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On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(1\) et on considère la fonction \(f_n\) définie par : \[\forall x\in [0,1],\ f_n(x) = \sum_{k=1}^n x^k.\]
On suppose avoir importé la bibliothèque
numpy à l’aide de la commande
import numpy as np.
Compléter la fonction Python suivante
pour qu’elle renvoie la valeur de \(f_n(x)\) à l’appel de
f(x,n), où \(x\) et \(n\) sont donnés par l’utilisateur.
Transformer, pour \(x\neq 1\),
l’expression de \(f_n(x)\) puis en
déduire une deuxième façon de déclarer f, en
complétant la déclaration suivante où la fonction est toujours nommée
f :
Montrer que l’équation \(f_n(x)=1\), d’inconnue \(x\) élément de \([0,1]\), possède une unique solution \(\alpha_n\) dans \([0,1]\).
Montrer que \(f_{n+1}(\alpha_n) \geqslant 1\) et en déduire que la suite \((\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est décroissante.
En déduire que la suite \((\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) converge.
Déterminer \(\alpha_2\) puis vérifier que \(0\leqslant \alpha_2<1\).
Utiliser les variations de la suite \((\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) pour établir que \(\lim\limits_{n\to+\infty}\alpha_n^{n+1}=0\).
En déduire que \(\lim\limits_{n\to+\infty}\alpha_n=\dfrac{1}{2}\).
On suppose que \(f_n\) a été déclarée (voir question 1) et on considère les commandes supplémentaires suivantes :
Quel est le lien entre le résultat affiché et \(\alpha_n\) ?
On désigne par \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et on considère \(n\) variables aléatoires, notées \(X_1,X_2,\dots,X_n,\) définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, et suivant toutes la loi uniforme sur \([0,1]\).
On note \(M_n\) la variable aléatoire définie par : \(M_n=\max(X_1,X_2,\dots,X_n)\), c’est-à-dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on a : \(M_n(\omega)=\max(X_1(\omega),X_2(\omega),\dots,X_n(\omega))\). On admet que \(M_n\) est une variable aléatoire et on note \(F_{M_n}\) sa fonction de répartition.
Déterminer, pour tout réel \(x\), l’expression de \(F_{M_n}(x)\) puis montrer que \(M_n\) est une variable à densité.
En déduire une densité \(f_{M_n}\) de \(M_n\).
Établir l’existence et donner la valeur de \(\mathbb{E}(M_n)\) et \(\mathbb{E}(M_n^2)\).
Donner, pour tout \(\varepsilon>0\), un majorant, ne dépendant que de \(n\) et \(\varepsilon\), de \(\mathbb{P}\!\left( (M_n-1)^2 \geqslant \varepsilon^2 \right)\).
Conclure que \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}\!\left( \left| M_n -1 \right| \geqslant \varepsilon \right)=0\). Que signifie ce résultat ?
On pose \(Y_n = n\left( 1- M_n
\right)\). On suppose qu’un programme
Python commence par les commandes suivantes
:
On rappelle que rd.random(n) simule
\(n\) variables aléatoires
indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur \([0,1]\).
Compléter la déclaration de fonction Python
suivante afin qu’elle simule la variable aléatoire \(Y_n\).
Voici deux scripts (le deuxième utilise la fonction
f définie ci-dessus) :
Script (1)
Script (2)
Chacun de ces scripts simule \(10000\) variables indépendantes, regroupe les valeurs renvoyées en \(10\) classes qui sont les intervalles \([0,1]\), \(]1,2]\), \(]2,3],\dots\), \(]9,10]\), et trace l’histogramme correspondant (la largeur de chaque rectangle est égale à \(1\) et leur hauteur est proportionnelle à l’effectif de chaque classe).
Le script (1) dans lequel les variables aléatoires suivent la loi exponentielle de paramètre \(1\), renvoie l’histogramme (1) ci-dessous, alors que le script (2) dans lequel les variables aléatoires suivent la même loi que \(Y_n\), renvoie l’histogramme (2) ci-dessous, pour lequel on a choisi \(n=1000\).
Histogramme (1)
Histogramme (2) pour \(n=1000\)
Quelle conjecture peut-on émettre quant au comportement de la suite des variables aléatoires \((Y_n)\) ?
Déterminer la fonction de répartition \(F_{Y_n}\) de la variable \(Y_n\) définie à la question 2).
Pour tout réel \(x\) positif ou nul, calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}F_{Y_n}(x)\).
Démontrer le résultat conjecturé à la question 2b).
Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Soit \(A\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont les éléments diagonaux sont égaux à \(-n\), les autres étant tous égaux à \(1\). On note \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à \(1\) et \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Exprimer \(A\) comme combinaison linéaire de \(I\) et \(J\) puis écrire \(A^2\) comme combinaison linéaire de \(I\) et \(J\).
En déduire un polynôme annulateur de \(A\) puis donner les valeurs propres possibles de \(A\).
Montrer que \(A\) est inversible.
Dans la suite, on considère un espace euclidien \(E\), de dimension \(n+1\), dont le produit scalaire est noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) et la norme associée \(\left\| \cdot \right\|\).
On note \((\varepsilon_0,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)\) une base orthonormale de \(E\) et on pose : \[u=\frac{1}{\sqrt{n+1}} \sum_{k=0}^n \varepsilon_k.\]
On pose aussi : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ e_i = \sqrt{\frac{n+1}{n}}\left( \varepsilon_i - \left \langle \varepsilon_i, u \right \rangle u \right).\]
Calculer la norme du vecteur \(u\).
Montrer que, pour tout \(i\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(\left\| e_i \right\|=1\).
Montrer également que, pour tout couple \((i,j)\) d’entiers distincts de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \[\left \langle e_i, e_j \right \rangle = -\frac{1}{n}.\]
Montrer que les vecteurs \(e_0,e_1,\dots,e_n\) appartiennent tous au sous-espace \(F=\left( \mathrm{Vect}(u) \right)^\perp\) de \(E\).
Montrer, en utilisant le résultat de la question 1c), que \((e_1,e_2,\dots,e_n)\) est une base de \(F\).
On considère l’application \(f\) de \(F\times F\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall (x,y)\in F\times F,\ f(x,y) = \sum_{k=0}^n \left \langle x, e_k \right \rangle \left \langle y, e_k \right \rangle - \frac{n+1}{n} \left \langle x, y \right \rangle.\]
Montrer que \(f\) est une forme bilinéaire symétrique.
Pour tout couple \((i,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), déterminer \(f(e_i,e_j)\) en distinguant les cas \(i=j\) et \(i\neq j\).
En déduire que : \[\forall (x,y)\in F\times F,\ \sum_{k=0}^n \left \langle x, e_k \right \rangle \left \langle y, e_k \right \rangle =\frac{n+1}{n} \left \langle x, y \right \rangle.\]
En déduire également que, pour tout \(x\) de \(F\), on a : \[\left\| x \right\|^2 = \frac{n}{n+1} \sum_{k=0}^n \left \langle x, e_k \right \rangle^2.\]
Dans ce problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul et \(\mathbb{R}_n[x]\) est l’espace vectoriel formé du polynôme nul et des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à \(n\).
On note \(\mathscr B=(e_0,e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\). On rappelle que \(e_0=1\) et que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ e_k=X^k.\]
On considère l’application \(\varphi\), qui à tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) associe \[\varphi(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^n P^{(k)}\] où \(P^{(k)}\) désigne la dérivée \(k^{\grave{e}me}\) de \(P\) avec la convention \(P^{(0)}=P\).
Montrer que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Calculer \(\varphi(e_0)\) et en déduire une valeur propre de \(\varphi\).
Montrer que : \[\forall j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \varphi(e_j)- e_j\in \mathbb{R}_{j-1}[x].\]
En déduire que la matrice de \(\varphi\) dans la base \(\mathscr B\) est triangulaire et que la seule valeur propre de \(\varphi\) est celle trouvée à la question précédente.
Montrer que \(\varphi\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\), calculer \(\varphi(P-P')\).
Déterminer \(\varphi^{-1}\) puis écrire la matrice de \(\varphi^{-1}\) dans la base \((e_0,e_1,\dots,e_n)\).
On donne le script Python suivant :
Compléter la sixième ligne de ce script pour qu’il affiche la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \((e_0,e_1,\dots,e_n)\) lorsque la valeur de \(n\) est entrée par l’utilisateur.
On désigne par \(x\) un réel quelconque.
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\), l’intégrale \(\displaystyle\int_x^{+\infty}t^k \,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est convergente.
En déduire que, si \(P\) est un polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\), l’intégrale \(\displaystyle\int_x^{+\infty}P(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est convergente.
Donner la valeur de \(\displaystyle\int_x^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\).
Établir que, pour tout entier naturel \(k\), on a : \(\displaystyle\int_x^{+\infty}t^k \,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t= k! \sum_{i=0}^k \frac{x^i}{i!}\,\mathrm{e}^{-x}\).
Informatique.
On admet que, si u est un vecteur, la
commande np.prod(u) renvoie le produit des
éléments de u et la commande
np.cumprod(u) renvoie un vecteur de même
format que u dont le \(k^{\grave{e}me}\) élément est le produit
des \(k\) premiers éléments de
u. Utiliser l’égalité obtenue à la question
5b) pour compléter le script Python suivant
afin qu’il calcule et affiche la variable s
contenant la valeur de l’intégrale \(\displaystyle\int_x^{+\infty}t^k\,
\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\), les valeurs de \(x\) et de \(k\) étant entrées par
l’utilisateur.
Montrer, grâce à un changement de variable simple, que : \[\displaystyle\int_x^{+\infty}t^k \,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t=\mathrm{e}^{-x} \int_0^{+\infty}(u+x)^k \mathrm{e}^{-u}\,\mathrm{d}u.\]
En déduire la commande manquante du script
Python suivant afin qu’il permette de calculer
et d’afficher une valeur approchée de \(\displaystyle\int_x^{+\infty}t^k
\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) grâce à la méthode de
Monte-Carlo.
On considère l’application qui, à tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[x]\), associe la fonction \(F=\psi(P)\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ F(x) = \mathrm{e}^x \int_x^{+\infty}P(t)\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t.\]
Montrer que \(\psi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Justifier que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et donner une relation entre \(F,F'\) et \(P\).
Montrer que \(\psi\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
On considère un polynôme \(P\) non nul, vecteur propre de \(\psi\) pour une valeur propre \(\lambda\) non nulle.
Utiliser la relation obtenue à la question 7b) pour établir que : \(P'=\dfrac{\lambda-1}{\lambda}\,P\).
En déduire, en considérant les degrés, que \(\lambda=1\) est la seule valeur propre possible de \(\psi\).
Montrer enfin que \(\lambda=1\) est la seule valeur propre de \(\psi\) (on ne demande pas le sous-espace propre associé).
Montrer que les endomorphismes \(\varphi\) et \(\psi\) sont égaux.
En déduire que, si \(P\) est un polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) et s’il existe un réel \(a\) tel que, pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à \(a\), on a \(P(x) \geqslant 0\), alors : \[\forall x\geqslant a,\ \sum_{i=0}^n P^{(i)}(x) \geqslant 0.\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
