EDHEC 2015Maths approfondies

Exercice 1

Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), on pose \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^n \left( x+1 \right)}\).

1. Vérifier que \(I_n\) est une intégrale convergente.

2. 1. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) différent de \(-1\) et \(0\), on ait : \[\frac{1}{x \left( x+1 \right)} = \frac{a}{x} - \frac{b}{x+1}\]

   2. En déduire la valeur de \(I_1\).

3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\), on a : \[0\leqslant I_n \leqslant \frac{1}{2 \left( n-1 \right)}\]

   2. En déduire l’existence et la valeur de \(\lim\limits_{n\to+\infty}I_n\).

4. 1. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), calculer \(I_n+I_{n+1}\).

   2. Montrer que la suite \((I_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est décroissante.

   3. En déduire un équivalent de \(I_n\) puis donner la nature de la série de terme général \(I_n\).

5. Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), on pose \(J_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^n \left( x+1 \right)^2}\).

   1. Montrer que \(J_n\) est une intégrale convergente.

   2. Calculer \(J_0\).

6. 1. Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^\ast\), exprimer \(J_k+J_{k-1}\) en fonction de \(I_k\).

   2. Déterminer alors, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^\ast\), l’expression de \(\displaystyle\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} I_k\) en fonction de \(J_n\).

   3. Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ n\geqslant 2,\ 0 \leqslant J_n \leqslant \dfrac{1}{4 \left( n-1 \right)}\). Donner la valeur de \(\lim\limits_{n\to+\infty}J_n\).

   4. En déduire que la série de terme général \((-1)^{n-1} I_n\) est convergente et donner sa somme.

7. À l’aide des questions 4a) et 6a), compléter les commandes Python suivantes afin qu’elles permettent le calcul de \(I_n\) et \(J_n\) pour une valeur de \(n\), supérieure ou égale à \(2\), entrée par l’utilisateur.

Exercice 2

On considère une variable aléatoire \(X\) suivant la loi normale centrée réduite (d’espérance nulle et de variance égale à \(1\)) et on note \(\Phi\) sa fonction de répartition.

On pose \(Y=\left| X \right|\) et on admet que \(Y\) est une variable aléatoire. On note \(F_Y\) la fonction de répartition de \(Y\).

1. 1. Exprimer, pour tout réel \(x\) positif, \(F_Y(x)\) à l’aide de \(\Phi(x)\).

   2. En déduire que \(Y\) est une variable aléatoire à densité et donner une densité \(f_Y\) de \(Y\).

   3. Montrer que \(Y\) possède une espérance et donner sa valeur.

   4. Montrer que \(Y\) possède une variance et donner sa valeur.

2. On considère la fonction \(g\) définie par : \[g(x) = \begin{cases} \dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{\pi x}} &\text{si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x\leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]

   1. En justifiant que l’on peut procéder au changement de variable \(u=\sqrt{2t}\), vérifier que : \[\int_0^{+\infty}g(t)\,\mathrm{d}t= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-u^2/2}\,\mathrm{d}u\]

   2. En déduire que \(g\) peut être considérée comme une densité.

   On considère, dans la suite, une variable aléatoire \(Z\) de densité \(g\) et on note \(G\) sa fonction de répartition.

3. 1. On pose \(T=\sqrt{2Z}\) et on admet que \(T\) est une variable aléatoire à densité. Exprimer la fonction de répartition \(F_T\) de \(T\) en fonction de \(G\) puis en déduire une densité \(f_T\) de \(T\) et vérifier que \(T\) suit la même loi que \(Y\).

   2. En déduire que \(Z\) possède une espérance et donner sa valeur.

4. Écrire une commande Python permettant de simuler la variable aléatoire \(Z\).

5. On considère les commandes Python suivantes :

   1. En remarquant que \(x^2 g(x) = \dfrac{x\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}\,\mathrm{e}^{-x}\), montrer que s contient une valeur approchée de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}x^2 g(x)\,\mathrm{d}x\), pour peu que l’on entre une valeur de \(n\) assez grande.

   2. On admet que \(\mathbb{E}(X^4)=3\). Quelle est la valeur exacte de l’intégrale dont il est question ci-dessus ?

Exercice 3

On considère l’espace euclidien \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique.

Pour tout couple \((x,y)\) de \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n\), on note \(\left \langle x, y \right \rangle\) le produit scalaire canonique de \(x\) et \(y\).

On note \(\mathscr B = (e_1,e_2,\dots,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et on rappelle que \(\mathscr B\) est orthonormale pour le produit scalaire \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\).

On considère un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^n\), symétrique, dont les valeurs propres sont toutes strictement positives.

1. Justifier l’existence d’une base orthonormale de \(\mathbb{R}^n\), \(\mathscr B' = (u_1,u_2,\dots,u_n)\), formée de vecteurs propres de \(f\).

2. 1. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^n\), on a : \(\left \langle x, f(x) \right \rangle \geqslant 0\).

   2. Vérifier que l’égalité \(\left \langle x, f(x) \right \rangle = 0\) a lieu si et seulement si \(x=0\).

   3. En déduire que l’application \(\varphi\), de \(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}\), définie par \[\varphi(x,y)=\left \langle x, f(y) \right \rangle\] est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^n\).

3. 1. En utilisant \(\mathscr B'\), montrer qu’il existe un endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^n\), symétrique pour le produit scalaire canonique, dont les valeurs propres sont strictement positives, et tel que \(g^2=f\).

   2. Établir que \(g\) est bijectif.

   3. Montrer que la famille \(\left( g^{-1}(e_1),g^{-1}(e_2),\dots,g^{-1}(e_n) \right)\) est une base orthonormale de \(\mathbb{R}^n\) pour le produit scalaire \(\varphi\).

Problème

Partie 1

Dans cette partie, la lettre \(r\) désigne un entier naturel et \(x\) est un réel fixé de \(]0,1[\).

1. Montrer que, lorsque \(n\) est au voisinage de \({+\infty}\), on a : \(\displaystyle\binom nr \sim \dfrac{n^r}{r!}\).

2. 1. Donner la valeur de \(\lim\limits_{n\to+\infty}n^{r+2} \, x^n\).

   2. En déduire que la série \(\displaystyle\sum_{n} \binom nr x^n\) est convergente.

3. Pour tout entier naturel \(r\), on pose : \(S_r = \displaystyle\sum_{n=r}^{+\infty}\binom nr x^n\).

   1. Donner la valeur de \(S_0\).

   2. Établir, en utilisant la formule du triangle de Pascal : \(\left( 1- x\right) S_{r+1}= xS_r\).

   3. En déduire : \[\forall x \in [0,1[,\ \forall r\in\mathbb{N},\ \sum_{n=r}^{+\infty}\binom nr x^n = \frac{x^r}{(1-x)^{r+1}}\]

   4. Donner enfin la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=r}^{+\infty}\binom nr x^{n-r}\).

Partie 2

On désigne par \(\alpha\) et \(p\) deux réels de \(]0,1[\).

Un joueur participe à un jeu constitué d’une suite de manches.

Avant chaque manche, y compris la première, le joueur a une probabilité \(\alpha\) de ne pas être autorisé à jouer la manche en question (on dit qu’il est disqualifié et c’est définitif), et une probabilité \(1-\alpha\) d’y être autorisé, ceci indépendamment du fait qu’il ait gagné ou perdu la manche précédente s’il y en a eu une. À chaque manche jouée, le joueur gagne un euro avec la probabilité \(p\) et il perd un euro avec la probabilité \(1-p\).

Si le jeu a commencé, le joueur joue jusqu’à ce qu’il soit disqualifié et on suppose que les manches jouées sont jouées de façon indépendante.

On note :

• \(X\) le nombre de manches auxquelles a participé ce joueur avant d’être disqualifié.

• \(Y\) le nombre de manches gagnées par ce joueur.

• \(G\) le gain du joueur à la fin du jeu.

On admet que \(X,Y\) et \(G\) sont des variables aléatoires, définies toutes les trois sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

1. 1. Donner la loi de \(X\) (on pourra noter \(D_k\) l’événement « le joueur ne joue pas la \(k^{\grave{e}me}\) manche »).

   2. On pose \(T=X+1\). Reconnaître la loi de \(T\) puis en déduire que l’on a : \[\mathbb{E}(X) = \frac{1-\alpha}{\alpha}.\]

   3. En déduire également la valeur de \(\mathbb{V}(X)\).

2. 1. Déterminer, pour tout entier naturel \(n\), la loi de \(Y\), conditionnellement à l’événement \([X=n]\).

   2. En déduire, à l’aide de la partie 1, la loi de \(Y\).

3. Calculer l’espérance de \(Y\) puis montrer que \(\mathbb{V}(Y)= \dfrac{p \left( 1- \alpha \right) (p+\alpha -p\alpha) }{\alpha^2}\).

4. 1. Exprimer \(G\) en fonction de \(X\) et \(Y\).

   2. En déduire l’espérance de \(G\).

   3. On admet l’existence de \(\mathbb{E}(XY)\). Établir que \(\mathbb{E}(XY) = \dfrac{p \left( 1-\alpha \right)(2-\alpha)}{\alpha^2}\).

   4. En déduire la variance de \(G\).

5. 1. Compléter les commandes Python suivantes pour qu’elles simulent l’expérience aléatoire étudiée et affichent les valeurs prises par \(X\) et \(Y\).

   2. Quelles commandes faut-il ajouter aux précédentes pour que la valeur prise par \(G\) soit calculée et affichée ?