EDHEC 2016Maths appliquées

Exercice 1

On désigne par \(\mathrm{id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}{}^{3}\) et par \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).

On note \(\mathcal{B}=(e_{1},e_{2},e_{3})\) la base canonique de \(\mathbb{R}{}^{3}\) et on considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}{}^{3}\) dont la matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est : \[A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1\\ 2 & 0 & 2\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\]

1. Calculer \(A^{2}-4A\) puis déterminer un polynôme annulateur de \(A\) de degré \(2\).

2. 1. Déterminer la seule valeur propre de \(A\).

   2. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?

3. Déterminer une base \((U_{1},U_{2})\) de l’unique sous-espace propre de \(A\). Dans la suite, on note \(u_1\) et \(u_2\) les vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) dont les colonnes des coordonnées dans la base canonique sont respectivement \(U_1\) et \(U_2\).

4. 1. On pose \(u_{3}=e_{1}+e_{2}+e_{3}\). Montrer que la famille \((u_{1},u_{2},u_{3})\) est une base de \(\mathbb{R}^{3}.\)

   2. Vérifier que la matrice \(T\) de \(f\) dans la base \((u_{1},u_{2},u_{3})\) est triangulaire et que ses éléments diagonaux sont tous égaux à \(2\).

   3. En écrivant \(T=2I+N\), déterminer, pour tout entier naturel \(n\), la matrice \(T^{n}\) comme combinaison linéaire de \(I\) et \(N\), puis de \(I\) et \(T\).

5. 1. Expliquer pourquoi l’on a : \[\forall n\in\mathbb{N}, \ A^{n}=n2^{n-1}A- \left( n-1 \right) 2^{n}I\]

   2. Utiliser le polynôme annulateur obtenu à la première question pour déterminer \(A^{-1}\) en fonction de \(I\) et de \(A\).

   3. Vérifier que la formule trouvée à la question 5a reste valable pour \(n=-1\).

Exercice 2

Pour chaque entier naturel \(n\), on définit la fonction \(f_{n}\) par : \(\forall x\in \left[ n,+\infty \right[, \ f_{n}(x)=\displaystyle \int_{n}^{x} \mathrm{e}^{\sqrt{t}} \,\mathrm{d}t\).

1. Étude de \(f_{n}\).

   1. Montrer que \(f_{n}\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([n,+\infty[\) puis déterminer \(f_{n}^{'}(x)\) pour tout \(x\) de \([n,+\infty[\). Donner le sens de variation de \(f_{n}\).

   2. En minorant \(f_{n}(x)\), établir que \(\displaystyle \lim_{x\to {+\infty}} f_{n}(x)=+\infty\).

   3. En déduire que pour chaque entier naturel \(n\), il existe un unique réel, noté \(u_{n}\), élément de \([n,+\infty[\), tel que \(f_{n}(u_{n})=1\).

2. Étude de la suite \((u_{n})\).

   1. Montrer que \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n}=+\infty\).

   2. Montrer que : \(\forall n\in\mathbb{N},\ \mathrm{e}^{-\sqrt{u_{n}}}\leqslant u_{n}-n\leqslant \mathrm{e}^{-\sqrt{n}}\).

3. 1. Utiliser la question 2b) pour compléter les commandes Python suivantes afin qu’elles permettent d’afficher un entier naturel \(n\) pour lequel \(u_{n}-n\) est inférieur ou égal à \(10^{-4}\).

   2. Le script affiche l’une des trois valeurs \(n=55\), \(n=70\) et \(n=85\). Préciser laquelle en prenant \(2,3\) comme valeur approchée de \(\ln(10)\).

4. On pose \(v_{n}=u_{n}-n\).

   1. Montrer que \(\underset{n\to+\infty}{\lim}v_{n}=0\).

   2. Établir que, pour tout réel \(x\) supérieur ou égal à \(-1\), on a : \(\sqrt{1+x}\leqslant 1+\frac{x}{2}\).

   3. Vérifier ensuite que : \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ \mathrm{e}^{-\sqrt{u_{n}}}\geqslant \mathrm{e}^{-\sqrt{n}} \, \exp \! \left( -\frac{v_{n}}{2\sqrt{n}} \right)\).

   4. Déduire de l’encadrement obtenu en 2b) que : \(u_{n}-n\underset{+\infty}{\sim}\mathrm{e}^{-\sqrt{n}}\).

Exercice 3

Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). On désigne par \(p\) un réel de \(]0,1[\).

On considère deux variables aléatoires indépendantes \(U\) et \(V\), telles que \(U\) suit la loi uniforme sur \([-3,1]\), et \(V\) suit la loi uniforme sur \([-1,3]\).

On considère également une variable aléatoire \(Z\), indépendante de \(U\) et \(V\), dont la loi est donnée par : \begin{align*} \mathbb{P}(Z=1)=p & \mbox{et } & \mathbb{P}(Z=-1)=1-p \end{align*} Enfin, on note \(X\) la variable aléatoire, définie par : \[\forall\omega\in \Omega,\ X(\omega)= \begin{cases} U(\omega) & \text{si } \mbox{\ensuremath{Z(\omega)=1}}\\ V(\omega) & \text{si } \mbox{\ensuremath{Z(\omega)=-1}} \end{cases}\] On note \(F_{X}\), \(F_{U}\) et \(F_{V}\) les fonctions de répartition respectives des variables \(X\), \(U\) et \(V\).

1. Donner les expressions de \(F_{U}(x)\) et \(F_{V}(x)\) selon les valeurs de \(x\).

2. 1. Établir, grâce au système complet d’évènements \(\left([ Z=1 ] , [ Z=-1 ]\right)\), que : \begin{align*} \forall x\in\mathbb{R},\ F_{X}(x) & =p \, F_{U}(x)+ \left( 1-p \right)F_{V}(x) \end{align*}

   2. Vérifier que \(X(\Omega)=[-3,3]\) puis expliciter \(F_{X}(x)\) dans les cas : \[x<-3,\quad -3\leqslant x\leqslant -1 ,\quad -1\leqslant x\leqslant 1,\quad 1 \leqslant x\leqslant 3 \quad \text{et} \quad x>3\]

   3. On admet que X est une variable à densité. Donner une densité \(f_{X}\) de la variable aléatoire \(X\).

   4. Établir que \(X\) admet une espérance \(\mathbb{E}(X)\) et une variance \(\mathbb{V}(X)\), puis les déterminer.

3. On se propose de montrer d’une autre façon que \(X\) et \(X^2\) admettent une espérance puis de les déterminer.

   1. Vérifier que l’on a : \[X=U \, \frac{1+Z}{2}+V \, \frac{1-Z}{2}\]

   2. Déduire de l’égalité précédente que \(X\) possède une espérance et retrouver la valeur de \(\mathbb{E}(X)\).

   3. En déduire également que \(X^2\) possède une espérance et retrouver la valeur de \(\mathbb{E}(X^{2})\).

4. 1. Soit \(T\) une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(p\). Déterminer la loi de \(2T-1\).

   2. On rappelle que rd.random() et rd.binomial(1,p) (suposant l’import de la bibliothèque numpy.random avec le préfixe rd) sont des commandes Python permettant de simuler respectivement une variable aléatoire à densité suivant la loi uniforme sur \([0,1]\) et une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).

      Écrire des commandes Python permettant de simuler \(U,V,Z,\) puis \(X\).

Problème

Partie I : Questions préliminaires

Dans cette partie, \(x\) désigne un réel élément de \([0,1[\).

1. 1. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}{}^{*}\) et pour tout \(t\) de \([0,x]\), simplifier la somme \(\displaystyle \sum\limits _{p=1}^{n}t^{p-1}\).

   2. En déduire que : \(\displaystyle \sum_{p=1}^{n}\frac{x^{p}}{p}=-\ln(1-x)-\int_{0}^{x}\frac{t^{n}}{1-t} \,\mathrm{d}t\).

   3. Établir par encadrement que l’on a : \(\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow+\infty}\int _{0}^{x}\dfrac{t^{n}}{1-t} \,\mathrm{d}t=0\).

   4. En déduire que : \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}}{k}=-\ln(1-x)\).

2. Soit \(m\) un entier naturel fixé. À l’aide de la formule du triangle de Pascal, établir l’égalité: \[\forall q\geqslant m,\ \sum\limits _{k=m}^{q}\binom{k}{m}=\binom{q+1}{m+1}\]

3. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère une suite \((X_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi géométrique de paramètre \(x\), et on pose \(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}X_{k}\).

   1. Déterminer \(S_{n}(\Omega)\) puis établir que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(n+1\), on a : \[\mathbb{P}(S_{n+1}=k) = \sum_{j=n}^{k-1} \mathbb{P}( [S_{n}=j ] \cap [X_{n+1}=k-j ])\]

   2. En déduire, par récurrence sur \(n\), que la loi de \(S_{n}\) est donnée par : \[\forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {n,{+\infty}} \right[\kern-0.15em\right[, \ \mathbb{P}(S_{n}=k)=\binom{k-1}{n-1} x^{n}(1-x)^{k-n}\]

   3. En déduire, pour tout \(x\) de \(]0,1[\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[\sum_{k=n}^{+\infty}\binom{k-1}{n-1}(1-x)^{k-n}=\displaystyle \frac{1}{x^{n}}\]

   4. On rappelle que la commande rd.geometric(p,n) permet à Python de simuler \(n\) variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi géométrique de paramètre \(p\).

      Compléter les commandes Python suivantes pour qu’elles simulent la variable aléatoire \(S_{n}.\)

Partie 2 : étude d’une variable aléatoire

Dans cette partie, on désigne par \(p\) un réel de \(]0,1[\) et on pose \(q=1-p\).

On considère la suite \((u_{k})_{k\in\mathbb{N}^{*}}\), définie par : \[\forall k\in\mathbb{N}^{*},\ u_{k}=-\dfrac{q^{k}}{k \ln(p)}\]

4. 1. Vérifier que la suite \((u_{k})_{k\in\mathbb{N}^{*}}\) est à termes positifs.

   2. Montrer, en utilisant un résultat de la partie 1, que \(\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty}u_{k}=1\).

      On considère dorénavant une variable aléatoire \(X\) dont la loi de probabilité est donnée par :

      \[\forall k\in\mathbb{N}^{*},\ \mathbb{P}(X=k)=u_{k}\]

5. 1. Montrer que \(X\) possède une espérance et la déterminer.

   2. Montrer également que \(X\) possède une variance et vérifier que : \(\mathbb{V}(X)=-\displaystyle \frac{q \left( q+ \ln(p) \right)}{(p \ln(p))^{2}}\).

6. Soit \(k\) un entier naturel non nul. On considère une variable aléatoire \(Y\) dont la loi, conditionnellement à l’évènement \([X=k]\), est la loi binomiale de paramètres \(k\) et \(p\).

   1. Montrer que \(Y(\Omega)=\mathbb{N}\) puis utiliser la formule des probabilités totales, ainsi que la question 1) de la partie 1, pour montrer que : \[\mathbb{P}(Y=0)= 1+\displaystyle \frac{\ln(1+q)}{\ln(p)}\]

   2. Après avoir montré que, pour tout couple \((k,n)\) de \(\mathbb{N}{}^{*}\times\mathbb{N}{}^{*}\), on a : \(\frac{\binom{k}{n}}{k}=\frac{\binom{k-1}{n-1}}{n}\), établir que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a : \[\mathbb{P}(Y=n)=-\displaystyle \frac{p^{n}q^{n}}{n \ln(p)}\sum_{k=n}^{+\infty}\binom{k-1}{n-1}(q^{2})^{k-n}\] En déduire, grâce à la question 3) de la première partie, l’égalité : \[\mathbb{P}(Y=n)= -\displaystyle \frac{q^{n}}{n\,(1+q)^{n} \ln(p)}\]

   3. Vérifier que l’on a \(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(Y=k)=1.\)

   4. Montrer que \(Y\) possède une espérance et donner son expression en fonction de \(\ln(p)\) et \(q\).

   5. Montrer aussi que \(Y\) possède une variance et que l’on a : \(\mathbb{V}(Y)=-\displaystyle \frac{q \left[ q+ \left(1+q \right) \ln(p) \right]}{(\ln(p))^{2}}\).