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On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 6\end{pmatrix}\).
Vérifier que \(A\) n’est pas inversible.
Déterminer les valeurs propres de la matrice \(A\), puis trouver les sous-espaces propres associés à ces valeurs propres.
Dans la suite de cet exercice, on considère l’application \(f\) qui, à toute matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\), associe : \[f(M)=A M\]
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).
Déterminer une base de \(\operatorname{Ker}(f)\) et vérifier que \(\operatorname{Ker}(f)\) est de dimension \(2\).
En déduire la dimension de \(\operatorname{Im}(f)\).
On pose \(E_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\), \(E_{2}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\), \(E_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix},\) \(E_{4}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) et on rappelle que la famille \(\left(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}\right)\) est une base de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).
Écrire \(f(E_1)\), \(f(E_2)\), \(f(E_{3})\) et \(f(E_{4})\) sous forme de combinaisons linéaires de \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) et \(E_{4}\), puis donner une base \(\mathcal{B}\) de \(\operatorname{Im}(f)\).
On dispose de trois pièces : une pièce numérotée 0, pour laquelle la probabilité d’obtenir pile vaut \(\frac{1}{2}\) et celle d’obtenir face vaut également \(\frac{1}{2}\), une pièce numérotée 1, donnant face à coup sûr et une troisième pièce, numérotée 2, donnant pile à coup sûr.
On choisit l’une de ces pièces au hasard et on la lance indéfiniment.
Pour tout \(i\) de \(\{0,1,2\}\), on note \(A_{i}\) l’événement : « on choisit la pièce numérotée \(i\) ».
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note \(P_{k}\) l’événement « On obtient pile au lancer numéro \(k\) » et on pose \(F_{k}=\overline{P_{k}}\).
On considère la variable aléatoire \(X\), égale au rang d’apparition du premier pile et la variable aléatoire \(Y\), égale au rang d’apparition du premier face. On convient de donner à \(X\) la valeur 0 si l’on n’obtient jamais pile et de donner à \(Y\) la valeur 0 si l’on n’obtient jamais face.
Déterminer \(\mathbb{P}(X=1)\).
Montrer que : \(\forall n \geqslant 2, \ \mathbb{P}(X=n)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}(X=0)\).
Montrer que \(X\) admet une espérance et la calculer.
Montrer que \(X(X-1)\) possède une espérance. En déduire que \(X\) possède une variance et vérifier que \(\mathbb{V}(X)=\dfrac{4}{3}\).
Justifier que \(Y\) suit la même loi que \(X\).
Montrer que, pour tout entier \(j\) supérieur ou égal à \(2\), \(\mathbb{P}([X=1] \cap[Y=j])=\mathbb{P}(Y=j)\).
Montrer que, pour tout entier \(i\) supérieur ou égal à \(2\), \(\mathbb{P}([X=i] \cap[Y=1])=\mathbb{P}(X=i)\).
Loi de \(X+Y\).
Expliquer pourquoi \(X+Y\) prend toutes les valeurs entières positives sauf 0 et 2.
Montrer que \(\mathbb{P}(X+Y=1)=\dfrac{2}{3}\).
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3, on a : \[[ X+Y=n ]=([X=1] \cap[Y=n-1]) \cup([Y=1] \cap[X=n-1])\]
En déduire que l’on a, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3 : \[\mathbb{P}(X+Y=n)=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\]
Informatique.
On rappelle que, pour tout entier naturel \(m\), l’instruction
rd.randint(m+1) renvoie un entier aléatoire
compris entre 0 et \(m\) (ceci de façon
équiprobable).
On décide de coder pile par 1 et face par 0.
Compléter le programme Python suivant
pour qu’il permette le calcul et l’affichage de la valeur prise par la
variable aléatoire \(X\) lors de
l’expérience réalisée dans cet exercice :
Justifier que le cas où l’on joue avec la pièce numérotée 2 ne soit pas pris en compte dans le script précédent.
On admet que toutes les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne cherchera pas à déterminer.
Soit \(a\) un réel strictement positif et \(f\) la fonction définie par: \(f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{a} \,\mathrm{e}^{-x^{2} / 2 a} &\text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x<0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).
Montrer que la fonction \(f\) est une densité.
Dans la suite de l’exercice, on considère une variable aléatoire \(X\) de densité \(f\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_{X}\) de \(X\).
On considère la variable aléatoire \(Y\) définie par : \(Y=\dfrac{X^{2}}{2 a}\).
Montrer que \(Y\) suit la loi exponentielle de paramètre 1.
On suppose avoir importé sous Python la
bibliothèque numpy.random à l’aide de la
commande import numpy.random as rd et on
rappelle que l’on peut utiliser la commande
rd.exponential(1/Lambda) pour simuler une
variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Écrire un script Python demandant la valeur
de \(a\) à l’utilisateur et permettant
de simuler la variable aléatoire \(X\).
Vérifier que la fonction \(g\), qui à tout réel \(x\) associe \(x^{2} \,\mathrm{e}^{-x^{2} / 2 a}\), est paire.
Rappeler l’expression intégrale ainsi que la valeur du moment d’ordre 2 d’une variable aléatoire \(Z\) suivant la loi normale de paramètres 0 et \(a\).
En déduire que \(X\) possède une espérance et la déterminer.
Rappeler l’espérance de \(Y\) puis montrer que \(X^2\) possède une espérance et la calculer.
En déduire que la variance de \(X\) est donnée par : \[\mathbb{V}(X)=\frac{ \left( 4-\pi \right) a}{2}\]
On suppose désormais que le paramètre a est inconnu et on souhaite l’estimer.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 1. On considère un échantillon \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) composé de variables aléatoires indépendantes ayant toutes la même loi que \(X\).
On note \(S_{n}\) la variable aléatoire définie par \(\displaystyle S_{n}=\frac{1}{2 n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}^{2}\).
Montrer que \(S_{n}\) est un estimateur de \(a\) et calculer son espérance.
Montrer que \(X^{2}\) possède une variance et que \(\mathbb{V}\!\left(X^{2}\right)=4 a^{2}\).
On suppose que \(a\) est inférieur ou égal à 1 .
Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire \(S_{n}\) et en déduire : \[\forall \varepsilon>0, \mathbb{P}\!\left(\left|S_{n}-a\right| \leqslant \varepsilon\right) \geqslant 1-\frac{1}{n \varepsilon^{2}}\]
Déterminer une valeur de \(n\) pour laquelle \(\displaystyle \left[S_{n}-\frac{1}{10}, S_{n}+\frac{1}{10}\right]\) est un intervalle de confiance pour \(a\) avec un niveau de confiance au moins égal à \(95 \%\).
On considère la fonction \(f\) qui à tout réel \(x\) associe : \(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) \,\mathrm{d}t\).
Les deux parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Déterminer le signe de \(f(x)\) selon le signe de \(x\).
Justifier que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(f^{\prime}(x)\) pour tout réel \(x\).
En déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (on ne cherchera pas à calculer les limites de \(f\)).
Montrer que \(f\) est impaire.
Étudier la convexité de la fonction \(f\) et donner les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé.
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall t \in \mathbb{R}, \ \frac{t^{2}}{1+t^{2}}=a+\frac{b}{1+t^{2}}\]
En déduire, grâce à une intégration par parties, que, pour tout réel \(x\), on a : \[f(x)=x\left[ \ln (1+x^{2})-2\right]+2 \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}\]
Recherche d’un équivalent de \(f(x)\) au voisinage de \(+\infty\).
Montrer que \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}\) est une intégrale convergente.
En déduire que \(f(x) \underset{+\infty}{\sim} x \ln (1+x^{2} )\).
Vérifier que, pour tout réel \(x\) strictement positif, on a \(\ln (1+x^2)=2 \ln (x) +\ln \! \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\), puis établir l’équivalent suivant : \[f(x) \underset{+\infty}{\sim} 2 x \ln (x)\]
Donner sans calcul un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) est au voisinage de \(-\infty\).
Recherche d’un équivalent de \(f(x)\) au voisinage de 0.
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal C^{3}\) sur \(\mathbb{R}\).
On admet la formule de Taylor-Young à l’ordre 3 au voisinage de 0 pour la fonction \(f\), c’est-à-dire : \[f(x)=f(0)+\frac{x^{1}}{1 !} \, f^{\prime}(0)+\frac{x^{2}}{2 !} \, f^{\prime \prime}(0)+\frac{x^{3}}{3 !} \, f^{(3)}(0)+ \circ (x^{3})\]
Déterminer \(f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)\) et \(f^{(3)}(0)\).
En déduire alors un équivalent de \(f(x)\) au voisinage de \(0\) (on trouve \(\displaystyle f(x) \underset{0}{\sim} \frac{x^{3}}{3}\)).
On rappelle qu’en Python, la commande
a+(b-a)*rd.random() simule une variable
aléatoire suivant la loi uniforme sur \([a,
b]\). Compléter le script Python
suivant pour qu’il calcule et affiche, à l’aide de la méthode de
Monte-Carlo, une valeur approchée de \(f(1)\) :
On pose \(u_{0}=1\), et pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{1}\left(\ln (1+t^{2})\right)^{n} \mathrm{d}t\).
La valeur donnée à \(u_{0}\) est-elle cohérente avec l’expression générale de \(u_{n}\) ?
Exprimer \(u_{1}\) à l’aide de la fonction \(f\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est décroissante.
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est minorée par 0. En déduire qu’elle converge.
Établir l’encadrement suivant : \(0 \leqslant u_{n} \leqslant (\ln 2)^{n}\)
Que peut-on en déduire sur la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ? Sur la série de terme général \(u_{n}\) ?
Montrer que : \[0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{\left(\ln (1+t^{2})\right)^{n}}{1-\ln (1+t^{2} )} \,\mathrm{d}t\leqslant \frac{u_{n}}{1-\ln (2)}\]
En déduire la valeur de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \frac{\left(\ln (1+t^{2})\right)^{n}}{1-\ln (1+t^{2})} \,\mathrm{d}t\).
Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\sum_{k=0}^{n-1} u_{k}=\int_{0}^{1} \frac{1-\left(\ln \left(1+t^{2}\right)\right)^{n}}{1-\ln \left(1+t^{2}\right)} \,\mathrm{d}t\]
En déduire que l’on a : \[\sum_{k=0}^{+\infty} u_{k}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}t}{1-\ln (1+t^{2})}\]
Modifier le script présenté à la question 6) pour donner une valeur approchée de \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} u_{k}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
