EDHEC 2018 Sujet 0Maths approfondies

Exercice 1

Soit \(f\) la fonction définie par : \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{2}{\left(\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}\right)^2}.\)

1. Etudier la parité de \(f\).

2. Montrer que \(f\) peut être considérée comme densité d’une certaine variable aléatoire \(X\).

3. 1. Montrer que \(X\) possède une espérance et donner sa valeur.

   2. Montrer que \(X\) possède une variance.

4. On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\). Montrer que \(F\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]0,1[\).

5. On considère la variable aléatoire \(Y\) définie par \(Y = F(X)\).

   1. Déterminer la loi de \(Y\).

   2. Déterminer explicitement \(F(x)\) pour tout réel \(x\).

   3. Établir que la fonction \(F^{-1}\), bijection réciproque de \(F\), est définie par : \[\forall x \in \left] 0, 1 \right[, \ F^{-1}(x) = \frac{1}{2}\ln \! \left(\frac{x}{1-x}\right)\]

   4. En déduire un script Python permettant de simuler la variable aléatoire \(X\).

Exercice 2

Si \(k\) est un entier naturel non nul, alors pour tout endomorphisme \(f\) d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\), on note \(f^k =\underbrace{ f \circ \dots \circ f}_{k \text{ termes}}\) et on pose \(f^0 = \mathrm{Id}_E\), où \(\mathrm{Id}_E\) est l’endomorphisme identité de \(E\).

On dit que l’endomorphisme \(f\) est nilpotent d’indice \(k\) (\(k \in \mathbb{N}^*\)) si l’on a : \[f^k = 0 \quad \text{et} \quad f^{k-1} \neq 0\]

On note \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et on dit qu’une matrice \(A\) de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) est nilpotente d’indice \(k\) (\(k \in \mathbb{N}^*\)) si \(A^k = 0\) et \(A^{k-1} \neq 0\) (avec la convention \(A^0 = I_n\)).

Partie 1

Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\c & d\end{pmatrix}\) une matrice de \(\mathcal M_2(\mathbb{R})\) et \(I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

1. Calculer \(A^2 - \left( a+d \right)A\) en fonction de \(I_2\).

2. On suppose dans cette question que \(A\) est non nulle et nilpotente d’indice \(k\).

   1. Établir l’égalité : \(ad - bc = 0\).

   2. Montrer que \(k\) est supérieur ou égal à \(2\).

   3. En déduire alors que \(a+d = 0\) puis conclure que \(A^2=0\).

Partie 2

Dans cette partie, \(f\) désigne un endomorphisme non nul d’un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(2\).

3. Montrer l’équivalence : \[f \text{ nilpotent} \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f)\]

   On suppose dans toute la suite que \(f\) est nilpotent et on en étudie quelques propriétés.

4. Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice \(A\) de \(f\) est : \(A = \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\).

5. On souhaite montrer par l’absurde qu’il est impossible de trouver deux endomorphismes \(u\) et \(v\) de \(E\), nilpotents et tels que \(f = u \circ v\). On suppose donc que ces deux endomorphismes existent.

   1. Montrer les inclusions : \(\mathrm{Im}(f) \subset \mathrm{Im}(u)\) et \(\mathrm{Ker}(v) \subset \mathrm{Ker}(f)\).

   2. En déduire les égalités : \(\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Im}(u)\) et \(\mathrm{Ker}(v) = \mathrm{Ker}(f)\).

   3. En déduire l’égalité : \(\mathrm{Ker}(u) = \mathrm{Im}(v)\).

   4. Conclure.

6. 1. Soit \(p\) un projecteur de \(E\). Donner les valeurs possibles de la trace de n’importe laquelle de ses matrices représentatives dans une base donnée de \(E\).

   2. Montrer que l’on ne peut pas trouver deux projecteurs \(p_1\) et \(p_2\) de \(E\) tels que \(f=p_1+p_2\).

Exercice 3

Dans cet exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

On note \(I_n\) la matrice identité de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) et \(J_n\) la matrice de \(\mathcal M_n(\mathbb{R})\) dont tous les éléments valent \(1\).

1. 1. Déterminer le rang de \(J_n\). En déduire que \(0\) est valeur propre de \(J_n\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

   2. Vérifier que le vecteur \(V_n\) élément de \(\mathcal M_{n,1}(\mathbb{R})\), dont toutes les composantes sont égales à \(1\), est vecteur propre de \(J_n\).

   3. À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de \(J_n\).

Dans toute la suite, on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}^n\) par : \[\forall x = (x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n,\ f_n(x) = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \exp \! \left(-\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\]

2. Montrer que \(f_n\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^n\).

3. 1. Montrer que, pour tout \(i\in \left[\!\left[1,n\right]\!\right]\), on a : \(\partial_i f_n (x) = \left(1-2x_i \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\right)\exp \! \left(-\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k^2\right).\)

   2. En déduire que \(f_n\) possède deux points critiques \(a = \dfrac{1}{\sqrt{2n}} \left( 1,1,\dots,1 \right)\) et \(b = -a\).

4. 1. Déterminer les dérivées partielles d’ordre \(2\) de \(f_n\).

   2. Vérifier que la hessienne de \(f_n\) en \(a\) est \(H_n(a) = \dfrac{-2}{\sqrt{2n \,\mathrm{e}}} \left( nI_n + J_n \right)\).

   3. À l’aide de la première question, donner les valeurs propres de \(H_n(a)\).

   4. En déduire que \(f_n\) possède un extremum local en \(a\).

   5. Sans refaire tous les calculs, donner une conclusion concernant le point critique \(b\).

5. 1. Étudier la fonction \(h\) qui, à tout \(t\) de \(\mathbb{R}_+\), associe \(h(t) = t \, \mathrm{e}^{-t^2}\).

   2. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à deux vecteurs bien choisis de \(\mathbb{R}^n\), muni de son produit scalaire canonique, montrer que : \[\forall (x_1,x_2,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n, \ \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2 \leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2\]

   3. Déduire des deux questions précédentes que \(f_n\) admet en \(a\) et en \(b\) des extrema globaux.

6. Question d’informatique.

   1. Écrire des commandes Python permettant de calculer et d’afficher \(H_n(a)\) pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur.

   2. Dans le cas \(n=2\), la nappe suivante est-elle acceptable en tant que représentation graphique de la fonction \(f_2\) ? Justifier.

Problème

On effectue des lancers d’une pièce donnant « pile » avec la probabilité \(p\), élément de \(]0,1[\), et donnant « face » avec la probabilité \(q = 1-p\), les différents lancers étant supposés indépendants.

Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(P_k\) (resp. \(F_k\)) l’événement : « la pièce donne « pile » (resp. « face » ) au \(k\) lancer », on note également \(S_k\) le rang du \(k\) « pile » et \(T_k\) le rang d’apparition du dernier « pile » de la première série de \(k\) « piles » consécutifs. On suppose que \(S_k\) et \(T_k\) sont deux variables aléatoires toutes deux définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

Par exemple, si les lancers donnent \(F_1,P_2,F_3,P_4,F_5,P_6,P_7,P_8\), alors \(S_1\) et \(T_1\) prennent la valeur \(2\), \(S_2\) prend la valeur \(4\), \(T_2\) prend la valeur \(7\), \(S_3\) prend la valeur \(6\), \(T_3\) prend la valeur \(8\), \(S_4\) prend la valeur \(7\) et \(S_5\) prend la valeur \(8\).

Partie 1 : simulations de \(S_k\) et \(T_k\)

1. Compléter les lignes \(7\) et \(9\) du script Python suivant pour qu’il affiche la valeur prise par \(S_k\) lorsque \(k\) et \(p\) sont entrés par l’utilisateur :

   k=int(input('donnez une valeur pour k :')) 
   p=float(input('donnez une valeur pour p :'))
   n=0
   c=0
   while c<k:
       n=n+1
       if ..........:
           c=c+1
   print(...........)
   

2. On souhaite que le script précédent affiche la valeur prise par \(T_k\). Compléter les lignes de code suivantes pour qu’elles puissent se substituer aux lignes 7 et 8 du programme précédent.

Partie 2 : calcul de l’espérance \(S_k\)

3. Donner la loi de \(S_1\) ainsi que son espérance.

4. Soit \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(k\), on note \(X_{n-1}\) la variable aléatoire égale au nombre de « piles » obtenus lors des \(n-1\) premiers lancers.

   1. Donner la loi de \(X_{n-1}\).

   2. Donner \(S_k(\Omega)\) puis écrire l’événement \([S_k = n]\) à l’aide de la variable \(X_{n-1}\).

   3. En déduire que la loi de \(S_k\) est donnée par : \[\forall n \geqslant k, \ \mathbb{P}(S_k=n) = \binom{n-1}{k-1}p^k q^{n-k}\]

5. Soit \(k\) un entier supérieur ou égal à \(2\).

   On pose \(Z_1 = S_1\) et, pour tout entier \(i\) supérieur ou égal à \(2\), on pose \(Z_i = S_i - S_{i-1}\).

   1. Donner la loi des variables aléatoires \(Z_i\).

   2. Exprimer \(S_k\) à l’aide de certaines des variables \(Z_i\).

   3. En déduire que \(S_k\) possède une espérance et donner sa valeur.

6. Estimation.

   On suppose le paramètre \(p\) inconnu et on souhaite trouver un estimateur de \(p\).

   1. Pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(2\), on pose \(\overline{Z}_k = \dfrac{1}{k} \displaystyle\sum_{i=1}^k Z_i\).

      Montrer que la suite \(\left(\overline{Z}_k\right)_{k \in \mathbb{N}^*}\) converge en probabilité.

   2. En déduire que \(\dfrac{k}{S_k}\) est un estimateur convergent de \(p\).

   3. Donner sans calcul la valeur de \(\displaystyle\sum_{j=k-1}^{+\infty} \mathbb{P}(S_{k-1} = j)\). Montrer alors que la variable aléatoire \(\dfrac{k-1}{S_k-1}\) possède une espérance et que l’on a : \(\mathbb{E}\!\left(\dfrac{k-1}{S_k-1}\right) = p\).

   4. En déduire que \(\dfrac{k}{S_k}\) est un estimateur biaisé de \(p\) (on ne cherchera pas à calculer la valeur de ce biais).

Partie 3 : calcul de l’espérance de \(T_k\)

7. Comparer les variables aléatoires \(S_1\) et \(T_1\).

8. Soit \(k\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

   On admet que \(T_k\) possède une espérance que l’on se propose de déterminer.

   1. Justifier, en utilisant la variable aléatoire \(W\) égale au rang du premier « face » lors de l’expérience décrite au début de ce problème, que les événements \(F_1,P_1 \cap F_2,P_1 \cap P_2 \cap F_3\), \(P_1 \cap P_2 \cap P_3 \cap F_4,\dots,P_1\cap \dots \cap P_{k-1} \cap F_k\) et \(P_1 \cap \dots \cap P_{k-1} \cap P_k\), forment un système complet d’événements.

   2. Montrer que, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(k\), on a \(\mathbb{P}_{F_1}(T_k = n) = \mathbb{P}(T_k = n-1)\), puis en déduire que l’espérance conditionnelle \(\mathbb{E}(T_k \, \vert \, F_1)\) est égale à \(1+ \mathbb{E}(T_k)\).

   3. De la même façon, déterminer, pour tout \(i\) de \(\left[\!\left[2,k\right]\!\right]\), la valeur de \(\mathbb{E}(T_k \, \vert \, P_1 \cap \dots \cap P_{i-1} \cap F_i)\).

   4. Justifier que \(\mathbb{E}(T_k \, \vert \, P_1 \cap \dots \cap P_k) = k\).

9. 1. Déduire des questions précédentes la relation : \(\mathbb{E}(T_k) = \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} \left( j+1 \right) p^jq + \mathbb{E}(T_k) \displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} p^j q + kp^k.\)

   2. Établir finalement que :

      \[\mathbb{E}(T_k) = \frac{1-p^k}{qp^k}\]

10. Utiliser certains résultats des parties \(2\) et \(3\) pour établir, sans étude de fonction, que l’on a : \[\forall k \in \mathbb{N}^*, \ \forall p \in \left] 0,1 \right[, \ \left( k-1 \right) p^k \geqslant kp^{k-1}-1\]