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La lettre \(n\) désigne un entier naturel non nul.
Soit \(f_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \(f_n(x)=1-x-x^n\).
Montrer que l’équation \(f_n(x)=0\) d’inconnue \(x\) admet une seule solution, notée \(u_n\).
Vérifier que \(u_n\) appartient à \(]0,1[\).
En déduire le signe de \(f_{n+1}(u_n)\) puis établir que la suite \((u_n)\) est croissante.
Conclure que la suite \((u_n)\) converge et que sa limite appartient à \([0,1]\).
Montrer par l’absurde que la limite de la suite \((u_n)\) vaut 1.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(v_n=1-u_n\).
Justifier que \(v_n\) est strictement positif, puis montrer que \(\ln(v_n) \underset{+ \infty}{\sim } -n \, v_n\).
Établir que \(\ \underset{n \rightarrow + \infty}{\lim } \ \displaystyle\frac{ \ln\left(\frac{- \ln(v_n)}{n \, v_n}\right)}{- \ln(v_n)} \ =0\) et en déduire que : \(\ln(v_n)\underset{+ \infty}{\sim } - \ln(n)\).
Montrer enfin que : \(v_n \underset{+ \infty}{\sim } \displaystyle\frac{ \ln(n)}{n}\).
Donner la nature des séries de termes généraux \(v_n\) et \(v_n^2\).
On considère l’espace euclidien \(\mathbb{R}^3\) muni de son produit scalaire canonique, noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).
La norme d’un vecteur \(x\) est notée \(\left\| x \right\|\).
On considère un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) qui vérifie la condition suivante : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^3)^2,\ \left\langle f(x),y\right\rangle = - \left\langle x,f(y)\right\rangle\]
Établir que : \(\forall x \in \mathbb{R}^3 ,\ \left\langle f(x),x\right\rangle=0\).
On admet que tout endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) admet au moins une valeur propre réelle. Montrer en utilisant la question 1 que 0 est la seule valeur propre réelle de \(f\).
Dans la suite, on se propose de montrer qu’il existe une base de \(\mathbb{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est de la forme : \[A= \begin{pmatrix} 0& \alpha &0 \\ - \alpha &0 &0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \ \mbox{ avec $\alpha$ réel.}\]
Montrer que \(\mathrm{Ker}(f)\) et \(\mathrm{Im}(f)\) sont supplémentaires orthogonaux dans \(\mathbb{R}^3\).
Résoudre le problème posé si \(\dim( \mathrm{Ker}(f) ) =3\).
On suppose dans cette question que \(\dim(\mathrm{Ker}(f)) =2\).
Montrer que l’on peut trouver une base orthonormale \(\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)\) de \(\mathbb{R}^3\), où \(e_1\) appartient à \(\mathrm{Im}(f)\) et \((e_2,e_3)\) est une base orthonormale de \(\mathrm{Ker}(f)\).
Montrer que la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal B\) est de la forme : \(A= \begin{pmatrix} a& 0 &0 \\ b &0 &0 \\ c&0&0 \end{pmatrix}\).
Vérifier que \(\mathrm{Im}(f)\) est stable par \(f\) puis montrer que \(b\) et \(c\) sont nuls.
En considérant le réel \(\left\langle f(e_1),e_1 \right\rangle\) donner la valeur de \(a\).
Que dire de l’hypothèse \(\dim(\mathrm{Ker}(f)) =2\) ?
On suppose dans cette question que \(\dim(\mathrm{Ker}(f)) =1\).
Montrer que l’on peut trouver une base orthonormale \(\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)\) de \(\mathbb{R}^3\), où \((e_1,e_2)\) est une base orthonormale de \(\mathrm{Im}(f)\) et \(e_3\) appartient à \(\mathrm{Ker}(f)\).
Montrer que la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal B\) est de la forme : \(A= \begin{pmatrix} a& b &0 \\ c &d &0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\).
Montrer que \(a\) et \(d\) sont nuls et que \(c=-b\).
Conclure.
On admet que toutes les variable aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer.
On considère une variable aléatoire \(X\) suivant la loi exponentielle de paramètre \(\frac{1}{2}\) et on pose \(Y=\sqrt{X}\).
On rappelle qu’en Python la commande
rd.exponential(1/Lambda) (supposant au
préalable l’import de la bibliothèque
numpy.random avec le préfixe
rd) simule une variable aléatoire suivant la
loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Écrire une (ou des) commande(s) Python
utilisant permettant de simuler \(Y\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_Y\) de \(Y\).
En déduire une densité \(f_Y\) de \(Y\).
Rappeler la valeur du moment d’ordre 2 d’une variable aléatoire \(Z\) suivant la loi normale centrée réduite.
En déduire que \(Y\) possède une espérance et donner sa valeur.
On pose \(U=1- \mathrm{e}^{-X/2}\).
Vérifier que \(U(\Omega)=[0,1[\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_U\) de \(U\) et reconnaître la loi de \(U\).
Exprimer \(X\) en fonction de
\(U\), puis en déduire une simulation
Python de \(Y\) utilisant uniquement la fonction
rd.random.
Dans ce problème, on désigne par \(\lambda\) un réel strictement positif.
On admet que toutes les variable aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer.
On s’intéresse aux appels parvenant à un central téléphonique et on suppose, d’une part, qu’ils arrivent façon indépendante au central, et d’autre part, que le nombre d’appels reçus par le central pendant un certain intervalle de temps est indépendant du nombre d’appels reçus par le central pendant un intervalle de temps disjoint du précédent.
Pour tout réel \(t\) positif, on note \(N_t\) la variable aléatoire égale au nombre d’appels reçus par le central pendant l’intervalle de temps \([0,t]\) et on pose, pour tout entier naturel \(n\) : \(p_n(t)=\mathbb{P}(N_t=n)\).
Justifier que \(p_0(0)=1\) et \(p_n(0)=0\) pour \(n\) supérieur ou égal à 1.
En déduire la loi de \(N_0\).
On admet que pour tout entier naturel \(n\), \(p_n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) et que : \[\forall t \geqslant 0 ,\ \begin{cases} p_0'(t)= - \lambda \, p_0(t) \\ \forall n \in \mathbb{N}^* ,\ p_n'(t)= - \lambda \, p_n(t) + \lambda \, p_{n-1}(t) \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Pour tout entier naturel \(n\) et tout réel positif \(t\), on pose : \(f_n(t)= \mathrm{e}^{\lambda t}\,p_n(t)\).
Montrer que la fonction \(f_0\) est constante, puis utiliser la première question pour déterminer cette constante.
Exprimer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), \(f_n'(t)\) en fonction de \(\lambda\) et de \(f_{n-1}(t)\).
On suppose que pour un certain entier naturel \(n\) non nul, on a : \(\forall t \geqslant 0,\ f_{n-1}(t)=\displaystyle \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}\).
Montrer qu’il existe une constante \(K\) telle que : \(\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \forall t \geqslant 0, \ f_n(t)=\displaystyle \frac{(\lambda\, t)^n}{n!} +K\).
En utilisant la valeur de \(p_n(0)\) pour \(n \geqslant 1\), donner enfin, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), l’expression explicite de \(f_n(t)\) en fonction de \(\lambda\), \(n\) et \(t\).
Donner \(p_n(t)\) pour tout entier \(n\) dans \(\mathbb{N}\) et tout réel \(t\) positif.
Conclure que \(N_t\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda t\).
Pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 1, on note \(S_n\) la variable aléatoire égale à l’instant où survient le \(n\)-ième appel.
Comparer, pour tout réel \(t\) positif, les événements \([S_1 >t]\) et \([N_t=0]\) puis reconnaître la loi de \(S_1\).
Comparer, pour tout réel \(t\) positif, les événements \([S_n >t]\) et \([N_t\leqslant n-1]\).
Montrer que \(S_n\) est une variable à densité dont une densité est la fonction \(f_n\) définie par : \[f_n(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\lambda^n \, t^{n-1}}{(n-1)!}\, \mathrm{e}^{- \lambda t } &\text{si } t>0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } t \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Soit \((t,u)\) un couple de réels positifs tels que \(u < t\).
Justifier sans calcul que les variable aléatoires \(N_u\) et \(N_t-N_u\) sont indépendantes.
Établir l’égalité suivante : \(\forall n \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(N_t=n)= \displaystyle\sum_{i=0}^n \mathbb{P}(N_u=i)\, \mathbb{P}(N_t-N_u=n-i)\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(N_t-N_u=0)\) puis celle de \(\mathbb{P}(N_t-N_u=1)\).
Montrer par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \mathbb{P}(N_t-N_u=n)= \displaystyle\frac{\left[\lambda \left(t-u\right)\right] ^n}{n!} \, \mathrm{e}^{- \lambda (t-u)}\).
On pose, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), \(R_t(\omega)= \begin{cases} S_{N_t(\omega)}(\omega) &\text{si } N_t(\omega) \geqslant 1 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } N_t(\omega)=0 \end{cases}\).
On admet que \(R_t\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Décrire ce que représente la variable aléatoire \(R_t\).
Utiliser le système complet d’événements \(\left( [N_t=n ] \right)_{n \in \mathbb{N}}\) pour montrer que : \[\forall t >0,\ \forall u \in [0,t],\ \mathbb{P}(R_t >u)= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \mathbb{P}\!\left(\left[S_n>u\right] \cap \left[N_t=n\right]\right)\]
Utiliser la question 4.b. pour établir la relation : \[\forall t >0,\ \forall u \in [0,t],\ \mathbb{P}(R_t >u)= \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \ \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{P}\! \left(\left[N_u=i \right] \cap \left[N_t-N_u=n-i\right]\right)\]
Montrer enfin que la fonction de répartition de \(R_t\) est la fonction \(F_t\) définie par : \[F_t(u)=\begin{cases} \hfill 0 \hfill &\text{si } u<0 \\ \mathrm{e}^{- \lambda (t-u) } &\text{si } 0 \leqslant u \leqslant t \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } u>t \end{cases}\]
La variable aléatoire \(R_t\) est-elle à densité ? Est-elle discrète ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
