Connectez-vous pour consulter le corrigé.
On note \(\mathrm{\mathrm{Id}}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^3\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est : \[A=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&3&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}\]
Déterminer un polynôme annulateur de \(A\) qui soit de degré 2.
En déduire les deux valeurs propres possibles \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) de \(A\) (avec \(\lambda_1<\lambda_2\)).
En Python, la commande
r=al.rank(M) (utilisant la bibliothèque
numpy.linalg) renvoie dans la variable
r le rang de la matrice \(M\). On a saisi :
Python a renvoyé :
Que peut-on conjecturer quant aux valeurs propres de \(f\) et à la dimension des sous-espaces propres associés?
Donner une base de chacun des noyaux \(\mathrm{Ker}(f-\lambda_1\mathrm{Id})\) et \(\mathrm{Ker}(f-\lambda_2\mathrm{Id})\).
Justifier qu’il existe une base \((u_1,v_1,v_2)\) de \(\mathbb{R}^3\), où \((u_1,v_1)\) est une base de \(\mathrm{Ker}(f-\lambda_1\mathrm{Id})\) et \((v_2)\) une base de \(\mathrm{Ker}(f-\lambda_2\mathrm{Id})\). On choisira ces vecteurs de façon que leurs composantes soient des entiers naturels les plus petits possible, la dernière composante de \(u_1\) et la première de \(v_1\) étant nulles.
On note \(x=(a,b,c)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb{R}^3\). Déterminer, en fonction de \(a,~b\) et \(c\) les coordonnées de \(x\) dans la base \((u_1,v_1,v_2)\).
Soit \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que \(n\geqslant p\geqslant 2\), \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(f\) un endomorphisme diagonalisable de \(E\) ayant \(p\) valeurs propres, \(\lambda_1,~\lambda_2,~\ldots,~\lambda_p\), deux à deux distinctes.
On se propose de déterminer la décomposition de chaque vecteur \(x\) de \(E\) sur la somme directe \(\displaystyle \bigoplus_{k=1}^p\mathrm{Ker}(f-\lambda_k\mathrm{Id})\), où \(\mathrm{Id}\) désigne l’endomorphisme identité de \(E\).
Soit \(\mathcal B\) une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est une matrice diagonale \(D\).
En notant \(\mathrm{I}_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\), montrer que : \[(D-\lambda_1\mathrm{I}_n)(D-\lambda_2\mathrm{I}_n)\ldots(D-\lambda_p\mathrm{I}_n)=0_{\mathcal M_n(\mathbb{R})}\]
En déduire un polynôme annulateur de \(f\).
Pour chaque \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on définit le polynôme \(\displaystyle L_k\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ L_k(x) =\prod_{\underset{j\neq k}{j=1}}^p\frac{x-\lambda_j}{\lambda_k-\lambda_j}\]
En distinguant les cas \(i=k\) et \(i\neq k\), calculer \(L_k(\lambda_i)\).
Montrer que \((L_1,L_2,\ldots,L_p)\) est une base de \(\mathbb{R}_{p-1}[x]\).
Établir alors que : \[\forall P\in\mathbb{R}_{p-1}[x], \ P=\sum_{k=1}^p P(\lambda_k)L_k\]
En déduire que \(\displaystyle \sum_{i=1}^p L_i=1\).
Montrer que, pour tout \(x\) de \(E\), \(L_k(f)(x)\) appartient à \(\mathrm{Ker}(f-\lambda_k\mathrm{Id})\), où \(L_k(f)(x)\) désigne l’image du vecteur \(x\) de \(E\) par l’endomorphisme \(L_k(f)\).
En déduire la décomposition cherchée.
Vérifier que cette dernière décomposition redonne celle obtenue pour l’endomorphisme \(f\) de la partie 1, si l’on choisit \(n=3\), \(E=\mathbb{R}^3\) et \(p=2\).
On rappelle que la fonction arc tangente, notée Arctan, est la bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \(\displaystyle \left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[\) et qu’elle est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
Rappeler l’expression, pour tout réel \(x\), de \(\mathrm{Arctan}'(x)\).
Donner la valeur de de \(\mathrm{Arctan}(1)\) puis montrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a: \[\mathrm{Arctan}(x)+\mathrm{Arctan}\left(\frac1x\right)=\frac\pi2\]
Justifier l’équivalent suivant: \[\mathrm{Arctan}(x) \;\underset{x\to 0}{\sim}\; x\]
Vérifier que la fonction \(f\) qui à tout réel \(x\) associe \(f(x)=\frac1{\pi(x^2+1)}\) peut-être considérée comme une densité d’une certaine variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).
Vérifier que la fonction \(g\) qui à tout réel \(x\) associe \[g(x)=\begin{cases}\displaystyle \frac1{x^2} \, \mathrm{e}^{-1/x} &\text{si }x>0\\ \hfill 0 \hfill &\text{si }x\leqslant 0\end{cases}\] peut être considérée comme une densité d’une certaine variable aléatoire \(T\) à valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Déterminer la fonction de répartition \(G\) de \(T\).
On considère une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables
aléatoires, définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\),
mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que \(X\).
Pour tout entier naturel \(n\) non nul,
on pose \(M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)\) et
on admet que \(M_n\) est une variable
aléatoire, définie elle aussi sur l’espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_{M_n}\) de \(M_n\).
On pose, pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), \(Y_n=\frac\pi n \, M_n\). Justifier que la fonction de répartition de \(Y_n\), notée \(G_n\), est donnée par: \[\forall x\in\mathbb{R},\ G_n(x)=\left[ \frac1\pi \, \mathrm{Arctan}\! \left(\frac{nx}\pi\right)+\frac12\right]^n\]
Déterminer, pour tout \(x\) négatif ou nul, la valeur de \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}G_n(x)\).
Montrer que, pour tout \(x\) strictement positif, on a: \[G_n(x)=\left[ 1-\frac1\pi \, \mathrm{Arctan}\! \left(\frac\pi{nx}\right)\right]^n\]
En déduire pour tout \(x\) strictement positif, la valeur de \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}G_n(x)\).
Déduire des questions précédentes que la suite de variables aléatoires \((Y_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge en loi vers \(T\).
Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier naturel non nul.
On se place dans un espace euclidien \(E\) de dimension \(n\) et on note \(\mathcal B=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base orthonormale de \(E\).
Le produit scalaire des vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) est noté \(\left \langle x, y \right \rangle\) et la norme de \(x\) est notée \(\left\| x \right\|\).
Dans toute cette partie, \(u\) désigné un endomorphisme de \(E\).
On se propose de montrer qu’il existe un unique endomorphisme de \(E\), noté \(u^\ast\), qui à tout vecteur \(y\) de \(E\) associe le vecteur \(u^\ast(y)\) vérifiant: \[\forall x\in E, \ \left \langle u(x), y \right \rangle = \left \langle x, u^\ast(y) \right \rangle\]
Montrer que si \(u^\ast\) existe, alors on a, pour tout \(y\) de \(E\) : \[u^\ast(y)=\sum_{i=1}^n \left \langle u(e_i), y \right \rangle e_i\]
En déduire que si \(u^\ast\) existe, alors \(u^\ast\) est unique.
Vérifier que l’application \(u^\ast\) définie par l’égalité établie à la question 1a est effectivement un endomorphisme de \(E\).
Conclure que cette application est solution du problème posé, c’est-à-dire que c’est l’unique endomorphisme de \(E\), appelé adjoint de \(u\), vérifiant : \[\forall x\in E, \ \left \langle u(x), y \right \rangle = \left \langle x, u^\ast(y) \right \rangle\]
On dit que \(u\) est un endomorphisme normal quand on a l’égalité : \[u\circ u^\ast=u^\ast\circ u\]
Soit \(f\) un endomorphisme symétrique de \(E\). Donner son adjoint et vérifier que \(f\) est normal.
Dans la suite, \(u\) désigne un endomorphisme normal
Montrer que : \(\forall x\in E,\ \|u(x)\|=\|u^\ast(x)\|\).
En déduire que : \(\text{Ker}(u)=\text{Ker}(u^\ast)\).
Montrer que si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(u\), alors \(F^\perp\) est stable par \(u^\ast\).
On suppose que \(u\) possède une valeur propre \(\lambda\) et on note \(E_\lambda\) le sous espace propre associé.
Montrer que \(E_\lambda\) est stable par \(u^\ast\).
Établir que \((u^\ast)^\ast=u\) puis en déduire que \(E_\lambda^\perp\) est stable par \(u\).
Dans cette partie, \(n\) désigne un entier naturel non nul. On considère une variable aléatoire \(X\) prenant ses valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et on appelle fonction génératrice de \(X\), la fonction \(G\) définie par: \[\forall t\in\mathbb{R},~G(t)=\sum_{k=1}^n \mathbb{P}(X=k) \, t^k\]
Calculer \(G(1)\).
Exprimer l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) de \(X\) à l’aide de la fonction \(G\).
Établir la relation : \(\mathbb{V}(X)=G''(1)+G'(1)-\left[ G'(1) \right]^2\).
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\) : \[\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\frac1k \quad \text{et} \quad \displaystyle h_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\]
Justifier que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, on a : \[\displaystyle \frac1{k+1}\leqslant \ln(k+1)-\ln (k) \leqslant \frac1k\]
Montrer alors que : \[\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\backslash\{1\},\ \ln (n) +\frac1n \leqslant u_n\leqslant \ln( n)+1\]
En déduire un équivalent très simple de \(u_n\) lorsque \(n\) est au voisinage de \(+\infty\).
Montrer que la suite \((h_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est convergente.
Dans cette partie, \(n\) désigne toujours un entier naturel non nul.
On rappelle que, si \(a\) et
\(b\) sont des entiers tels que \(a<b\), la commande
rd.randint(a,b+1) permet à
Python de simuler une variable aléatoire
suivant la loi uniforme discrète sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b}
\right]\kern-0.15em\right]\).
Compléter le script suivant pour que les lignes (8), (9) et (10)
permettent d’échanger les contenus des variables
A[j] et A[p].
import numpy.random as rd
import numpy as np
n=int(input("Entrez une valeur pour n:"))
A=np.arange(1,n+1)
p=n-1
for k in range(0,n):
j=rd.randint(0,p+1)
aux=.............
A[j]=.............
A[p]=.............
p=p-1
print(A)On suppose dorénavant qu’après exécution du script précédent
correctement complété, le vecteur A est rempli
de façon aléatoire par les entiers de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n}
\right]\kern-0.15em\right]\) de telle sorte que les \(n!\) permutations soient équiprobables.
On considère alors les commandes Python
suivantes (exécutées à la suite du script précédent) :
Expliquer pourquoi, à la fin de la boucle
for, la variable m
contient la valeur \(n\).
Quel est le contenu de la variable \(c\) affiché à la fin de ces commandes?
Dans la bibliothèque numpy de
Python, l’instruction
np.where(test) permet de trouver à quelle(s)
place(s) se trouvent les éléments d’une matrice satisfaisant au test
proposé.
Compléter le script Python ci-dessous afin
qu’il renvoie et affiche le contenu de la variable
c étudiée plus haut :
On admet que les contenus des variables
A[0], A[1], \(\ldots\), A[n-1]
sont des variables aléatoires notées \(A_0,A_1,\ldots,A_{n-1}\) et que le nombre
d’affectations concernant la variable informatique \(c\) effectuées au cours du script présenté
au début de la question 7, y compris la première, est aussi une variable
aléatoire, notée \(X_n\).
On suppose que ces variables aléatoires sont toutes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On note \(G_n\) la fonction génératrice de \(X_n\), \(E_n\) son espérance et \(V_n\) sa variance.
Donner la loi de \(X_1\).
Montrer que \(X_n(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Déterminer \(\mathbb{P}(X_n=1)\) et \(\mathbb{P}(X_n=n)\). En déduire les lois de \(X_2\) et \(X_3\).
En considérant le système complet d’événements \(([ A_{n-1}=n],[A_{n-1}<n])\), montrer que: \[\forall n\geqslant 2, \ \forall j\in \left[\kern-0.15em\left[ {2,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X_n=j)=\frac1n \, \mathbb{P}(X_{n-1}=j-1)+\frac{n-1}n \, \mathbb{P}(X_{n-1}=j)\]
Donner la loi de \(X_4\).
Vérifier que la formule obtenue à la question 9c reste valable pour \(j=1\).
Établir la relation: \[\forall n\geqslant 2,\ \forall t\in\mathbb{R},\ G_n(t)=\frac{t+n-1}n \, G_{n-1}(t)\qquad (\ast)\]
En déduire que: \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,~\forall t\in\mathbb{R},~G_n(t)=\frac1{n!}\prod_{j=0}^{n-1}(t+j)\]
En dérivant la relation \((\ast)\), trouver une relation entre \(E_n\) et \(E_{n-1}\) puis montrer que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,~E_n=u_n\]
Recherche d’un équivalent de \(V_n\).
En dérivant une deuxième fois la relation \((\ast)\), montrer que: \[\forall n\geqslant 2,~V_n-V_{n-1}=\frac1n-\frac1{n^2}\]
En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(V_n\) en fonction de \(u_n\) et \(h_n\).
Montrer que \(V_n \underset{n\to+\infty}{\sim}\ln (n)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.