EDHEC 2020Maths appliquées

Exercice 1

On note \({}^t\!B\) la transposée d’une matrice \(B\) et on rappelle que la transposition est une application linéaire.

On dit qu’une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est antisymétrique lorsqu’elle vérifie \({}^t\!M=-M\) et on note \(\mathscr{A}_{n}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices antisymétriques.

1. Montrer que \(\mathscr{A}_{n}(\mathbb{R})\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).

   On considère une matrice \(A\) fixée de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et l’application \(f,\) qui à toute matrice \(M\) de \(\mathscr{A}_{n}(\mathbb{R})\) associe: \[f(M)= {}^t\!A M+M A\]

2. 1. Soit \(M\) une matrice de \(\mathscr{A}_{n}(\mathbb{R})\). Établir que \(f(M)\) est une matrice antisymétrique.

   2. En déduire que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{A}_{n}(\mathbb{R})\).

3. Dans toute la suite, on étudie le cas \(n=3\) et on choisit \(A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\).

   On considère les trois matrices : \[J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},\quad K=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad L=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}\]

   1. Montrer que la famille \(\mathscr{B}=(J, K, L)\) est une famille génératrice de \(\mathscr{A}_{3}(\mathbb{R})\).

   2. Montrer que \(\mathcal{B}\) est une famille libre et en déduire la dimension de \(\mathscr{A}_{3}(\mathbb{R})\).

4. 1. Calculer \(f(J), f(K)\) et \(f(L),\) puis les exprimer comme combinaisons linéaires de \(J\) et \(L\) seulement. Les calculs devront figurer sur la copie.

   2. En déduire une base de \(\operatorname{Im}(f)\) ne contenant que des matrices de \(\mathcal{B}\).

   3. Déterminer la dimension de \(\operatorname{Ker}(f)\) puis en donner une base.

5. 1. Écrire la matrice \(F\) de \(f\) dans la base \(B\). On vérifiera que ses coefficients sont tous dans \(\{-1 , 0\}\).

   2. Déterminer les valeurs propres de \(F\).

   3. On note \(\mathrm{I}_3\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Déterminer le rang de \(F+ \mathrm{I}_3\) et dire si \(F\) est ou n’est pas diagonalisable.

Exercice 2

On considère une variable aléatoire \(X\) suivant la loi normale \(\mathcal{N} (0, \sigma^{2} ),\) où \(\sigma\) est strictement positif. On rappelle que la fonction \(f_{X}\) qui à tout réel \(x\) associe \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}\right)\) est une densité de \(X\) et on note \(F_{X}\) la fonction de répartition de \(X\), définie par: \[\forall x \in \mathbb{R}, \ F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x} f_{X}(t) \, \mathrm{d} t\]

1. Montrer que : \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(F_{X}(-x) =1-F_{X}(x)\).

2. On pose \(Y=|X|\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire.

   1. Montrer que la fonction de répartition de \(Y\) est la fonction, notée \(F_{Y},\) définie par: \[F_{Y}(x)=\begin{cases} 2 F_{X}(x)-1 &\text {si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text {si } x<0 \end{cases}\]

   2. En déduire que \(Y\) est une variable à densité et donner une densité \(f_{Y}\) de \(Y\).

   3. Montrer que \(Y\) possède une espérance et que l’on a : \(\mathbb{E}(Y)=\sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}\).

3. On suppose, dans cette question seulement, que \(\sigma\) est inconnu et on se propose de l’estimer.

   Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(1\). On considère un échantillon \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\right)\) composé de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, et ayant toutes la même loi que \(Y\).

   On note \(S_{n}\) la variable aléatoire définie par : \[S_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}\]

   1. Montrer que \(S_{n}\) est un estimateur de \(\sigma,\) donner la valeur de \(\mathbb{E}(S_n-\sigma)\), puis proposer un estimateur de \(\sigma\), que l’on notera \(T_{n}\), construit de façon affine à partir de \(S_{n}\) et tel que \(\mathbb{E}(T_n) = \sigma\).

   2. Rappeler la valeur de \(\mathbb{E}(X^2)\) puis déterminer \(\mathbb{E}(Y^{2} )\), \(\mathbb{V}(Y)\) et \(\mathbb{V}(S_{n} )\).

   3. Calculer la variance de \(T_n\) et en déduire que : \[\forall \varepsilon \in\mathbb{R}_+^\ast,\ \lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}\! \left( \left| T_n - \sigma \right| \geqslant \varepsilon \right) = 0\]

4. On rappelle qu’en Python, si \(i\) et \(j\) désignent deux entiers naturels non nuls, la commande rd.normal(m,s,i) renvoie un tableau à \(i\) coefficients, qui sont des simulations de \(i\times j\) variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi normale d’espérance \(m\) et de variance \(s^{2}\).

   Compléter le script Python suivant afin qu’il permette de simuler les variables aléatoires \(S_{n}\) et \(T_{n}\) pour des valeurs de \(n\) et \(\sigma\) entrées par l’utilisateur.

Exercice 3

Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(p\) un réel de \(] 0 , 1[\). On pose \(q=1-p\). On dispose de deux urnes, l’urne \(U\) qui contient \(n\) boules numérotées de 1 à \(n\) et l’urne \(V\) qui contient des boules blanches en proportion \(p\).
On pioche une boule au hasard dans \(U\) et on note \(X\) la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée.
Si \(X\) prend la valeur \(k\), on pioche \(k\) boules dans \(V\), une par une, avec remise à chaque fois de la boule tirée, et on appelle \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

1. Dans le cas où \(n=1,\) reconnaître la loi de \(Y\).

   On revient au cas général.

2. Reconnaître la loi de \(X\) et donner son espérance et sa variance.

3. Soit \(k\) un élément de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\). Reconnaître la loi de \(Y\), conditionnellement à l’événement \([X=k]\), et en déduire, en distinguant les cas \(0 \leqslant i \leqslant k\) et \(k<i\), la probabilité \(\mathbb{P}_{[X=k]}(Y=i)\).

4. Compléter le script Python suivant afin qu’il permette de simuler les variables \(X\) et \(Y\).

5. 1. Justifier que l’ensemble \(Y(\Omega)\) des valeurs prises par \(Y\) est égal à \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), puis montrer que : \[\mathbb{P}(Y=0)=\frac{q\left(1-q^{n}\right)}{n \left( 1-q \right)}\]

   2. Écrire, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la probabilité \(\mathbb{P}(Y=i)\) sous forme d’une somme de \(n-i+1\) termes que l’on ne cherchera pas à simplifier.

6. 1. Soit \(i\) et \(k\) deux entiers naturels tels que \(1 \leqslant i \leqslant k \leqslant n\). Montrer l’égalité : \[i \binom ki = k \binom{k-1}{i-1}\]

   2. Établir ensuite que \(Y\) possède une espérance et que celle-ci est donnée par: \[\mathbb{E}(Y)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(k \sum_{i=1}^{k} \binom{k-1}{i-1} p^{i} q^{k-i}\right)\]

   3. En déduire que \(\mathbb{E}(Y)=\frac{(n+1) p}{2}\)

7. 1. Établir que: \[\forall n \geqslant 2, \ \mathbb{E}(Y(Y-1))=\frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n}\left( k \left( k-1 \right) \sum_{i=2}^{k} \binom{k-2}{i-2} p^{i} q^{k-i}\right)\]

   2. Montrer que l’on a : \[\forall n \geqslant 2, \ \mathbb{E}(Y(Y-1))=\frac{\left(n^{2}-1\right) p^{2}}{3}\]

   3. Vérifier que cette expression reste valable pour \(n=1\).

   4. Exprimer, sans chercher à la calculer, la variance de \(Y\) en fonction de \(\mathbb{E}(Y(Y-1))\) et \(\mathbb{E}(Y)\).

Problème

On convient que, pour tout réel \(x,\) on a \(x^{0}=1\)

1. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), justifier l’existence des intégrales: \[I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{(1+x)^{2}} \,\mathrm{d}x\quad \text{et} \quad J_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \,\mathrm{d}x\]

2. Calculer \(I_{0}\) et \(I_{1}\).

3. 1. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N},\) calculer \(I_{n+2}+2 I_{n+1}+I_{n}\).

   2. En déduire \(I_{2}\).

   3. Compléter le script Python suivant pour qu’il permette le calcul de \(I_{n}\) (dans la variable b) et son affichage pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur :

4. 1. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ 0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}\]

   2. En déduire que la suite \(\left(I_{n}\right)\) est convergente et donner sa limite.

5. Établir, à l’aide d’une intégration par parties, que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ I_{n}=n J_{n-1}-\frac{1}{2}\]

6. 1. Calculer \(J_{0}\) puis exprimer, pour tout entier naturel \(n,\) \(J_{n}+J_{n+1}\) en fonction de \(n\).

   2. En déduire la valeur de \(J_{1}\).

7. En utilisant les questions 5 et 6, compléter le script Python suivant afin qu’il permette le calcul et l’affichage de \(I_{n}\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur :

8. Établir que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ J_{n}=(-1)^{n}\left[ \ln (2) -\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\right]\]

9. 1. Utiliser les questions 4 et 5 pour déterminer la valeur de \(\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} J_{n}\).

   2. En déduire la nature de la série de terme général \(\frac{(-1)^{k-1}}{k}\) ainsi que la valeur de \(\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\).

   3. Utiliser la question 5 pour déterminer un équivalent de \(J_{n},\) du type \(\frac{1}{\alpha n},\) avec \(\alpha>0,\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).

10. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*},\) on pose : \(u_{n}=\ln (2) -\sum\limits_{j=1}^{n} \frac{(-1)^{j-1}}{j}\).

    1. Déduire des questions précédentes un équivalent de \(u_{n}\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).

    2. Montrer que la série de terme général \(\frac{(-1)^{n}}{2 n}\) est convergente. Peut-on en déduire la nature de la série de terme général \(u_{n} ?\)

11. On se propose, malgré l’impasse précédente, de montrer que la série de terme général \(u_{n}\) est convergente.

    Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose \(S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n} u_{k}\).

    1. Justifier que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, on a : \[u_{k}= \left( k+1 \right) u_{k+1}-k u_{k}+(-1)^{k}\]

    2. En déduire l’égalité suivante: \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ S_{n}= \left( n+1 \right) u_{n+1}-u_{1}-\frac{1-(-1)^{n}}{2}\]

    3. Montrer alors que : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{2 n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} S_{2 n+1}=\frac{1}{2}-\ln (2 )\] Conclure.

12. Des trois résultats suivants, expliquer lequel on vient de démontrer.
    

    • \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{k} \frac{(-1)^{j-1}}{j}=\frac{1}{2}-\ln (2)\).

    • \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{j-1}}{j}=\frac{1}{2}-\ln (2\).

    • \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \sum_{j=k+1}^{+\infty} \frac{(-1)^{j-1}}{j}=\frac{1}{2}-\ln( 2)\).