que la série de terme général \(\frac{x^p}{p}\) est convergente et que \[\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{x^p}{p} = -\ln(1-x)\]
On considère deux suites réelles \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et \((b_n)_{n \in \mathbb{N}}\) à termes positifs et on suppose que les séries de termes généraux \(a_n\) et \(b_n\) sont convergentes, de somme respectives \(A=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n\) et \(B=\sum\limits_{n=1}^{+\infty} b_n\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(c_n=\sum\limits_{k=1}^n a_kb_{n-k}\).
Montrer que: \[\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \sum_{k=1}^n c_k \leqslant \left( \sum_{k=1}^n a_k \right) \! \! \left( \sum_{k=0}^n b_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^{2n} c_k\]
En déduire que la série de terme général \(c_n\) converge et que l’on a : \[\sum_{n=1}^{+\infty} c_n= \left( \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \right)\! \! \left( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \right)\]
Soit \(x\) un réel élément de \([0,1[\). On suppose dans cette question que l’on a \(a_k=\frac{x^k}{k}\) (\(k \in \mathbb{N}^*\)) et \(b_k=x^k\) (\(k \in \mathbb{N}\)).
Justifier rapidement que les séries de termes généraux \(a_n\) et \(b_n\) sont convergentes et à termes positifs.
Compléter le script Python suivant pour qu’il
calcule et affiche la valeur de \(c_n\)
pour une valeur de \(n\) entrée par
l’utilisateur.
Donner l’expression de \(c_n\) sous forme d’une somme.
Dans cette partie on désigne toujours par \(x\) un réel \([0;1[\).
Utiliser la troisième question du préliminaire pour établir que : \[\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) \! x^n= \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \right) \! \! \left( \sum_{n=0}^{+\infty} x^n \right)\]
En déduire que : \[\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) \! x^n = \frac{-\ln(1-x)}{1-x}\]
Montrer que, pour tout réel \(u\) strictement positif, on a : \(\ln(u) \leqslant u\).
En déduire que la série de terme général \((\ln(n))x^n\), avec \(n \geqslant 1\), est convergente.
On pose : \(f(x) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (\ln(n))x^n\).
Établir, en utilisant le résultat de la question 1c que : \[\frac{-\ln(1-x)}{1-x} -\frac{x}{1-x} \leqslant f(x) \leqslant \frac{-\ln(1-x)}{1-x}\]
Montrer finalement l’équivalent suivant : \(f(x) \underset{1^-}{\sim} \frac{-\ln(1-x)}{1-x}\).
Étudier les variations de la fonction \(f\).
Dresser le tableau de variations de \(f\) (valeur en \(0\) et limite en \(1^-\) comprises).
En remarquant que \(f(x)=\sum\limits_{n=2}^{+\infty} (\ln(n)) x^n\), montrer que l’on a \(0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{(1-x)^2}-x\).
En déduire que \(f\) est continue à droite en \(0\) et dérivable à droite \(0\). Donner la valeur du nombre dérivée à droite en \(0\) de \(f\).
On admet que \(f\) est continue sur \([0,1[\). Donner la nature de l’intégrale \(\displaystyle \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d} x\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
