EDHEC 2019Maths appliquées

Exercice 1

On considère les matrices \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \mathrm{\mathrm{I}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

On note \(\mathcal{B} = (e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\), \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont \(A\) est la matrice relativement à la base \(\mathcal{B}\) et \(\mathrm{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice est \(\mathrm{\mathrm{I}}\).

1. 1. Déterminer \((A-\mathrm{I})^2\).

   2. En déduire que \(A\) est inversible et écrire \(A^{-1}\) comme combinaison linéaire de \(\mathrm{I}\) et \(A\).

2. On pose \(A = N+\mathrm{I}\).

   1. Exprimer pour tout entier naturel \(n\), la matrice \(A^n\) comme combinaison linéaire de \(\mathrm{I}\) et \(N\), puis l’écrire comme combinaison linéaire de \(\mathrm{I}\) et \(A\).

   2. Vérifier que l’expression précédente est aussi valable pour \(n=-1\).

3. 1. Utiliser la première question pour déterminer la seule valeur propre de \(A\).

   2. En déduire si \(A\) est ou n’est pas diagonalisable.

4. On pose \(u_1 = (f-\mathrm{Id})(e_1)\) et \(u_2 =e_1+e_3\).

   1. Montrer que le rang de \(f-\mathrm{Id}\) est égal à \(1\).

   2. Justifier que \((u_1,u_2)\) est une base de \(\mathrm{Ker}(f-\mathrm{Id})\).

5. 1. Montrer que la famille \((u_1,u_2,e_1)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).

   2. Déterminer la matrice \(T\) de \(f\) dans cette même base.

6. Soit la matrice \(P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\). Justifier l’inversibilité de \(P\) puis écrire la relation existant entre les matrices \(A\), \(T\), \(P\) et \(P^{-1}\).

7. On note \((E_{1,1}, E_{1,2}, E_{1,3}, E_{2,1}, E_{2,2}, E_{2,3}, E_{3,1}, E_{3,2}, E_{3,3})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et on rappelle que, pour tout \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]^2\), la matrice \(E_{i,j}\) n’a que des coefficients nuls sauf celui situé à l’intersection de la \(i\)-ème ligne et de la \(j\)-ème colonne qui vaut \(1\).

   1. Montrer que l’ensemble \(E\) des matrices \(M\) qui commutent avec \(T\), c’est-à-dire des matrices vérifiant l’égalité \(MT=TM\), est le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) engendré par la famille \((E_{1,1}+E_{3,3}, E_{1,2}, E_{1,3}, E_{2,2}, E_{2,3})\). Vérifier que la dimension de \(E\) est égale à \(5\).

   2. Soit \(N\) une matrice quelconque de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Établir l’équivalence : \[NA=AN \Longleftrightarrow (P^{-1}NP)T = T(P^{-1}NP)\]

   3. En déduire que l’ensemble \(F\) des matrices qui commutent avec \(A\) est le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) engendré par la famille : \((\mathbb{P}(E_{1,1}+E_{3,3})P^{-1}, PE_{1,2}P^{-1}, PE_{1,3}P^{-1}, PE_{2,2}P^{-1}, PE_{2,3}P^{-1})\).

Exercice 2

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(3\).

Une urne contient une boule noire non numérotée et \(n-1\) boules blanches, dont \(n-2\) portent le numéro \(0\) et une porte le numéro \(1\). On extrait ces boules au hasard, une à une, sans remise, jusqu’à l’apparition de la boule noire.

Pour chaque \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(B_i\) l’événement : « le \(i\)-ème tirage donne une boule blanche», on pose \(\overline{B_i} = N_i\) et on note \(X\) la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la boule noire.

1. Donner l’ensemble \(X(\Omega)\) des valeurs que peut prendre la variable \(X\).

2. 1. Pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {2,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), justifier que \(\mathbb{P}_{B_1\cap \ldots \cap B_{i-1}}(B_i) = \dfrac{n-i}{n-i+1}\).

   2. Utiliser la formule des probabilités composées pour trouver \(\mathbb{P}(X=k)\), pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\).

   3. Reconnaître la loi de \(X\) et donner son espérance et sa variance.

3. On note \(Y\) la variable aléatoire qui vaut \(1\) si la boule numérotée \(1\) a été piochée lors de l’expérience précédente, et qui vaut \(0\) sinon.

   1. Pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\), montrer, toujours grâce à la formule des probabilités composées, que : \[\mathbb{P}( [X=k]\cap [Y=0] ) = \dfrac{n-k}{n\left( n-1 \right)}\]

   2. En déduire \(\mathbb{P}(Y=0)\).

   3. Reconnaître la loi de \(Y\) et donner son espérance et sa variance.

4. Simulation informatique.

   On rappelle qu’en Python, la commande rd.randint(a,b+1) (utilisant la bibliothèque numpy.random) simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {a,b} \right]\kern-0.15em\right]\).

   1. Compléter le script Python suivant afin qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice et affiche la valeur prise par la variable aléatoire \(X\).

      On admettra que la boule noire est codée tout au long de ce script par le nombre nB+1, où nB désigne le nombre de boules blanches.

   2. Compléter les lignes \(4\) et \(8\) ajoutées au script précédent afin que le script qui suit renvoie et affiche, en plus de celle prise par \(X\), la valeur prise par \(Y\).

Exercice 3

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(u_n = \displaystyle \int_0^1 \left(1-t^2\right)^n \,\mathrm{d}t\). On a donc, en particulier, \(u_0 = 1\).

1. Déterminer \(u_1\) et \(u_2\).

2. 1. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

   2. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

3. On se propose dans cette question de déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

   1. Pour tout réel \(\sigma\) strictement positif, rappeler la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} \,\mathrm{d}t\).

   2. En déduire la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-nt^2} \,\mathrm{d}t\), puis celle de \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-nt^2} \,\mathrm{d}t\).

   3. Montrer que, pour tout réel \(t\), on a : \(\mathrm{e}^{-t^2}\geqslant 1-t^2\).

   4. En déduire que : \(0\leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{n}}\), puis donner la limite de la suite \((u_n)\).

4. Calculer \(\displaystyle \int_0^1 (1-t)^n \,\mathrm{d}t\), puis montrer que \(u_n\geqslant \dfrac{1}{n+1}\). Que peut-on déduire en ce qui concerne la série de terme général \(u_n\) ?

5. 1. Établir, grâce à une intégration par parties, que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \[u_{n+1} = (2n+2)(u_n-u_{n+1})\]

   2. En déduire l’égalité : \[\forall n\in \mathbb{N}, \ u_n = \dfrac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}\]

   3. On admet l’équivalent \(n! \underset{+\infty}{\sim} \sqrt{2\pi n}\;n^n \mathrm{e}^{-n}\). En écrivant \(u_n = \dfrac{4^n(n!)^2}{(2n+1)(2n)!}\), montrer que : \[u_n \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\pi}{n}}\]

6. Informatique.

   En langage Python, si t est un vecteur, la commande np.prod(t) (utilisant la bibliothèque numpy) renvoie le produit des éléménts de t. Compléter le script Python suivant afin qu’il permette de calculer et d’afficher la valeur de \(u_n\) pour une valeur \(n\) entrée par l’utilisateur.

Problème

Partie 1 : Étude de quelques propriétés d’une variable aléatoire \(X\)

Dans cette exercice, \(\theta\) désigne un réel élément de \(\left]0,\frac{1}{2}\right[\).

On considère la fonction \(f\) définie par : \[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{\theta x^{1+\frac{1}{\theta}}} & \text{si }x\geqslant 1 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si }x<1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]

1. Montrer que \(f\) peut être considérée comme une densité.

   On considère dans la suite une variable aléatoire \(X\) de densité \(f\) et on note \(F\) sa fonction de répartition.

2. Montrer que \(X\) possède une espérance et une variance et les déterminer.

3. Déterminer, pour tout réel \(x\), l’expression de \(F(x)\) en fonction de \(x\) et \(\theta\).

4. 1. Montrer que l’équation \(F(x) = \frac{1}{2}\) possède une seule solution, notée \(M_e\), que l’on déterminera.

   2. Montrer que : \(\forall x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]\), \(2^x \left( 1-x \right) \leqslant 1\).

   3. Comparer \(\mathbb{E}(X)\) et \(M_e\).

5. Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \(b\) un réel strictement positif.

   1. Montrer que \(\mathbb{P}_{(X>a)}(X>a+b) = \left( \dfrac{a}{a+b}\right)^{1/\theta}\).

   2. Déterminer la limite de cette quantité lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\). Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variable \(X\) représente la durée de vie d’un certain appareil.

Partie 2 : Simulation de \(X\)

6. On pose \(Y=\ln(X)\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que \(X\). On note \(G\) sa fonction de répartition.

   1. Pour tout réel \(x\), exprimer \(G(x)\) à l’aide de la fonction \(F\).

   2. En déduire que \(Y\) suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

7. On rappelle qu’en Python la commande rd.exponential(1/lambda) renvoie une simulation d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\). Écrire des commandes Python et permettant de simuler \(X\).

Partie 3 : Estimation d’un paramètre

On suppose dans la suite que le paramètre \(\theta\) est inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.

On considère pour cela \(n\) variables aléatoires \(Y_1,\ldots,Y_n\) toutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que \(Y\).

8. On pose \(T_n =\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n Y_k\).

   1. Justifier que \(T_n\) est un estimateur de \(\theta\).

   2. Calculer \(\mathbb{E}(T_n-\theta)\).

9. 1. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable \(T_n\).

   2. Établir l’inégalité : \[\forall \varepsilon >0, \ \mathbb{P}( \theta\in [T_n-\varepsilon, T_n+\varepsilon]) \geqslant 1-\dfrac{\theta^2}{n\varepsilon ^2}\]

   3. En utilisant le fait que \(\theta \leqslant \frac{1}{2}\), déterminer un intervalle de confiance pour \(\theta\) au niveau de confiance \(90\%\) lorsqu’on choisit \(n=1000\).