EDHEC 2018 Sujet 00Maths approfondies

Exercice 1

1. Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on pose \(a_n=\dfrac{1}{n\ln (n)}\).

   1. Montrer que pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(2\), on a : \(\displaystyle \int_k^{k+1}\frac 1{t\ln (t)}\,\mathrm{d}t\leqslant \frac 1{k\ln (k)}\).

   2. En déduire, par sommation, la nature de la série de terme général \(a_n\).

   Dans la suite, on considère la fonction \(f\) définie par : \[f(x)=\begin{cases} \dfrac{-x}{(1-x)\ln(1-x)}&\text{ si }x\in \left]-\infty,0 \right[\cup \left]0,1 \right[\\ \hfill 1 \hfill &\text{ si }x=0 \end{cases}\]

2. 1. Montrer que \(f\) est continue sur \(]-\infty, 1[\).

   2. Montrer que \(f\) est dérivable en 0 et donner la valeur de \(f'(0)\).

3. 1. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]-\infty,0[\) et sur \(]0,1[\), puis calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\) de \(\left] -\infty,0 \right[\cup \left] 0, 1 \right[\).

   2. Étudier le signe de la quantité \(\ln (1-x)+x\), lorsque \(x\) appartient à \(]-\infty,1[\), puis en déduire les variations de \(f\).

   3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition, puis dresser son tableau de variation.

4. 1. Établir que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), il existe un seul réel de \([0,1[\), noté \(u_n\), tel que \(f(u_n)=n\) et donner la valeur de \(u_1\).

   2. Montrer que la suite \((u_n)\) converge et que \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1\).

   3. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer \(f \!\left(1-\dfrac 1{n\sqrt n}\right)\) puis en déduire qu’il existe un entier naturel \(n_0\) tel que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(n_0\), on a : \(u_n\leqslant 1-\dfrac 1{n\sqrt n}\).

   4. En déduire, à l’aide de la première question, que la série de terme général \(\dfrac 1{-n\ln (1-u_n)}\) est divergente.

   5. Conclure, en revenant à la définition de \(u_n\), que la série de terme général \(1-u_n\) est divergente.

Exercice 2

On désigne par \(n\) et \(p\) deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.

On se place dans l’espace euclidien \(\mathbb{R}^p\). Le produit scalaire canonique des vecteurs \(x\) et \(y\) de \(\mathbb{R}^p\) est noté \(\langle x,y\rangle\) et la norme du vecteur \(x\) est notée \(\Vert x\Vert\).

1. Dans cette question, on considère \(n\) vecteurs \(u_1,u_2,\dots, u_n\) de \(\mathbb{R}^p\), tous de norme égale à 1.

   À tout \(n\)-uplet \(x=(x_1,x_2,\dots, x_n)\), on associe le vecteur \(\displaystyle w_x=\sum\limits_{k=1}^n x_ku_k\).

   On se propose de montrer qu’il existe des \(n\)-uplets \(x=(x_1,x_2,\dots, x_n)\), dont les coordonnées sont éléments de \(\{-1,1\}\), pour lesquels \(\Vert w_x\Vert\leqslant \sqrt n\) et d’autres pour lesquels \(\Vert w_x\Vert\geqslant \sqrt n\).

   À cet effet, on considère \(n\) variables aléatoires \(X_1,X_2,\dots , X_n\), toutes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes, et telles que pour tout \(k\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), on ait : \[\mathbb{P}(X_k=1)= \mathbb{P}(X_k=-1)=\dfrac 12\] On considère l’application \(X\), qui, à tout \(\omega\) de \(\Omega\), associe le réel \(\displaystyle X(\omega)=\left\Vert \sum\limits_{k=1}^n X_k(\omega) \, u_k\right\Vert^2\).

   On admet que \(X\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Calculer, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]^2\), la valeur de \(\mathbb{E}(X_iX_j)\).

   2. En déduire l’existence et la valeur de \(\mathbb{E}(X)\).

   3. Conclure quant à l’objectif de cette question.

2. Dans cette question, on considère \(n\) réels \(p_1,p_2,\dots, p_n\), tous éléments de \(]0,1[\), ainsi que \(n\) vecteurs \(v_1,v_2,\dots, v_n\) de \(\mathbb{R}^p\) vérifiant : \(\forall k\in\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), \(\Vert v_k\Vert \leqslant 1\).

   On pose \(z=\sum\limits_{k=1}^n p_kv_k\) et on se propose de montrer qu’il existe un \(n\)-uplet \(x=(x_1,x_2,\dots, x_n)\) dont les coordonnées sont dans \(\{0,1\}\), tel que, en notant \(y_x=\sum\limits_{k=1}^n x_kv_k\), on ait : \[\Vert z-y_x\Vert \leqslant \dfrac{\sqrt n}2\] À cet effet, on considère \(n\) variables aléatoires \(Y_1,Y_2,\dots, Y_n\), définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes, et telles que, pour tout \(k\) de \(\left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), \(Y_k\) suit la loi de Bernoulli \(\mathcal{B}(p_k)\).

   On considère l’application \(Y\), qui, à tout \(\omega\) de \(\Omega\), associe le réel \(\displaystyle Y(\omega)=\left\Vert \sum\limits_{k=1}^n \left( p_k-Y_k(\omega) \right) v_k\right\Vert ^2\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Calculer, pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\!\left[1, n\right]\!\right] ^2\), la valeur de \(\mathbb{E}\! \left((p_i-Y_i)(p_j-Y_j)\right)\).

   2. Justifier que \(Y\) possède une espérance et montrer que : \(\mathbb{E}(Y)\leqslant \dfrac n4\).

   3. Conclure quant à l’objectif de cette question.

Exercice 3

Un mobile se déplace aléatoirement sur un axe dont l’origine est le point \(O\) d’abscisse \(0\).

Au départ (instant \(0\)), le mobile est situé sur le point \(O\).

Le mobile se déplace selon la règle suivante : à l’instant \(n\) (\(n\in\mathbb{N}^*\)), il se place de façon équiprobable, sur l’un des points d’abscisse \(0,1,\dots, n\).

Pour tout entier naturel \(n\), on note \(X_n\) l’abscisse de ce point à l’instant \(n\) (on a donc \(X_0=0\)).

On admet que, pour tout entier naturel \(n\), \(X_n\) est une variable aléatoire définie un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer. On admet aussi que \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

1. 1. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la loi de \(X_n\).

   2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(X_n\) possède une espérance et une variance, puis déterminer \(\mathbb{E}(X_n)\) et \(\mathbb{V}(X_n)\).

2. On note \(Y\) le rang du premier retour à l’origine du mobile et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Pour tout entier naturel \(n\) non nul, exprimer l’événement \([Y=n]\) à l’aide des variables aléatoires \(X_1,X_2,\dots, X_n\).

   2. En déduire que la loi de \(Y\) est définie par : \(\forall n\in\mathbb{N}^*\), \(\mathbb{P}(Y=n)=\dfrac 1{n \left( n+1 \right)}\).

   3. Vérifier par le calcul que l’on a : \(\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(Y=n)=1\).

   4. La variable aléatoire \(Y\) admet-elle une espérance ?

3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, on a : \(\displaystyle \frac 1{k+1}\leqslant \ln (k+1)-\ln( k) \leqslant \frac 1{k}\).

   2. En déduire que : \(\displaystyle \forall j\geqslant 2,\ \ln( j) \leqslant \sum\limits_{k=1}^{j-1}\frac 1k\leqslant \ln( j)+1-\frac 1j\).

   3. Conclure alors que : \(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{j-1}\frac 1k\underset{j\to +\infty}{\sim} \ln (j)\).

4. On note \(Z\) le rang du deuxième retour à l’origine du mobile et on admet que \(Z\) est une variable aléatoire, définie, elle aussi, sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Déterminer pour tout \(i\geqslant j\), la probabilité \(\mathbb{P}_{[Y=i]}(Z=j)\).

   2. Établir que : \[\forall i\leqslant j-1, \ \mathbb{P}_{[Y=i]}(Z=j)=\frac{i+1}{j \left( j+1 \right)}\]

   3. Écrire, pour tout entier naturel \(j\) supérieur ou égal à \(2\), la probabilité \(\mathbb{P}(Z=j)\) comme une somme finie.

   4. La variable aléatoire \(Z\) possède-t-elle une espérance ?

5. Informatique.

   On suppose avoir importé dans Python la bibliothèque numpy.random à l’aide de la commande import numpy.random as rd.

   On rappelle que l’instruction rd.randint(a)permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme à valeurs dans \(\left[\!\left[0,a-1\right]\!\right]\).

   1. Écrire des commandes Python calculant et affichant la valeur de l’abscisse du mobile après son \(n\) déplacement lorsque la valeur de \(n\) est entrée au clavier par l’utilisateur.

   2. Compléter le script Python suivant pour qu’il permette d’afficher dans cet ordre les valeurs prises par les variables aléatoires \(Y\) et \(Z\) :

Problème

Partie 1

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(\displaystyle u_n=\int_0^{\pi/2}(\cos(t))^n\,\mathrm{d}t\).

1. 1. Calculer \(u_0\) et \(u_1\).

   2. Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

   3. Établir que : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(u_n>0\).

2. 1. Montrer, grâce à une intégration par parties, que : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(\left( n+2 \right)u_{n+2}= \left( n+1 \right) u_n\).

   2. En déduire que : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(\displaystyle u_{2n}=\dfrac{(2n)!}{(2^n \times n!)^2}\times \dfrac{\pi}2\).

   3. Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N}\), \(\left( n+1 \right) u_{n+1}u_n=\dfrac {\pi}2\).

   4. En déduire la valeur de \(u_{2n+1}\).

3. 1. Calculer \(\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{u_{n+2}}{u_n}\).

   2. En déduire, par encadrement, que \(\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1\).

   3. Montrer enfin que \(\displaystyle u_n\underset{n\to +\infty}{\sim} \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}\).
      

4. Utiliser la question 2c) pour compléter les commandes Python suivantes afin qu’elles permettent de calculer \(u_n\) lorsque \(n\) est entré par l’utilisateur.

Partie 2

On note \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par : \(f(x)=\begin{cases} \sin( x) &\text{ si }0\leqslant x\leqslant \pi/2\\ \hfill 0 \hfill &\text{ sinon} \end{cases}\).

5. Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité. Dans la suite, on considère une variable aléatoire réelle \(X\) définie sur un certain espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), et ayant \(f\) pour densité.

6. Déterminer la fonction de répartition \(F\) de la variable aléatoire \(X\).

7. 1. Montrer que \(X\) possède une espérance et la calculer.

   2. Montrer que \(X\) possède également une variance et la calculer.

8. On considère maintenant une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) de variables aléatoires toutes définies sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes et qui suivent toutes la même loi que \(X\).

   Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 2, on pose \(I_n=\min (X_1,X_2,\dots, X_n)\) et on admet que \(I_n\) est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Déterminer la fonction de répartition, notée \(F_n\), de la variable aléatoire \(I_n\).

   2. La suite \((I_n)\) converge-t-elle en loi ?

   3. Déterminer une densité de \(I_n\), puis montrer que \(I_n^2\) possède une espérance et que : \[\mathbb{E}(I_n^2)=2\int_0^{\pi/2}x(\cos (x))^n\,\mathrm{d}x\]

   4. Établir que : \(\mathbb{E}(I_n^2)\leqslant \pi u_n\).

   5. En déduire que la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge en probabilité vers la variable aléatoire dont on précisera la loi.

9. Soit \(h\) la restriction de la fonction cosinus à \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\).

   1. Montrer que \(h\) réalise une bijection de \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) sur \([0,1]\).

   2. Justifier que l’on peut poser \(Y=h(X)\). On admet alors que \(Y\) est une variable aléatoire, elle aussi définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

      Déterminer la fonction de répartition \(G\) de \(Y\), puis vérifier que \(Y\) suit une loi uniforme.

   3. On rappelle que la commande rd.random() renvoie une simulation Python d’une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur \([0,1]\) et on admet que sous Python la fonction \(h^{-1}\) est la fonction np.arccos.

      Compléter les commandes Python suivantes afin qu’elles permettent de simuler la variable aléatoire \(X\).